导数中的隐零点、同构、极值点偏移训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数三大核心难点，通过分类题型构建从基础应用到综合证明的递进训练体系，培养数学思维中的推理能力与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |隐零点|2题（单调性/零点/恒成立）|结合函数单调性与零点存在性，考查参数范围求解|从导数研究函数性质到隐零点代换，体现数学抽象与逻辑推理| |指对同构|3题（不等式恒成立求参数）|通过构造同构函数转化复杂不等式，简化运算|基于函数单调性与构造思想，培养数学语言表达能力| |极值点偏移|3题（零点存在/关系证明）|含双零点证明问题，涉及对称构造与不等式放缩|从函数零点分析到代数推理，发展数学思维的严谨性|

导数中的隐零点、同构、极值点偏移培优精品（原卷） 题型一：隐零点 1、已知函数f(x)=lnx-ax:g(x=aX2+(a-1)x-1（aeR）· (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围： (3)若a∈Z,且不等式f(x)≤gx)在0，+∞)上恒成立，求a的最小值 2、已知函数fx=lnx-mx2+1-2mlx+1. (1)若m=1,求fx的极值： (2)若对任意x>0,fx≤0恒成立，求整数m的最小值. 第1页共4页 题型二：指对同构 3、已知函数f(x)=e-nx-(a-1)x-lna'若f(x上0恒成立，则实数a的取值范围为. 4、已知两个函数f(x)=e,gx)=lnx:若满足条件a>0'ax-g(x)sfx)对于任意x>1都成立， 则实数a的最大值为. 5、若x>0时，2mx-xe2x+mlnx≤0，则实数m的最大值为 第2页共4页 题型三：极值点偏移 6、已知函数fx=lnmx-xm>0. (1)若fx≤0恒成立，求m的取值范围； (2)若fx有两个不同的零点x1,x2,证明+x2>2. 7、已知常数a>0,函数 -号-a-2a21x (1)若vx>0,fx>-4a,求a的取值范围： (2)若X1、x2是f(x)的零点，且X1≠x2,证明x1+X2>4a. 第3页共4页 8、已知函数fx=lnx-mx+lnm,m>0. (1)讨论函数fx的单调性： 2)假设存在正实数X,x,x≠，满足 ()=e mmxi f(x2)=-mxz m (i)求实数m的取值范围； (i)证明：x1+x2>2. 第4页共4页 导数中的隐零点、同构、极值点偏移培优精品（解析） 题型一：隐零点 1、已知函数，（）． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围； (3)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值． 【详解】（1）由题意，， 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令，得，当，，当， 在单调递增，在单调递减 （2）有两个零点，等价于有两个实数根，即， 即，等价于与有两个交点．由得，， 当，，当，， 在单增，单减． 且，， ，，，，且时，，图象如图， 的取值范围是 （3）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立．设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，；当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减，，， 则，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以a的最小值为1 2、已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意，恒成立，求整数m的最小值. 【详解】（1）当时，，. 当时，，则在上单调递增； 当时.，则在上单调递减. 所以在时取得极大值且极大值为，无极小值； （2）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，设，则. 设，显然在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即， 当时，，；当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 因为，所以， 故整数m的最小值为1. 题型二：指对同构 3、已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【详解】， 因为，所以 ，所以， 即恒成立， 令，因为在上单调递增，所以，故， 即在时恒成立即可，设，，则，， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增，则，所以， 又，所以a的取值范围为． 故答案为： 4、已知两个函数，，若满足条件，对于任意都成立，则实数a的最大值为 . 【详解】等价于，即，变形为. 设，，所以在上单调递增， 当时， ，由可得，即对任意都成立， 设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以，即a的最大值为. 故答案为： 5、若时，，则实数的最大值为 . 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，，故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. 题型三：极值点偏移 6、已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又，且和都大于， 故由在上的单调性知，即 7、已知常数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)若、是的零点，且，证明:. 【详解】（1）由已知得的定义域为，且 ， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极小值即最小值， ， ， ，即的取值范围为. （2）由（1）知，的定义域为， 在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点. 、是的零点，且，、分别在、上，不妨设， 设， 则 当时，，即在上单调递减. ， ，即， ， ，， ， 又，在上单调递增， ，即. 8、已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【详解】（1）由题意知，，令，解得， 令，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $