考点通关练 12导数与函数的极值、最值- 2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与函数极值最值核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖概念辨析、参数求解及综合应用，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、填空12-13|极值点判断与计算|从导数与极值关系切入，构建“求导-判断单调性-确定极值”逻辑链| |参数问题|选择2、8、多选9|已知极值求参数、导函数图像分析|结合方程思想，强化极值点存在条件的推理应用| |综合应用|解答15-16|极值与恒成立、不等式证明|整合函数性质与导数工具，体现从数学眼光发现问题到数学语言表达的完整过程|

考点通关练 12导数与函数的极值、最值模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.函数的极值点为（ ） A.0，1，-1 B. C. D.， 【答案】B 【解析】由已知，得的定义域为，且， 令，得舍去． 当时，；当时，， ∴当时，取得极小值，故的极小值点为，无极大值点， 故选：B． 2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　) A.－1或3 B.1或－3 C.3 D.－1 【答案】C 【解析】因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，① f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，② 联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9. 当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值10，不符合题意； 当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意． 综上可得，a＝－6，b＝9. 则a＋b＝3. 3.（2026·山东青岛一模）已知函数在处取得极小值，则（） A. B. C.1 D.3 【答案】B 【解析】，由在处取得极小值得，即，因式分解得，解得或. 当时，，由得或，由得，故在上单调递减，在上单调递增，从而在处取得极小值，符合题意. 当时，，由得或，由得，故在上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极大值，不符合题意. 故选：B. 4.（2025·辽宁葫芦岛二模）函数的极小值点为（） A.0 B. C.5 D. 【答案】B 【解析】由得, 当时,,单调递增; 当时,,单调递减; 当时,,单调递增, 因为在左侧单调递减、右侧单调递增,所以为的极小值点, 故选:B. 5.（2025-2026·河南高三上模拟）函数的极小值为（） A. B. C. D.7 【答案】C 【解析】由,得, 令,得或, 因为时,, 故单调递增;时,, 故单调递减;时,, 故单调递增, 所以当时,取得极小值, 由, 故选:C. 6.（2026·湖南长沙三模）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（） A. B. C.1 D. 【答案】C 【解析】设切点坐标为，由得，故切点处切线斜率. 由点斜式得切线方程为，令代入化简得. 设，，求导得，令，结合恒成立，解得. 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故为的最大值点. 计算得，即的最大值为. 故选：C. 7.（2026·湖南三模）当函数的零点个数最多时，的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令，得，的零点个数等价于与的交点个数，零点个数最多对应交点个数最多. 求导得，令，解得或. 由得，由得，故在上单调递减，在上单调递增. 计算得的极小值为，当时，当时，由此可得当时交点个数最多，即零点个数最多. 故选：A. 8.(2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c等于(　　) A.－6 B.－2 C.－6或－2 D.－4 【答案】A 【解析】由函数f(x)＝x(x－c)2， 可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)， 因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值， 可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6， 当c＝－2时，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－；令f'(x)<0，解得－2<x<－ 所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去； 当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6<x<－2， 所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝－2处取极小值，符合题意， 综上可得，c＝－6. 二、多选题（共3小题） 9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(0)为f(x)的极大值 C.f(x)有两个极小值点 D.f(－1)为f(x)的极小值 【答案】BC 【解析】根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减， 当－2<x<0时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增， 当0<x<1时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减， 当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增， 因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确； f(0)为f(x)的极大值，B正确； f(－1)不是f(x)的极小值，D错误. 10.（2026·湖南长沙三模）若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（） A. B.函数对任意实数，恒有 C.若在值域为，则的范围为 D.， 【答案】ABD 【解析】令，，由奇偶性得，即，整理得. 对于选项A，代入得，故A正确. 对于选项B，计算得，故B正确. 对于选项C，求导得， 令得或，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 由此得极大值为，极小值为，令解得或，令解得或，结合在值域为，得，故C错误. 对于选项D，计算得，因为，所以，，故，即，故D正确. 故选：ABD. 11.（2025-2026·湖南岳阳高三下开学考）已知，下列说法正确的是（） A.在处的切线方程为 B.单调递增区间为 C.的极大值为 D.的极小值点为 【答案】AC 【解析】. 的定义域为. 计算得，. 在点处的切线方程为. 化简得. 故选项A正确. 当时，，单调递增. 当时，，单调递减. 故的单调递增区间为，选项B错误. 由单调性可得是的极大值点. 极大值为. 故选项C正确. 不存在极小值点，选项D错误. 答案为AC. 三、填空题（共3小题） 12.函数f(x)＝x3－x2－14x的极小值点为　　　　　　，极大值为　　　　　　.  【答案】　18 【解析】由f(x)＝x3－x2－14x得， f'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)， 令f'(x)>0，解得x>或x<－2， 令f'(x)<0，解得－2<x< 故f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减， 故f(x)在x＝处取得极小值，在x＝－2处取得极大值， 故f(x)极大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18. 13.（2025·湖南长沙一模）函数的极值点为                   . 【答案】 【解析】由含得定义域为； ； 因为,故当时,,单调递减； 当时,,单调递增； 由单调性得是的极小值点, 且无其他极值点,故极值点为. 14.已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为                  ． 【答案】 【解析】对求导得. 直线的斜率为，因为在处切线与该直线垂直， 所以，即，解得. 则，令，即，可得，解得. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以在处取得极小值，. 四、解答题（共2小题） 15.（2026·湖南长沙三模）已知函数. (1)求的极小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集. 【答案】解：(1)的定义域为，求导得，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 故在处取得极小值，计算得. (2)时，恒成立等价于对任意恒成立，令，得，令，得. 当即时，对任意，，单调递增，故，满足条件. 当即时，时，单调递减，时，单调递增，故的最小值为. 令，求导得，故在上单调递减，得，即，不满足恒成立条件. 故实数的取值范围是. (3)原不等式整理得，令，求导得，令，得，满足，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 计算得，，由此可得当时，当时，当时. 故不等式的解集为. 16.（2025-2026·河南濮阳高三下模拟）已知函数 (1)令，讨论函数的单调性； (2)若函数有极大值点，求证． 【答案】(1)解：的定义域为，求导得， 故，求导得. 当时，对任意恒成立，故在上单调递增. 当时，令得，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增. (2)证明：，结合(1)的结论分情况讨论，当时，是上的增函数，结合得无极大值，不符合题意. 当时，在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为. 当即时，，在上单调递增，无极大值，不符合题意；当即时，时，时，故是唯一极大值点，不符合的要求. 当即时，时，时，故在上无极大值，计算得，结合得存在极值点在区间内. 令，由得，设，求导得，因为所以，故在上单调递减，所以，整理得，即. 由此可得存在满足，且时，时，故是的极大值点，且. 由得，代入化简得，要证，等价于证，因为，不等式等价于. 令，，求导得，故在上单调递减，所以，因此成立，故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点通关练 12导数与函数的极值、最值模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.函数的极值点为（ ） A.0，1，-1 B. C. D.， 2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　) A.－1或3 B.1或－3 C.3 D.－1 3.（2026·山东青岛一模）已知函数在处取得极小值，则（） A. B. C.1 D.3 4.（2025·辽宁葫芦岛二模）函数的极小值点为（） A.0 B. C.5 D. 5.（2025-2026·河南高三上模拟）函数的极小值为（） A. B. C. D.7 6.（2026·湖南长沙三模）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（） A. B. C.1 D. 7.（2026·湖南三模）当函数的零点个数最多时，的取值范围是（） A. B. C. D. 8.(2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c等于(　　) A.－6 B.－2 C.－6或－2 D.－4 二、多选题（共3小题） 9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(0)为f(x)的极大值 C.f(x)有两个极小值点 D.f(－1)为f(x)的极小值 10.（2026·湖南长沙三模）若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（） A. B.函数对任意实数，恒有 C.若在值域为，则的范围为 D.， 11.（2025-2026·湖南岳阳高三下开学考）已知，下列说法正确的是（） A.在处的切线方程为 B.单调递增区间为 C.的极大值为 D.的极小值点为 三、填空题（共3小题） 12.函数f(x)＝x3－x2－14x的极小值点为　　　　　　，极大值为　　　　　　.  13.（2025·湖南长沙一模）函数的极值点为                   . 14.已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.（2026·湖南长沙三模）已知函数. (1)求的极小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集. 16.（2025-2026·河南濮阳高三下模拟）已知函数 (1)令，讨论函数的单调性； (2)若函数有极大值点，求证． 学科网（北京）股份有限公司 $