3.2 导数的概念及其意义、导数的运算【8大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数与函数单调性关系为核心，构建从图象辨析到含参讨论的递进式训练体系，培养逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导函数图象关系|6题|图象辨析题|从形到数理解导数符号与函数增减的对应关系| |不含参函数单调区间|6题|区间求解题|掌握导数法求单调区间的基本步骤| |单调区间求参数|6题|恒成立问题|通过导数不等式转化参数范围| |存在单调性求参数|6题|存在性问题|利用导数存在正负区间构建参数条件| |区间不单调求参数|6题|极值点存在问题|转化为导函数在区间有零点| |单根型单调区间讨论|6题|含参分类讨论题|按导函数根与定义域关系分类| |双根型单调区间讨论|6题|根的大小比较题|通过根的分布确定单调区间分界| |△型单调区间讨论|6题|判别式分类题|依据判别式判断导函数符号变化|

3.2 导数与函数的单调性 8大考点汇总 考点01 函数与导函数图象之间的关系 考点02 利用导数求不含参函数的单调区间 考点03 利用函数在区间上单调性求参数 考点04 利用函数在区间上存在单调性求参数 考点05 利用函数在区间上不单调求参数 考点06 利用导数讨论函数的单调区间（单根型） 考点07 利用导数讨论函数的单调区间（双根型） 考点08 利用导数讨论函数的单调区间（△型） 题型专练 考点01 函数与导函数图象之间的关系 1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 4．函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 5．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点02 利用导数求不含参函数的单调区间 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 9．函数的单调递减区间是___________． 10．利用基本初等函数（不求导）求下列函数的单调区间： (1)； (2). 11．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 12．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 考点03 利用函数在区间上单调性求参数 13．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 15．若在上严格增，则实数的取值范围是______． 16．若在R上单调递增，则实数的取值范围是________. 17．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 18．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 考点04 利用函数在区间上存在单调性求参数 19．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为_____. 22．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点05 利用函数在区间上不单调求参数 25．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．函数在区间上不单调，则实数的取值范围是_______． 27．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 28．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．已知在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点06 利用导数讨论函数的单调区间（单根型） 31．已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 32．已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 33．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 34．已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； 35．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 36．已知函数. (1)讨论的单调性； 考点07 利用导数讨论函数的单调区间（双根型） 37．已知函数，． (1)讨论的单调性； 38．已知函数， (1)当时，讨论的单调性； 39．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 40．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 41．已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； 42．已知． (1)讨论的单调性； 考点08 利用导数讨论函数的单调区间（△型） 43．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； 44．已知函数 (1)讨论的单调性； 45．已知正项数列中，，． (1)证明：； (2)已知． （i）讨论函数的单调性； 46．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 47．已知函数 . (1)求函数的单调性； 48．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 导数与函数的单调性 8大考点汇总 考点01 函数与导函数图象之间的关系 考点02 利用导数求不含参函数的单调区间 考点03 利用函数在区间上单调性求参数 考点04 利用函数在区间上存在单调性求参数 考点05 利用函数在区间上不单调求参数 考点06 利用导数讨论函数的单调区间（单根型） 考点07 利用导数讨论函数的单调区间（双根型） 考点08 利用导数讨论函数的单调区间（△型） 题型专练 考点01 函数与导函数图象之间的关系 1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 2．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，直接写出的单调区间，进而得出在区间上的符号，即可求解. 【详解】由图知函数的减区间为，，增区间为， 和分别是的极小值点和极大值点， 所以当时，，当时，， 当和时，， 又由图知时，，时，， 又等价于，所以的解集为. 3．（多选）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABC 【分析】根据导数的概念，判断选项A的正误；根据函数单调性和导数值的关系，判断选项B的正误；根据函数图像，求出函数解析式，进而判断选项C的正误；根据函数图像和函数导数的正负，判断选项D的正误. 【详解】对于选项A，， 由图可知有极值点1，，即，所以A正确； 设， 由图可知为奇函数，且，解得， 可知，则， 解得，所以， 则， 由图可知在上单调递减，所以， 对于选项B，，所以，选项B正确； 对于选项C，，所以选项C正确； 对于选项D，可知时，， 当时，， 当，可知，得， 或，得，所以D错误. 4．函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象判断的符号以及单调性，由此确定正确答案. 【详解】根据的图象可知，在区间上单调递增， 且函数增长的速度逐渐减慢，切线斜率递减. 所以，且单调递减， 所以. 5．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：若是，是：时递减，对应（在x轴下方）；时递增，对应（在x轴上方），符合规律，A正确； 对于B：若是，是：较小时，递增；较大时，递减，符合曲线先增后减的趋势，B正确； 对于C：若是，曲线是：恒正且递增，对应始终递增，且斜率越来越大（越来越陡），完全符合曲线的趋势，C正确； 对于D：两个曲线中，全程在x轴上方，全程在轴下方，两个曲线的单调性都是先增、再减、再增：若是原函数，原函数先增→再减→再增，要求导函数先正→再负→再正，而全程为负，不符合； 若是原函数，原函数同样需要导函数先正→再负→再正，而全程为正，也不符合。 因此D不可能，D错误. 题目要求选不正确的，故答案为D. 6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数与单调性的关系判断即可. 【详解】由函数的图象可知： 当时，，，此时单调递增； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递增．故C满足． 考点02 利用导数求不含参函数的单调区间 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数的定义域为，则， 当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． 8．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 9．函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 10．利用基本初等函数（不求导）求下列函数的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为 (2)单调增区间为，单调减区间为 【分析】（1）根据的单调性求解的单调性； （2）根据的单调性求解的单调性. 【详解】（1），则， 令，则， 由基本初等函数的单调性可知： 当时，单调递减，当时，单调递增， 由复合函数的单调性可知：当，即时，单调递减， 当时，即时，单调递增， 所以单调减区间为，单调增区间为. （2），令， 由基本初等函数的单调性可知：当 时，单调递增，当时，单调递减， 由复合函数的单调性可知：当，即时，单调递增， 当时，即时，单调递减， 所以单调增区间为，单调减区间为. 11．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 令，即，且， ，故的单调递增区间为． 12．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【详解】（1）∵ ，函数定义域为， ∴ ，即切点坐标为. ， ∴ 切线斜率. 由点斜式得切线方程为，整理得或. （2）由(1)得， ∵ 对任意，恒成立， ∴ 的符号由二次函数的符号决定. 令，即，解得，. ∵ 二次函数开口向上， ∴ 当或时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 考点03 利用函数在区间上单调性求参数 13．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为恒成立问题，然后参变分离，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 因为，所以必有，故转化为在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，即. 14．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立， 即在上有解. 当时，， 故，即实数的取值范围是. 15．若在上严格增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由给定单调区间建立恒成立的不等式并分离参数求解. 【详解】函数，求导得， 由函数在上严格增，得，， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 16．若在R上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用函数单调性与导函数符号之间的关系求解. 【详解】若在R上单调递增，则在R上恒成立， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 17．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】据题意可知将问题转化为在上恒成立，利用导函数求出函数的最小值即可得实数a的取值范围. 【详解】由可得， 因为函数在区间上单调递增 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以 令，则， 显然当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 所以在时取得最小值，即； 所以，即实数a的取值范围是. 18．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用在上恒成立，再转化为求函数的最值得出结论. 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立, 又在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 考点04 利用函数在区间上存在单调性求参数 19．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 20．若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，结合已知在上有解，再根据二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题设且， 由函数在定义域内存在单调递减区间，则在上有解， 令，其开口向上，对称轴为且，则， 所以. 故选：A 21．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】先求导得，令，，只需在有解即可. 【详解】， 令，即，只需在有解， ，，即存在，使， ，，当时，， 当时，只需，即. 综上所述，. 故答案为： 22．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】因为， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解，可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 23．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：B． 24．若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，化为在区间上有解，再应用参变分离或二次函数性质研究不等式能成立，求参数范围. 【详解】由，则． 函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 方法一：即在区间上有解，所以． 令，则， 令在上单调递增，所以，即， 所以． 方法二：当时，在恒成立，不符合； 当时，开口向上，只需或，所以． 故选：D 考点05 利用函数在区间上不单调求参数 25．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，利用导数讨论的单调性，结合题意可得运算求解即可. 【详解】由，函数定义域为， 当时，函数单调递增，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 若函数在区间不单调，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B. 26．函数在区间上不单调，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】合理翻译条件，转化为导函数的变号零点的存在性问题，用导数判断单调性，进而确定导函数的变号零点，得到不等式，求解参数范围即可. 【详解】易知，令，，故在上单调递减， 令，，故在上单调递增， 若函数在区间上不单调， 则在存在变号零点，而，， 故均为的变号零点， 下面分情况讨论，当时，解得， 当时，解得， 综上实数的取值范围是. 故答案为： 27．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“函数在上不单调”可等价转化为在上必有变号零点,通过参变分离法，即可求得，依题，只需判断选项是否为得真子集即可. 【详解】依题意，，因在上不单调， 故导函数在上必有变号零点. 令，得，再令，则， 由，得即在上单调递增，所以， 故只需，即， 对于A，是的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件， 而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确. 故选:A． 28．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】由. ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，函数的极值点为， 若函数在区间不单调，必有，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：B. 29．已知在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导，得到，从而得到函数的单调性，又因为在上不单调，从而得到关于的不等式. 【详解】由于，可得， 可得函数的极值点为：，， 由在上不单调， 可得或， 解得． 故选：D． 30．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用导数求函数在区间上单调时的的取值范围，再根据补集思想求不单调时的的取值范围. 【详解】由题意可知，， 若函数在上单调，则或， 当时，恒成立， 当，转化为，或， 设，则或恒成立， 即或， ， 所以， 所以函数在上不单调，则. 故选：B 考点06 利用导数讨论函数的单调区间（单根型） 31．已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)是的极小值点，极小值为 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）通过导数求函数的极值点和极值； （2）分类讨论，结合导数的正负研究函数的单调性； 【详解】（1）当时，，其定义域为， 求导，得， 令，即， 因为，所以，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，极小值为. （2）的定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，， 在上，，所以在上单调递减， 在上，，所以在上单调递增， 综上所述， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 32．已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在单增；当时，在单调递减，在上单调递增 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求得的单调区间. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， . 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增. 33．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 34．已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足求的值. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，探究函数的单调性. 【详解】（1）当时，，. 由解得，. 由， 所以，解得：. （2）由，所以. 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 35．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论可得函数的单调性； （2）结合（1）的单调性可得，进而计算求解即可； 【详解】（1）， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，即 ，解得； 由，即 ，解得， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）知，当时，，与矛盾，舍； 当时，的最大值为，即 ，解得 综上，实数的取值范围是 36．已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）利用导数与函数的单调性的关系，分和两种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，得到，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 考点07 利用导数讨论函数的单调区间（双根型） 37．已知函数，． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在 和上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）将函数求导，根据导函数的表达式，将参数分成，，和四种情况，分别讨论函数的单调性即得； 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当，即时，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，则， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增； 若，，即函数在上单调递增； 若，则， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 38．已知函数， (1)当时，讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）对函数求导，通过讨论的范围，得到和，即可得到函数的单调区间； 【详解】（1）的定义域为，， ，则由得，． （ⅰ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． （ⅱ）当时，则，此时，所以在单调递减． （ⅲ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． 综上所述， 当时，在和上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增． 39．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件，求出的解，再由极值的定义即可求解； （2）根据条件得到，再对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. （2）的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 40．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程； （2）求导，然后对分类讨论即可； 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为． 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 41．已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）将代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间上的符号，确定函数单调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值； （2）对求导，将导函数整理为关于的因式形式；参数的取值会影响导数的符号，分和两种情况讨论正负所在的区间，确定函数单调性； 【详解】（1），则； ，即在内单调递减. ，； 即函数在时的最大值为，最小值为. （2），则函数的定义域为. . 当时，，即在上单调递减； 当时，令，即，解得. 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 42．已知． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在(上单调递减. 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性； 【详解】（1）函数的定义域为，. ①当时，因为，所以，则恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，解得(舍去). 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 考点08 利用导数讨论函数的单调区间（△型） 43．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)，证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． 【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用处导数值等于0列方程求，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得无极值点； （2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断单调性； 【详解】（1）对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． 44．已知函数 (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 【分析】（1）求导后分析分子的符号，分、、三种情况，讨论函数单调性； 【详解】（1）， 当时，. 在单调递增，在单调递减. 当且的判别式， 即时对恒成立， 在上单调递减. 当时，由得：， 解得：. 由可得：或， 在上单调递增， 在上单调递减. 45．已知正项数列中，，． (1)证明：； (2)已知． （i）讨论函数的单调性； 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【分析】（1）构造函数并利用导数确定单调性，进而证明不等式. （2）（i）求出函数的导数，按分类讨论的符号即可； 【详解】（1）设函数，求导得 函数在上单调递减，，则当时，恒成立， 由，得，而，因此，数列单调递减， 所以 （2）（i）函数的定义域为，求导得， 设函数，， 当，即时，，，函数在上单调递增； 当，即时，有两个不相等实根，， 函数对称轴，，，则， 当或时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减. 46．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入参数，求函数导数得到切线斜率，结合切点坐标，利用点斜式求解切线方程. （2）对函数求导并整理为分式形式，结合判别式与二次函数根的分布，分三类讨论导函数符号，以此确定函数单调区间. 【详解】（1）当时， ，又，故曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为 当，即时，，函数在单调递减 当，即时， 若，令，得， 于是函数在和单调递减，在单调递增； 若，令，得（舍）. 函数在上单调递增，在单调递减. 综上，当时，在上单调递减 当时，在和上单调递减， 在上单调递增. 当时，在上单调递增，在单调递减． 47．已知函数 . (1)求函数的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增 【分析】（1）由题意得，求导，分，，和四种情况讨论求得函数的单调区间； 【详解】（1）由已知， 当时，令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减. 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 48．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)若，在上单调递增；若，在上单调递减，上单调递增；若，在和上单调递增，上单调递减. 【分析】（1）利用导数求得在处的斜率，从而求得切线方程； （2）对函数求导可得，，通过讨论的实数根的情况，分析导函数的正负，从而判断函数的单调性； 【详解】（1）若， 所以， 故切线方程为. （2） 令，其判别式， ①当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. ②当，即时：的两根为， 若，则，， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，上单调递增， 若，则， 所以当和时，； 当时，. 所以在和上单调递增，上单调递减. 综上所述，若，在上单调递增； 若，在上单调递减，上单调递增； 若，在和上单调递增，上单调递减. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $