5.3实际问题与一元一次数字问题解答题专题训练2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程解决数字问题，通过幻方、数阵、定义新运算等载体，系统提炼方程建模、规律探究、符号表达的解题方法，形成从具体到抽象的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幻方问题|1,8,15,16,20|中间数不变原理、幻和公式、方程求参数|从三阶幻方构造到广义幻方，体现对称与方程思想| |数阵规律|4,7,9,13,18,19|十字框/工字形框数字关系、代数式表示和差|从奇数阵到连续数阵，培养观察归纳与推理意识| |定义新运算|3,14|概念转化、代数方程求解|通过“友好数”“m倍数”，强化符号意识与模型意识| |数字表示与应用|5,6,10,11,12,17|数位表示法、数列通项公式|从三位数表示到数列规律，构建数字应用的逻辑体系|

5.3实际问题与一元一次数字问题解答题专题训练 1．图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 2．同学，欢迎你即将进入初中的生活！细心观察“初”字的笔画，可以看出，它正好由15个交叉点和端点组成，每一笔画上有两个或三个圆圈． 请在每个圆圈内填入1到10这10个连续整数中的一个（不能重复），要求图中构成横、竖、撇、捺每个笔画上的几个数字的和都等于一个常数（注意：不包括“折”）．你能填出来吗？试一试，你一定行！（请直接将答案填在圆圈内） 3．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由． ②的“友好数”为______． (2)若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为，的倒数为，的“友好数”为，的倒数为……；依次按如上的操作，得到一组数，，，，……，．当时，求的值． 4．小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 5．嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． (1)求图中所有数的和． (2)若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 6．一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是． (1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示） (2)列方程求解原三位数． 7．把正整数，，，……，排列成如图所示的一个表，从上到下分别称为第行、第行、…，从左到右分别称为第列、第列、……．用图所示的方框在图中框住个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为，，，．设． (1)在图中，排在第____行第____列；排在第行第列的数为_____，其中，，且都是正整数；（直接写出答案） (2)若，求出所表示的数． 8．在如图所示的广义的三阶幻方（满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等）中给出了3个数，分别求a，x，y的值． 9．将连续的奇数1，3，5，7，……，排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． (1)图中十字框中的五个数之和与中间数17有什么关系？说明理由； (2)落在十字框中间且又是第三列的奇数是17，29，41，53，……，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第五列可表示为______； (3)已知被十字框框中的五个奇数之和为2025，则十字框中间的奇数是多少？这个奇数落在从左往右第几列？ 10．如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． (1)求第个台阶上的数； (2)求第几个台阶上的数是． 11．一个三位数的百位数字是1，若把百位数字移到个位，则新数比原数的2倍还多1，则原来的三位数是多少？（填空并解答完毕） 解：若设这个三位数的后两位数为x，原数为______，新数为______. 根据题意，得 12．有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），并自左至右用正整数序列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负． (1)计算4～9号位置对应标数之和； (2)当取标数为，，的三个珠子（k为正整数）时，求其标数之和（用含k的式子表示） (3)三个相邻珠子标数之和等于27，若中间的珠子为黑色，求黑色珠子的标数． 13．如图是由正奇数排成的数阵： (1)图中“工”字形框中七个数的和是中间数45的______倍 (2)在数阵中任意做一个这样的“工”字形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由． (3)直接判断用这样的“工”字形框能框出和为2023的七个数吗？请说明理由 14．定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；1940：，则称1940为“倍数”；2548：．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； (2)若一个三位数x为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数x既为“2倍数”又是“倍数”，直接写出这样的四位数x的最大值和最小值； 15．河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．其中的“洛书”，在今天看来就是一个三阶幻方．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15． (1)如图2是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于18，则 ， ； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的偶数2，4，6，8，10……排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是 （填化简结果）； ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于330吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 16．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．三阶幻方由的方格排列，也被称为九宫格，将九个数填入方格中，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等． (1)图1是一个“幻方”，则________，________，________； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的偶数2，4，6，8，…排列成数阵，回答以下两个问题： ①在图2的数阵中，位于第n行的中间的数是________（用含n的代数式表示）； ②用十字框随机框出图2的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 17．观察下面三行数列： 第一行：1    4    9    16    25… 第二行：0    3    8    15    24… 第三行：2    6    12   20    30… 根据它们的规律，解答下列问题： (1)第一行第8个数是______； (2)第二行第n个数是______（用含n的式子表示）； (3)第三行第m个数与第二行第m个数的差为2026，求m的值． 18．将连续的奇数排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 19．如图是由正奇数排成的数阵： (1)图中“工”字形框中七个数的和是中间数45的______倍 (2)在数阵中任意做一个这样的“工”字形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由． (3)直接判断用这样的“工”字形框能框出和为2026的七个数吗？请说明理由 20．如图（1），每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，我们就称这个图是一个三阶幻方．图（1）中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都是27，我们称27为此三阶幻方的幻数． (1)如图（2），是一个三阶幻方，根据所给条件求出x的值，并在其余5个空白位置填写上具体数字． (2)如图（3），是一个三阶幻方，若设幻方的幻数为p，请用含a的代数式表示p，并求当a为6时，符合图（3）条件的三阶幻方数，请在图（4）中填入相应的数字． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《5.3实际问题与一元一次数字问题解答题专题训练2026-2027学年人教版数学七年级上册》参考答案 1．(1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 2． 【分析】根据题意可设出对应圆圈的数，推出t与x的关系，再讨论x的值，从而确定其它数字即可得到答案． 【详解】解：根据题意可设对应圆圈的数如下图所示： 则， 所以， 所以， 因为表示的是1到10中的一个数， 所以的最大值为6， 当时，， 所以，符合题意； 此时填圆圈如下： 当时，，此时数字7用了2次，不符合题意； 当时，可求出此时t大于10，不符合题意； 综上所述，只有满足题意． 3．(1)①与3互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3互为“友好数”； ② (2) (3) 【分析】（1）①根据“友好数”的定义即可求解； ②根据“友好数”的定义即可求解； （2）根据有理数与互为“友好数”，与互为相反数，得出，再化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①略 ②设的“友好数”为x，根据题意得： ， 解得：， 即的“友好数”为； （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数以，，，，，4为周期循环，周期为6， ∵， ∴对应周期中第4个数，值为． 4．(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为； （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33． 5．(1) (2) 【分析】（1）将图中所有数相加即可； （2）根据“横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等”列方程求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得． 6．(1)； (2) 【分析】（1）利用三位数的数位计数规则（百位十位个位），结合已知的个位与百位数字的倍数关系，分别写出原数和调换后数的代数式； （2）根据“两数之和为”的等量关系列一元一次方程，求出百位数字的值，再代入原数的代数式计算出原三位数即可． 【详解】（1）解：设原三位数的百位数字是，则原三位数的个位数字是，新三位数的百位数字是，个位数字是， ∴原三位数为； 调换位置后的三位数为； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴， 答：原三位数是． 7．(1)，； (2) 【分析】（1）利用“每行个数”的规律，通过除法求商和余数确定位置，并推导出行列通用公式； （2）用表示出，，，代入方程求解，再算出的值． 【详解】（1）解：∵，排在第行第列； ∵根据数字排列规律：第行最后一列数字为， ∴排在第行第列的数为． （2）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 8．a的值为28，x的值为26，y的值为25 【分析】根据幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，建立一元一次方程求解． 【详解】解：因为幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， 因此，． 所以， 所以 设最后一行第二个数为，设最后一行第三个数为， 则， 所以 因为 所以， 解得， 所以 所以，a的值为28，x的值为26，y的值为25． 9．(1) 解：十字框中的五个数之和是17的5倍，理由如下： ； (2) (3)十字框中间的奇数是；这个奇数落在从左往右第列 【分析】（1）求出5个数的和即可得出结论； （2）若为第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，那么这列的数是在5的基础上增加几个12；同理可得其余列数中的奇数与各列起始数之间的关系即可； （3）设中间的奇数是，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数）； 第五列的奇数，起始数为9，每相邻2个数之间的数相隔12，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数）； （3）解：设中间的奇数是，则中间数上面和下面的数分别为，前面和后面的数分别为，则这个数的和为 ， 依题意 解得：， ；则在第列； 答：十字框中间的奇数是；这个奇数落在从左往右第列． 10．(1) (2) 【分析】（1）根据每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，列式计算即可； （2）先得出第个台阶上的数是，根据台阶上的数是，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，第个台阶上的数是， ∴第个台阶上的数是． （2）解：第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， ……， ∴第个台阶上的数是， 当台阶上的数是时，， 解得：， ∴第个台阶上的数是． 11．，，原数为，解答见解析 【分析】若设这个三位数的后两位数为x，原数为，新数为，根据“新数比原数的2倍还多1”建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：若设这个三位数的后两位数为x，原数为，新数为 根据题意，得 解得 所以原数为． 12．(1)9 (2) (3) 【分析】（1）4～9号位置对应标数相加即可； （2）将三个标数相加，运用整式的加减法则计算即可； （3）设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据“标数之和等于27”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 答：4～9号位置对应标数之和为9． （2）解：， 答：其标数之和为． （3）解：设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：黑色珠子的标数为． 13．(1)7 (2) 仍成立． 设中间数为x，则另六个数为，，，，，， 则七个数的和为：， 故七个数的和是中间数的7倍； (3) 不能，理由如下： 假设这样的“工”字形框能框出和为2023的七个数， 令中间的数字为m， 则， 解得． 由得，， 则余1， 所以中间数289排在第1列， 则它的左上方和左下方没有数字， 所以用这样的“工”字形框不能框出和为2023的七个数． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为m，根据七个数的和为2023，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（倍）； （2）略 （3）略 14．(1)3274不是“m倍数”，2961是“m倍数”，m为 (2)能，理由： 为三位数，个位为， ∵一个三位数x为“倍数”， ∴ 整理得： 这个三位数为：． 是整数． 这三位数能被整除． (3)最大值：9999；最小值：1010 【分析】（1）根据列方程求解，再判断是不是整数即可； （2）由题意得，再根据“倍数”列方程求解即可； （3）设，由四位数x既为“2倍数”又是“倍数”得到，，整理得到，，据此求最大值和最小值． 【详解】（1）解：∵，解得，不是整数， ∴不是“倍数”； ∵，解得， ∴是“倍数“，为 （2）略 （3）解：设， ∵四位数x既为“2倍数”又是“倍数” ∴，， ∴， ∴，， ∴四位数x最大值：9999；最小值：1010． 15．(1)， (2)①；②能，这5个数分别为，，，， 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用、一元一次方程的应用、数字类规律探索，正确建立方程是解题关键． （1）根据每条对角线上的三个数之和都等于18可得的值，再求出第2行第1列上的数，然后根据每行上的三个数之和都等于18即可得的值； （2）①分别写出第行的中间的数，归纳类推出一般规律即可得； ②设十字框中的中间的数是，则其他四个数分别为，，，，根据题意建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴第2行第1列上的数为， ∴， 故答案为：，． （2）解：①由题意得：第1行的中间的数是， 第2行的中间的数是， 第3行的中间的数是， 第4行的中间的数是， 归纳类推得：在图3的数阵中，位于第行的中间的数是， 故答案为：． ②设十字框中的中间的数是，则其他四个数分别为，，，， 由题意得：， 解得， 则其他四个数分别为，，，， 答：十字框中的五数之和能等于330，这5个数分别为，，，，． 16．(1)，， (2)①； ②设十字框随机框出图的数阵里的中间的数为，则这五个数分别为，，，，， ∴这五个数的和为， 由题意得， 解得：，130是该行最末尾的数字， ∴十字框中的五数之和不可能等于650． 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等列式计算即可求解； （2）①根据规律可得第行最后一个数为，中间的数字为； ②设十字框随机框出图的数阵里的中间的数为，则这五个数分别为，，，，，根据十字框中的五个数之和为650，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，解得， ，解得， ，解得， 故答案为：，，； （2）解：①第一行最后一个数为，中间的数字为， 第二行最后一个数为，中间的数字为， 第三行最后一个数为，中间的数字为， …… 第行最后一个数为，中间的数字为， 故答案为：； ②略 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，列代数式，解一元一次方程； （1）根据题目中数字的特点，写出第一行第个数为：，即可求解； （2）根据题目中数字的特点，写出第二行第个数为：，即可求解； （3）根据题目中数字的特点，写出第三行第m个数为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：第一行：1    4    9    16    25… ∴第一行第个数为：， ∴第一行第8个数是 故答案为：． （2）解：第一行：1    4    9    16    25… 第二行：0    3    8    15    24… ∴第一行第个数为：， ∴第二行第个数为：， 故答案为：． （3）解：第三行：2    6    12   20    30… 即，，，，，… ∴第三行第m个数为 ∵第三行第m个数与第二行第m个数的差为2026， ∴ 解得： 18．(1)这五个数之和是中间数15的5倍 (2)5a (3)不能；能 【分析】本题考查了列代数式、数字的规律，整式的加减，及一元一次方程的应用； （1）求出这个数的和即可得； （2）若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，据此可得； （3）根据五个数的和分别为、列方程求解后，求出a的值即可判断． 【详解】（1）解：由题意，得，． 因此十字形框中的五个数之和是中间数15的5倍． （2）解：设框住的五个数的中间数为，则其余的4个数分别为． 由题意，得． （3）解：十字形框中的五个数之和不能等于2022，因为2022不是5的倍数； 能等于2025，因为2025是5的倍数，且中间数为405，是奇数，405在第三列， 故可以得出5个数之和等于2025． 19．(1)7 (2) 解：仍成立． 设中间数为x，则另六个数为，，，，，， 则七个数的和为：， 故七个数的和是中间数的7倍． (3) 解：不能，理由如下： 假设这样的“工”字形框能框出和为2026的七个数， 令中间的数字为m， 则， 解得． 由题意可知m为正整数． ∴用这样的“工”字形框不能框出和为2026的七个数． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出算式或方程，准确计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为m，根据七个数的和为2026，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（倍）， 故答案为：． （2）略 （3）略 20．(1)， (2)，15 【分析】（1）根据三阶幻方每行、每列上的三个数的和都相等，可列方程，求出x的值，则可求出其它位置的数字． （2）幻方的幻数为p，可得中间位置的数字为，一条对角线上的其它两个位置的数字可表示为和，可得方程， 求出p的值，则可求出其它位置的数字． 本题考查了一元一次方程的应用，根据表格，根据每行每列每对角线上的三个数之和都相等列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据三阶幻方每行、每列上的三个数的和都相等，可列方程， 解得， 可得图（2）中代数式所代表的数字是： 21，12，14，19．幻数等于中间数字的3倍， 所以可求得中间数字为20，幻数为60，故其它位置的数字都可求． （2）解：幻方的幻数为p，可得中间位置的数字为， 一条对角线上的其它两个位置的数字可表示为和， 可得方程， 等式变形可得． 当时，，故其它位置的数字都可求． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $