3.1 列代数式表示数量关系-课件- 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“列代数式表示数量关系”，涵盖代数式概念、书写规范、列代数式步骤及正反比例关系。课堂导入以智能机器人识别苹果范围为例，从具体数字运算过渡到字母表示，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接后续复杂代数式及比例关系学习。 其亮点在于情境化与结构化结合，通过智能机器人、冬奥会造雪等现实情境培养数学眼光，例题涵盖经济、行程问题训练数学思维，强调符号表达与书写规范提升数学语言能力。如圆柱容器问题分析反比例关系，帮助学生抽象数学模型，教师可高效教学，学生增强应用意识。

第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 人教版 七年级上册 1 新课导入 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一。 某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成 5 m² 范围内苹果的识别。 2 s 能识别的范围：5 × 2 = 10 m² t s 能识别的范围：5 × t = 5t m² 识别 n m² 需要： 秒 思考：5t，，4a，a² 这些式子有什么共同特征？ 它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子！ 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子。 特别地，单独的一个数或字母也是代数式。 3.1 列代数式表示数量关系 2 / 18 2 代数式书写规范 1 乘号省略 数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常省略 5 × t → 5t a × a → a² 2 数字在前 数字与字母相乘时，数字写在字母前面 a × 5 → 5a （不写作 a5） 3 除法变分数 含有字母的除法，一般写成分数形式 n ÷ 5 → s ÷ v → 4 带分数化假分数 带分数与字母相乘时，化成假分数 1² × a → ()a 5 带单位加括号 代数式后带单位时，和差形式要加括号 (2n − 10) 件 （不是 2n −10 件） 3.1 列代数式表示数量关系 3 / 18 3 例题精讲：列代数式 例 1 用代数式表示： (1) 苹果原价 p 元/kg，按九折优惠出售，售价是多少？ 解： 0.9p 元/kg 售价 = 原价 × 0.9 (2) 长方形长 0.9 m，宽 p m，面积是多少？ 解： 0.9p m² 面积 = 长 × 宽 (3) 前年产量 n 件，去年产量是前年的 2 倍少 10 件，去年产量？ 解： (2n − 10) 件 去年 = 2 × 前年 − 10 (4) 长方体底面长宽都为 a m，高 h m，水占容积的 ，水体积？ 解： a²h m³ 水体积 = × 长 × 宽 × 高 3.1 列代数式表示数量关系 4 / 18 4 代数式的意义 例 2 说出下列代数式的意义： 2a + 3 a 的 2 倍与 3 的和 2(a + 3) a 与 3 的和的 2 倍 c / (ab) c 除以 a, b 的积的商 x² + 2x + 8 x 的平方，x 的 2 倍，与 8 的和 关键：分清运算顺序！ 2a + 3 是先乘后加，2(a + 3) 是先加后乘 3.1 列代数式表示数量关系 5 / 18 5 课堂练习 1. 填空： 每包书 10 册，6 包有 ___ 册，n 包有 ___ 册 60，10n 王芳今年 m 岁，去年 ___ 岁，6 年后 ___ 岁 (m−1)，(m + 6) p kg 糖装入 n 袋，每袋 ___ kg 棱长 a 的正方体体积是 ___ a³ 2. 说出代数式的意义： 2a + 3c：a 的 2 倍与 c 的 3 倍的和 3(m − n)：m 与 n 的差的 3 倍 a² + 1：a 的平方与 1 的和 3. 代数式 100 − 2x 可以表示什么？举例说明。 如：100 元买了 x 个 2 元的橡皮，剩余 (100 − 2x) 元 3.1 列代数式表示数量关系 6 / 18 6 新知探究：复杂代数式 如何用代数式表示 a, b 两数的和与差的积？ 分析步骤： 两数的和： a + b 两数的差： a − b 它们的积： (a + b)(a − b) 所以 a, b 两数的和与差的积为 (a + b)(a − b) 列代数式三步法 审题（明确数量关系）→ 文字表达（和、差、积、商）→ 符号表达（代数式） 练习：a, b 两数的和与积的差为 (a + b) − ab 3.1 列代数式表示数量关系 7 / 18 7 例题精讲：经济问题 例 1 用代数式表示： (1) 2 个 a 元面包和 3 瓶 b 元饮料，共多少钱？ 总钱数 = 2 × 面包单价 + 3 × 饮料单价 解： (2a + 3b) 元 (2) a 元存银行，存期 3 年，年利率 2.75%，到期利息？ 利息 = 本金 × 年利率 × 存期 解： 8.25%a 元 (3) 进价 x 元，标价为进价 1.1 倍，再降 80 元，现售价？ 售价 = 标价 − 降价 = 1.1 × 进价 − 80 解： (1.1x − 80) 元 实际问题 → 数学问题 → 文字表达 → 符号表达 3.1 列代数式表示数量关系 8 / 18 8 例题精讲：行程问题 例 2 甲、乙两地公路全长 240 km，汽车从甲地开往乙地，速度 v km/h。 (1) 汽车需要行驶多少小时？ 时间 = 路程 ÷ 速度 小时 = 240 ÷ v (2) 速度增加 3 km/h 后需要多少小时？ 时间 = 240 ÷ (v + 3) 小时 早到 = − 小结 用字母表示数，字母可以和数一样参与运算 从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性 学会用数学的眼光观察现实世界 3.1 列代数式表示数量关系 9 / 18 9 课堂练习 1. 用代数式表示： 比 a 的 2 倍大 1 的数 2a + 1 a 的相反数与 b 的一半的差 −a − b a 的平方除以 b 的商 2. 某商品每袋 4.8 元，一个月销售 m 袋，月收入？ 4.8m 元 3. 两块棉田：一块 m 公顷，每公顷 a kg；另一块 n 公顷，每公顷 b kg，总产量？ (am + bn) kg 4. 大正方形边长 a mm，小正方形边长 b mm，剩余铁皮面积？ (a² − b²) mm² 关键：审清题意 → 用文字表示数量关系 → 转化为代数式 3.1 列代数式表示数量关系 10 / 18 10 正比例关系 回顾：苹果采摘机器人每秒识别 5 m² 范围 2 s 识别范围：10 m² t s 识别范围：5t m² 比值： = 5， = 5 （一定！） 工作效率 = 工作量 / 工作时间 = 5（不变） 当工作效率保持不变，工作量与工作时间成正比例。 = k (k ≠ 0) 正比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化 且这两个量的比值一定 → 正比例关系 = k 一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少 3.1 列代数式表示数量关系 11 / 18 11 反比例关系 问题：冬奥会造雪 260 000 m³ 每天造雪量(m³) 造雪天数 乘积 5 000 52 260 000 5 200 50 260 000 6 500 40 260 000 造雪天数随每天造雪量变大而变小 但乘积总是一定的（260 000） 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化 且这两个量的乘积一定 xy = k (k ≠ 0) 一个量增加，另一个量减少 一个量减少，另一个量增加 当工作量不变，工作效率与工作时间成反比例关系 3.1 列代数式表示数量关系 12 / 18 12 例题精讲：圆柱容器 例 四个圆柱形容器底面积分别为 10, 20, 30, 60 cm²，分别注入 300 cm³ 的水。 (1) 四个容器中水的高度分别是多少？ 高度 = 圆柱体体积 / 底面积 底面积 10 cm² 高 30 cm 底面积 20 cm² 高 15 cm 底面积 30 cm² 高 10 cm 底面积 60 cm² 高 5 cm (2) 用 x 表示底面积，y 表示水高度，y 与 x 的关系？成什么比例？ xy = 300 y 与 x 成反比例关系 底面积越大，水高度越小；乘积（体积）不变 3.1 列代数式表示数量关系 13 / 18 13 正比例与反比例对比 正比例关系 反比例关系 相同点 1. 都有两个相关联的量 2. 一个量随另一个量的变化而变化 1. 都有两个相关联的量 2. 一个量随另一个量的变化而变化 变化方向 一个量增加，另一个量也增加 一个量减少，另一个量也减少 一个量增加，另一个量减少 一个量减少，另一个量增加 关系式 = k (k ≠ 0) 比值一定 xy = k (k ≠ 0) 乘积一定 生活中的反比例：总价一定，数量与单价成反比；路程一定，速度与时间成反比 3.1 列代数式表示数量关系 14 / 18 14 课堂练习 1. 路程一定，速度与时间是否成反比例？ 是。速度 × 时间 = 路程（一定），速度随时间变长而变慢，乘积一定。 2. 判断是否成反比例： (1) 水果质量一定，装箱数与每箱质量 成反比例（装箱数 × 每箱质量 = 总质量） (2) 长方体体积一定，底面积与高 成反比例（底面积 × 高 = 体积） (3) 总费用一定，荧光笔费用与中性笔费用 不成反比例（和一定，非乘积一定） 3. 运输货物：每天吨数 500, 250, 100 对应天数 1, 2, 5 (1) 货物共 500 × 1 = 500 吨 (2) 天数随每天吨数变大而变少 (3) ta = 500，t 与 a 成反比例关系 3.1 列代数式表示数量关系 15 / 18 15 课堂小结 本章知识结构 列代数式表示数量关系 代数式概念 列代数式 比例关系 用运算符号连接数或字母 单独一个数/字母也是代数式 审题 → 文字表达 → 符号表达 书写规范（乘号省略等） 正比例： = k（同增同减） 反比例：xy = k（一增一减） 数学思想方法 由特殊到一般 | 抽象化 | 符号化 | 模型化 从实际问题抽象出代数式，体会量的变化规律 3.1 列代数式表示数量关系 16 / 18 16 方法总结 列代数式的一般步骤 1 审题 明确题目中包含几个量，它们各代表什么 2 文字表达 用文字表示出这些量之间的关系（和、差、积、商） 3 符号表达 用含有字母的式子（代数式）表示数量关系 4 检验 检查代数式是否符合实际意义，书写是否规范 核心：实际问题 → 数学问题 → 文字语言 → 符号语言（代数式） 3.1 列代数式表示数量关系 17 / 18 17 课后任务 1. 教科书第 75 页，习题 3.1 第 1 题。 2. 教科书第 76 页，习题 3.1 第 2 题。 3. 教科书第 76 页，习题 3.1 第 3、4、5 题。 拓展思考 生活中还有哪些正比例关系和反比例关系的例子？ 如：速度一定，路程与时间成正比；总价一定，数量与单价成反比 3.1 列代数式表示数量关系 18 / 18 18 $