3.1 导数的概念及其意义、导数的运算【7大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数概念、运算及切线应用，构建“概念-运算-切线问题”三级逻辑体系，通过7大考点分层突破高频题型，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数概念及应用|6题|定义辨析、物理意义、极限表示|从导数定义出发，关联瞬时变化率（数学眼光）| |导数计算|6题|公式应用、复合函数求导、正误判断|夯实运算基础，为切线求解提供工具（数学思维）| |切线方程|8题|在点处切线、过点切线（含参数）|区分切点位置，体现数形结合（数学思维）| |切线条数|6题|过定点切线数量判断|转化为方程解的个数，强化逻辑推理（数学思维）| |切线位置关系|6题|平行、垂直、公切线求参|应用导数几何意义，构建方程模型（数学语言）| |切线距离最值|6题|点到线距离最小化|利用切线平行性，体现优化思想（数学语言）|

3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 7大考点汇总 考点01 导数的概念及其应用 考点02 导数的计算 考点03 求在曲线上一点处的切线方程 考点04 求过一点的切线方程 考点05 切线条数的问题 考点06 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 考点07 切线的其他用法（距离最值） 题型专练 考点01 导数的概念及其应用 1．已知，则______． 【答案】 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果． 【详解】 ． 2．已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式． 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则， 即，则， 解得， 解得，当时取得最小正数，， 此时． 3．已知函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】由题设结合导数定义可得答案. 【详解】 . 4．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 【答案】 【详解】由，则， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为． 5．已知函数满足，则（   ） A．4 B．-4 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】由题设结合导数定义可得答案. 【详解】.故选：B. 6．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 【答案】B 【详解】因为当无限趋近于0时，无限趋近于常数6， 所以该质点在时的瞬时速度为6. 考点02 导数的计算 7．以下求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，，故选项C正确；     选项D，，故选项D正确. 8．已知，则______． 【答案】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 9．（多选）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 10．已知函数，则______． 【答案】 【详解】因为，于是． 11．下列求导数的运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数公式及简单复合函数求导逐项判断即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 12．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，然后令即可求解. 【详解】对函数求导得，令得，解得. 考点03 求在曲线上一点处的切线方程 13．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 14．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，令可得轴上的截距. 【详解】，，又， 所以处的切线为， 令，可得， 故函数的图象在处的切线在轴上的截距为. 15．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求切点坐标，再求函数在切点处的导数值得到切线斜率，最后由点斜式整理得到切线方程. 【详解】函数的定义域为，切点为： 得，即切点为； ，代入得斜率； 切线方程为，整理得. 16．函数在点处的切线的斜率为________． 【答案】 【详解】由，得， 则，即函数在点处的切线的斜率为. 考点04 求过一点的切线方程 17．已知是函数的导函数，且． (1)求的解析式； (2)若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对已知函数式令，推出简化原式，再对求导，代入利用解出，进而求出的解析式. （2）先求出函数导数，设出切点写出切线方程，把定点(t，0)代入切线方程整理出关于切点横坐标的表达式，转变成一元二次不等式问题得到实数的取值范围. 【详解】（1）已知，令，得. 即，解得. 因此. 对求导：. 令，结合，得，即，解得. 代入得的解析式：. （2）由（1）得，. 设切点为，切线斜率为，切线方程. 因为切线过点，代入得. 约去并整理得一元二次方程. 曲线存在这样的切线等价于关于的一元二次方程有实数解. 故判别式，化简得。 解不等式得或，所以实数的取值范围是. 18．曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【分析】分和，设切点，得出。结合点斜式求出的切线方程. 【详解】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 19．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 20．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 考点05 切线条数的问题 21．已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可. 【详解】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 22．函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】讨论当点为切点时与当点不是切点时，利用导数的几何意义即可求解． 【详解】由函数，则， 当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为， 当点不是切点时，设切点，则， 即，即， 解得或（舍去），所以 所以切线的方程为，即． 综上，函数过点的切线条数为2条. 故选：B 23．过点可作曲线的切线的条数最多为______. 【答案】 【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出结果. 【详解】设切点坐标为． 因为，所以，则切线斜率为， 所以切线方程为． 又点在切线上，所以，解得， 故过点可作条切线与曲线相切． 故答案为：. 24．函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 25．过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，根据条件，利用导数的几何意义，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，利用零点存在性原理，可得只有一解，即可求解. 【详解】设切点为，则， 又，所以切线斜率为， 又切线过点，所以，整理并化简得， 令，则， 令，则， 易知时，，时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，， 所以存在唯一，使，所以切线只有一条， 故选：B. 26．曲线过点的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意，设切点，利用导数求得切线方程，进而，设，利用导数研究函数的零点个数，即为所求切线条数. 【详解】首先判断点是否在已知曲线上. 因为，所以点不在函数的图象上. 由题意知，， 设曲线过点的切点为， 则     (1)     (2) 切线的方程为， 因为切线过点，代入切线方程：     (3) 由得 整理得. 设，则， 令，或， 所以在上单调递减，在、上单调递增， 则的极大值为，极小值为， 且， 故的图象与轴有3个不同的交点，即方程有3个不同的根， 所以曲线过点的切线有3条. 故选：D 考点06 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 27．曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【详解】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C 28．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 29．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 30．函数在点处的切线与平行，则___________． 【答案】1 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合已知求出. 【详解】函数，求导得，则， 由函数在点处的切线与平行，得， 此时，切点不在直线上，符合题意，所以. 故答案为：1 31．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解. 【详解】函数，求导得，则， 由函数的图象在点处的切线与直线垂直，得， 即，所以. 32．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 考点07 切线的其他用法（距离最值） 33．已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】要使得两点之间的距离最小，可使直线与平行，且直线与曲线相切时， 与的距离即两点之间的最小距离， 由，解得． 由得直线的方程为，即， 则与的距离， 即两点之间距离的最小值是． 34．函数图象上的点到直线的距离的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】求解导数令求解，可得曲线在切点处的切线与直线平行，再由两平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】将函数求导得 令，得（负值舍去），又， 则曲线在点处的切线方程为，即， 依题意，该函数图象上的点到直线的距离的最小值即直线与的距离， 因为 则函数图象上的点到直线的距离的最小值为. 35．已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图像上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 【答案】 【分析】先判断出与的图像的对称性，然后结合导数与点到直线的距离公式求得最小值. 【详解】由题可得，的反函数为，互为反函数的两函数图像关于对称， 所以P，Q两点最小距离等于其中一个函数图像到直线最小距离的两倍. 设上与平行的切线的切点为，， 所以，， 则切点为， 36．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义及点到线的距离计算. 【详解】因到直线的距离最小，故过与直线平行的直线与曲线相切， 由题意可知：,令，得 易得函数在单调递增，且为零点. 此时点M的坐标为. 此时M到直线的距离， 所以点M到直线的距离的最小值为. 37．（1）设（为常数），曲线与直线在点相切.求的值. （2）曲线在处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）由题意可得，利用导数的几何意义可得，计算即可求解； （2）求导，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据平行线间距离公式列式计算即可求解. 【详解】（1）由曲线过点，可得，故， 由，得， 则， 此即为曲线在点处的切线的斜率， 由题意，得，故. （2）设，则， 切线方程为，即. 因为直线l与切线平行，所以可设直线l的方程为. 两平行线间的距离，解得或. 故直线l的方程为或. 38．曲线上的点到直线距离的最小值为___________． 【答案】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得，即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为， 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 7大考点汇总 考点01 导数的概念及其应用 考点02 导数的计算 考点03 求在曲线上一点处的切线方程 考点04 求过一点的切线方程 考点05 切线条数的问题 考点06 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 考点07 切线的其他用法（距离最值） 题型专练 考点01 导数的概念及其应用 1．已知，则______． 2．已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 3．已知函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 4．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 5．已知函数满足，则（   ） A．4 B．-4 C．-2 D．2 6．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 考点02 导数的计算 7．以下求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则______． 9．（多选）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则______． 11．下列求导数的运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 考点03 求在曲线上一点处的切线方程 13．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 14．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 15．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 16．函数在点处的切线的斜率为________． 考点04 求过一点的切线方程 17．已知是函数的导函数，且． (1)求的解析式； (2)若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围． 18．曲线过点的两条切线的方程为________，________. 19．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 20．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 考点05 切线条数的问题 21．已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 22．函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 23．过点可作曲线的切线的条数最多为______. 24．函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 26．曲线过点的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点06 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 27．曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 29．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 30．函数在点处的切线与平行，则___________． 31．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 考点07 切线的其他用法（距离最值） 33．已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 34．函数图象上的点到直线的距离的最小值为___________. 35．已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图像上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 36．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 37．（1）设（为常数），曲线与直线在点相切.求的值. （2）曲线在处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 38．曲线上的点到直线距离的最小值为___________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $