第27章 反比例函数章节复习 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数核心知识点，系统梳理定义（形如y=k/x等形式）、图像与性质（双曲线、k的符号影响象限及增减性、几何意义）、实际应用（压强、电流等模型）及与一次函数的综合（交点、面积、不等式），构建从概念辨析到综合应用的递进式学习支架。 资料以思维导图总览知识结构，典例覆盖四大考点，结合物理（压强、电流）和生活场景（区间测速、压缩衣物）培养数学眼光，通过数形结合解决综合题发展数学思维，用模型思想表达实际问题提升数学语言能力。课中辅助教师精准教学，课后分层练习助力学生查漏补缺。

第27章 反比例函数章节复习 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 反比例函数的概念，能根据定义判断函数类型，会求解析式中的参数。 · 掌握 反比例函数的图像与性质（k的符号决定象限、增减性），能比较函数值大小，能解决与不等式、最值相关的问题。 · 熟练运用 反比例函数解决实际问题（密度、压力、电流、消毒、温度等），会利用待定系数法求解析式。 · 能够综合 一次函数与反比例函数，解决交点、面积、不等式等问题，体会数形结合思想。 · 体会 模型思想、转化思想在反比例函数综合题中的应用。 ✨ 核心：概念辨析 · 图像性质 · 实际建模 · 数形结合。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 反比例函数的定义 · 定义： 形如 （）的函数叫做反比例函数，也可写作 或 。 · 判断依据： 两个变量的乘积为常数（），如 ，， 都是反比例函数。 · 待定系数法求解析式： 已知一对 或一个点的坐标，代入 求出 。 ☆ 反比例函数的图像与性质 · 图像： 双曲线，关于原点对称，不与坐标轴相交。 · k的符号决定象限： 时，图像在一、三象限； 时，图像在二、四象限。 · 增减性： 在每个象限内，当 时， 随 增大而减小；当 时， 随 增大而增大。注意：必须强调“在每个象限内”，不能跨象限比较。 · 函数值比较： 若点 ， 在同一象限，利用增减性比较；若在不同象限，则根据正负直接判断。 · k的几何意义： 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，三角形面积为 。 · 平移： 反比例函数 上下平移：；左右平移：。 ☆ 反比例函数的应用 · 常见模型： 压力与压强（），电流与电阻（），密度与体积（），消毒时间与浓度等。 · 解题步骤： ① 建立反比例函数模型；② 代入已知点求 ；③ 根据要求计算或求范围。 · 分段函数： 常与一次函数结合，如水温变化（先直线上升后反比例下降），有效浓度时长需分段计算。 ☆ 一次函数与反比例函数综合 · 交点问题： 联立方程求解，交点坐标即公共解。 · 大小比较： 利用图像，找出不同区间内函数的上下位置，写出不等式的解集。 · 面积问题： 常利用坐标轴上的点构造三角形，用割补法或铅垂高法求面积。 · 平行条件： 若两直线平行，则 相等；若反比例函数与一次函数图像平行，需结合参数符号判断。 ☆ 知识总结表 类别 核心内容 常用公式/结论 定义与判定 ，或 常数 决定一切 图像与性质 双曲线，关于原点对称， 决定象限和增减性 ：一、三象限， 随 增大而减小；：二、四象限， 随 增大而增大 k的几何意义 矩形面积 ，三角形面积 常用与坐标轴围成的图形面积 实际应用 物理公式（压强、电流、密度）→ 反比例关系 先求 ，再代入求解 一次函数综合 交点、不等式、面积、平行条件 联立方程；图像法解不等式；面积用铅垂高 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】反比例函数定义 ※ 方法总结 · 判断依据：形如 y = k/x（k ≠ 0），或 xy = k，或 y = kx⁻¹。 · 注意：k ≠ 0，x ≠ 0。 · 含参数时，由指数为 −1 且系数不为0 确定参数值。 1．（2025秋•广阳区期末）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B．y＝2x+1 C． D． 【分析】首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断．根据反比例函数的定义，（k为常数，k≠0）进行判断． 【解答】解：∵反比例函数的形式为（k为常数，k≠0）， A、，符合定义，符合题意； B、y＝2x+1，是一次函数，不符合题意； C、，是正比例函数，不符合题意； D、，分母不是x，不是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查反比例函数的定义，注意掌握判断一个函数是否是反比例函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2025春•桂阳县校级月考）下列式子中：①；②；③xy＝k；④y＝x﹣1；⑤，能表示y是x的反比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据形如，y叫x的反比例函数，作出判断即可． 【解答】解：①该选项为正比例函数，故①不能表示y是x 的反比例函数； ②该选项反比例函数，故②能表示y是x 的反比例函数； ③∵xy＝k（k≠0），∴，故③不能表示y是x 的反比例函数； ④∵y＝x﹣1，∴，故④能表示y是x 的反比例函数； ⑤是正比例函数，故⑤不能表示y是x 的反比例函数． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键． 3．（2026春•莱州市期末）已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　2　 ． 【分析】根据反比例函数的定义：形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的值． 【解答】解：∵函数是关于x的反比例函数， ∴m+2≠0，m2﹣5＝﹣1， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，注意k≠0，x的次数为﹣1． 4．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是　③④⑦　 ．（填序号） ①y；②y；③y；④xy；⑤y；⑥；⑦y；⑧y． 【分析】根据反比例函数的定义解答即可．形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 【解答】解：∵④xy可变为y，⑥可变为y＝x， ∴③④⑦是y是关于x的反比例函数． 故答案为：③④⑦． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．也考查了一次函数的定义． 5．（2026春•松江区期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，；当时，z＝﹣2． （1）求z关于x的函数表达式； （2）当x＝16时，求z的值． 【分析】（1）根据题意设把x＝8时，代入，求得k的值；设z＝ny，把，z＝﹣2，代入计算求出n的值，即可确定z与y的函数解析式；将代入z＝ny，可求得z与x的函数解析式， （2）将x＝16代入（1）中的解析式再计算即可． 【解答】解：（1）设，z＝ny， ∵当x＝8时，， ∴， ∴k＝4， ∴， ∵当时，z＝﹣2， ∴， ∴n＝﹣6， ∴z＝﹣6y， ∴，即． （2）将x＝16代入， 得． 【点评】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 6．（2024秋•雁塔区校级月考）已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值． （1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）补全表格：m＝ 　　 ，n＝ 　　 ； （3）若y1≥y2时，直接写出自变量x的取值范围 x或1＜x　 ． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 6 … y m ﹣1 n … 【分析】（1）依据题意，由y1与x﹣1成反比例，从而可设y1，故y＝y1﹣y2x﹣b，再结合表格数据可得，求出k，b后即可判断得解； （2）依据题意，由（1）yx+1，从而当x＝﹣2时，y＝m1；当x＝3时，y＝n＝11，进而可以判断得解； （3）依据题意，令y1＝y2，从而x﹣1，故x，从而当y1≥y2时，结合表格数据可得，x或1＜x，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵y1与x﹣1成反比例， ∴可设y1． ∴y＝y1﹣y2x﹣b． 结合表格数据可得， ． ∴k＝2，b＝﹣1． ∴yx+1（x≠1）． （2）由（1）yx+1， ∴当x＝﹣2时，y＝m1； 当x＝3时，y＝n＝11． 故答案为：；． （3）由题意，令y1＝y2， ∴x﹣1． ∴x． ∴当y1≥y2时，结合表格数据可得，x或1＜x． 故答案为：x或1＜x． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义、函数关系式、函数自变量的取值范围，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 【考点2】反比例函数图像与性质  ※ 方法总结： · 由 k 的符号判断图像所在象限。 · 增减性注意“在每个象限内”这一前提。 · 比较函数值大小时，先判断点所在象限，再根据增减性判断。 · 图像关于原点对称。 7．（2024秋•闵行区校级月考）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（　　） A．y B．y C．y D．y 【分析】根据反比例函数与正比例函数的性质解答即可． 【解答】解：A、∵k0， ∴函数值y随x的增大而增大，不符合题意； B、∵k＝2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意； C、∵k， ∴函数值y随x的增大而减小，符合题意； D、∵k＝﹣2＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键． 8．（2025秋•宣城期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．该反比例函数图象经过点（2，4） B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图象经过第一、三象限 D．该反比例函数图象关于原点对称 【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵2×4＝8≠﹣8， ∴该反比例函数图象不经过点（2，4），不符合题意； B、∵k＝﹣8＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C、∵k＝﹣8＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； D、∵此函数是反比例函数， ∴该反比例函数图象关于原点对称，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9．（2025秋•连州市期末）函数y＝kx﹣k与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项符合题意； B．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； C．∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的应该图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； D．∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 10．（2024•青浦区二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数的增减性，逐个判定即可． 【解答】解：A、在y中k0，函数值y随自变量x的值增大而增大，符合题意； B、在y中k0，函数值y随自变量x的值增大而减小，不符合题意； C、在y中k＝5＞0，在每个象限内函数值y随自变量x的值增大而减小，不符合题意； D、在y中k＝﹣5＜0，在每个象限内函数值y随自变量x的值增大而增大，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数及二次函数的性质，解题的关键是根据各种函数的性质确定其增减性，难度不大． 11．（2025•未央区一模）已知反比例函数，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9，则k的值为 　﹣9　 ． 【分析】根据k＜0可以确定反比例函数图象的位置，再根据函数的性质，确定出当x＝1时，y＝﹣9，然后确定出k的值． 【解答】解：∵k＜0， ∴反比例函数y图象在第二、四象限内， ∴在第四象限内y随x的增大而增大， ∵当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9， ∴当x＝1时，y的最小值为﹣9， ∴k＝1×（﹣9）＝﹣9， 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 12．（2026•郫都区模拟）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 k＞9　 ． 【分析】让反比例函数的比例系数大于0列式求值即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴k﹣9＞0， 解得k＞9． 故答案为：k＞9． 【点评】考查反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0． 13．对于任意两个非零自变量新考法x1，x2其对应的函数值分别为y1，y2，若在每个象限内x1﹣x2与y1﹣y2的值始终异号，请写出一个满足条件的反比例函数解析式：y（答案不唯一）　 ． 【分析】由题意可知该函数对任意非零自变量x，都满足函数值y随x的增大而减小，据此逐一分析增减性，即可得到答案． 【解答】解：∵x1﹣x2与y1﹣y2的值始终异号， ∴x1＞x2时，y1＜y2或x1＜x2时，y1＞y2， 即该反比例函数y（k≠0）对任意非零自变量x，都满足函数值y随x的增大而减小， ∴k＞0， 故满足条件的反比例函数解析式为y， 故答案为：y.（答案不唯一） 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 14．（2025秋•东营区期末）已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限内，则m的取值范围为m＞2　 ． 【分析】根据反比例函数的性质得m﹣2＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得m﹣2＞0， 解得m＞2． 故答案为：m＞2． 【点评】本题考查反比例函数的性质：反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 15．（2025秋•桐城市期中）已知反比例函数，其中k是常数． （1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 【分析】（1）根据反比例函数的图象与系数的关系求解即可； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，2k+3＜0， 解得：； （2）∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴2k+3＞0， ∴． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 16．（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是　120　 ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【解答】解：（1）∵1×300＝1.5×200＝2×150＝3×100＝300， ∴点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变， ∴； 故答案为：120； （2）F与l之间的函数图象，如图所示： （3）由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2025秋•瑞金市期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【分析】（1）根据反比例函数的图象即可得出k﹣2＜0，即可求出答案； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （2）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣4＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 【考点3】反比例函数应用 （第18—29题） ※ 方法总结： · 从实际问题中抽象出反比例关系，设 y = k/x。 · 利用已知数据求 k，再代入求解。 · 注意变量的实际取值范围（如速度、时间、压强等）。 · 结合图象信息，避免计算错误。 18．（2025秋•青岛期末）为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速．所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度．在某高速公路限速区间AB段，汽车的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）之间满足反比例函数关系（如图）．根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h（避免因车速过慢引发追尾等事故）．已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间AB段，则他所用的时间t（h）可能为（　　） A．0.2h B．0.4h C．0.5h D．0.9h 【分析】依据题意，由反比例函数的图象过（0.5，100 ），则vt＝0.5×100＝50，可得v，从而当v＝120时，t；当v＝60时，t，可得t，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵反比例函数的图象过（0.5，100 ）， ∴vt＝0.5×100＝50． ∴v． ∴当v＝120时，t；当v＝60时，t． ∴t． ∴ABCD四个选项只有C符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 19．（2026春•盐城月考）盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【解答】解：∵描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丁两所学校的xy的值相同，即成绩优秀人数相同． ∵描述乙学校情况的点在反比例函数图象上方，描述丙学校情况的点在反比例函数图象下方， ∴乙学校的xy的值最大，即成绩优秀人数最多． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 20．（2026•桂林模拟）如图，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，2），B（﹣2，4），C（﹣4，3）．若函数在第二象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A． B．﹣12≤k≤﹣2 C． D．﹣8≤k≤﹣2 【分析】依据题意，由反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可． 【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A， ∵过点A（﹣1，2）的反比例函数解析式为y， ∴k≤﹣2． 随着k值的减小，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意， 又∵经过B（﹣2，4），C（﹣4，3）的直线解析式为yx+5， ∴联立方程组，得x2+10x﹣2k＝0． 又∵△≥0，得k12.5， 又因为反比例函数经过点B时，k＝﹣8，经过点C时，k＝﹣12， 综上可知．﹣12≤k≤﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围． 21．（2026春•吴江区期中）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知R1，R2，则用R1，R2表示R是（　　） A． B．R1+R2 C． D． 【分析】先把等式的右边通分，再进行同分母的加法运算得到然后根据倒数的定义得到． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用\分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 22．（2026•夏邑县模拟）如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃∼50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（　　） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了50℃ C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了75﹣25＝50（℃），可判断B，设加热一壶水时，水的温度y（℃）与时间x（分钟）的一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【解答】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了75﹣25＝50（℃），故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度y（℃）与时间x（分钟）的一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，25）和（4，75）代入， 得，解得 故加热一壶水时，y与x的函数表达式为y＝12.5x+25． 当y＝100时，12.5x+25＝100， 解得x＝6．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式为（k为常数，且k≠0）， 将（6，100）代入， 得， 解得k＝600， ∴， 当y＝40时，， 解得x＝15， ∴若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟，故D不正确，符合题意． 当y＝50时，，解得x＝12， 当y＝30时，，解得x＝20， ∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟， 故C正确，不符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 23．（2026•海州区校级模拟）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：Hz）与振动弦长l（单位：m）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为0.5m时，测得振动频率f为240Hz，则当振动弦长l为0.6m时，振动频率f为　200　 Hz． 【分析】根据待定系数法求出k的值，再代入计算即可． 【解答】解：弦的振动频率f（单位：Hz）与振动弦长l（单位：m）近似成反比例函数关系， 设，当f为240赫兹，长度l为0.5米， ∴k＝240×0.5＝120，即， 当l＝0.6时，． 故答案为：200． 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 24．（2026•临安区一模）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为100KWh（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率P（单位：KW）与充满电所需的时间t（单位：h）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的1.5倍，则充满电所需的时间将缩短　t h（用含t的代数式表示）． 【分析】依据题意，电池总电量：W＝100kW•h，又，又功率提升至1.5P，从而新时间t'，故时间缩短量，进而可以得解． 【解答】解：由题意，电池总电量：W＝100kW•h， ∵电量＝功率×时间， ∴． ∵功率提升至1.5P， ∴新时间t'． ∴时间缩短量． ∴充满电所需的时间将缩短th． 故答案为：t． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 25．（2026•宝塔区一模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间y（天）与平均每天的工作量x（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是　40　 米/天． 【分析】依据题意，设反比例函数解析式为，结合图象上的点求出，即可求解． 【解答】解：由题意，设反比例函数解析式为， ∵图象过点（50，12）， ∴， ∴k＝50×12＝600， ∴， ∴当y＝15时，则， ∴x＝40， 答：村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是40米/天． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键． 26．（2026•顺德区模拟）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为1.5g/cm3的甲液体中时，浸在液体中的深度为16cm，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为20cm，则乙液体的密度为　　 g/cm3． 【分析】根据题意，设反比例函数的解析式为h，代入ρ＝1.5g/cm3，h＝16cm，得出k的值，再代入h＝20cm到反比例函数的解析式即可解答． 【解答】解：浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，设反比例函数的解析式为h， 将ρ＝1.5g/cm3，h＝16cm，代入得： 16， 解得：k＝24， ∴反比例函数为h， 当h＝20cm时，得20， 解得：ρ， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握求反比例函数的解析式是解题的关键． 27．（2025秋•闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 … 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108 （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值． （2）将p＝2.5×108Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． 将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣3＝48×， ∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． （2）把p＝2.4×107代入p得，S＝2×10﹣6， 答：该机器人与地面的接触面积至少为2×10﹣6平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 28．（2025秋•裕华区校级期末）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过A（8，6），B（m，16）两点． （1）求I与R的函数表达式； （2）求m的值，并说明m的实际意义； （3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，请直接写出用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 【分析】（1）依据题意，设，又图象过点A（8，6），可得U＝IR＝8×6＝48，进而得解； （2）依据题意，将B（m，16）代入得，，则m＝3，进而可以得解； （3）依据题意，令I＝10A，则R4.8（Ω），结合反比例函数的性质可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设， ∵图象过点A（8，6）， ∴U＝IR＝8×6＝48， ∴； （2）将B（m，16）代入得，， ∴m＝3． ∴m的实际意义为：当电阻R为3Ω，电流大小为16A； （3）由题意，令I＝10A， ∴R4.8（Ω）． 又∵R随I的增大而减小， ∴电流不得超过10A时，该电路的可变电阻控制在不低于4.8Ω． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 29．（2025秋•厦门期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某苹果园计划租用某品牌苹果采摘机器人，为实现利益最大化，将人工采摘和机器人采摘两种方式进行对比，相关信息如下： ①人工采摘：一名工人的工资为n元/h（n≥25），每人的采摘效率约为akg/h，采摘和转运过程中，约有1%的苹果因磕碰损伤无法售卖； ②机器人采摘：一台采摘机器人的租赁及能耗费用约为（2n﹣10）元/h，每台采摘机器人的采摘效率约为4akg/h，采摘和转运过程中，约有3%的苹果因磕碰损伤无法售卖．该果园占地约10亩，每亩苹果产量约3000kg，采摘后可售卖的苹果以6元/kg的价格批发销售． （1）若果园安排一名工人负责一亩地的苹果采摘任务，判断该名工人的采摘效率a与所需的采摘时间t是否成反比例关系？并说明理由； （2）当a＝100时，果园是否有必要用机器人采摘苹果？并说明理由． 【分析】（1）根据at＝3000得出a与t的函数关系，从而可以判断； （2）求出a＝100时，机器人采摘1亩地苹果的利润与工人采摘1亩地的苹果的利润之差大于0，从而得出结论． 【解答】解：（1）a与t成反比例关系，理由如下： 由题意得：at＝3000， ∴a， ∵3000是常数，且3000≠0， ∴a与t成反比例关系； （2）果园有必要用机器人采摘苹果，理由： 当a＝100时，一名工人采摘一亩地所需时间t30（小时）， ∴工人工资为30n元，可售卖的苹果为3000×（1﹣1%）＝ 3000×0.99＝2970（kg）， 则人工采摘的利润为2970×6﹣30n＝17820﹣30n（元）； 一台采摘机器人采摘一亩地所需时间为：30007.5（小时）， 机器人费用为7.5×（2n﹣10）＝15n﹣75（元）， 可售卖的苹果为3000×（1﹣3%）＝ 3000×0.97＝2910（kg）， 则机器人采摘的利润为2910×6﹣（15n﹣75）＝17460﹣15n+75＝17535﹣15n（元）； 利润差：（17535﹣15n）﹣（17820一30n）＝15n﹣285， ∵n≥25， ∴15n﹣285≥15×25﹣285＝90＞0， ∴果园有必要用机器人采摘苹果． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． 【考点4】一次函数与反比例函数综合  ※ 方法总结： · 求交点：联立方程组，解一元二次方程。 · 不等式解集：观察图像，找函数上下位置关系。 · 面积问题：利用坐标轴上的点作为底和高。 · 利用对称性：正比例函数与反比例函数交点关于原点对称。 30．（2026•珠海三模）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式的解集是（　　） A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2 D．x＞2 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围便是不等式的解集． 【解答】解：由函数图象可知不等式的解集是﹣1＜x＜0或x＞2． 故选：B． 【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 31．（2026•让胡路区校级模拟）如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，过点C作CE⊥AD于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为9； ②点C的坐标为（3，3）； ③当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值； ④BE：AE＝2：3． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】结合函数解析式求出点的坐标，然后分别分析各结论即可 【解答】解：分析结论①：点A横坐标为1，代入y得A（1，9），代入y＝x得B（1，1），故AB＝9﹣1＝8，结论①错误； 分析结论②：联立y＝x与y，解得x＝3（x＞0），故C（3，3），结论②正确； 分析结论③：由函数图象，当x＞3时，y＝x的图象在y上方，即一次函数值大于反比例函数值，结论③正确； 分析结论④：C（3，3），CE⊥AD，则E（1，3），BE＝3﹣1＝2，AE＝9﹣3＝6，故BE：AE＝2：6＝1：3，结论④错误． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，函数值比较及线段长度计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 32．（2026•墨竹工卡县校级三模）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数图象交于点A（﹣3，a），B（1，3）， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数y＝mx+n（m≠0）图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3）， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+2； （2）根据解析式可知C（﹣2，0），D（0，2）， ∴， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点或． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． 33．（2025•宝山区校级二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（2，1）． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围． （3）过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC．求△ABC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，根据对称性可求出点B的坐标； （2）根据图象即可求解； （3）根据题意可求出点C的坐标，进而求出OC的值，最后根据，即可求解． 【解答】解：（1）把A（2，1）代入， 得：k＝2×1＝2， ∴反比例函数的表达式为， ∵A、B关于原点对称， ∴B（﹣2，﹣1）； （2）根据图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞2； （3）根据题意得：C（0，1）， ∴OC＝1， ∴． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． 34．（2026•白云区模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝kx﹣2之中得k＝﹣2，由此可得该一次函数的表达式，将点B（﹣2，a）分别代入y＝﹣2x﹣2及之中得a＝2，m＝﹣4，由此可得反比例函数的表达式及点（﹣2，2）； （2）根据点B（﹣2，2）及函数的图象即可得出不等式的解集； （3）过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，则OA＝1，BE＝2，由此得S△OABOA×BE＝1，利用待定系数法求出直线OB的表达式y＝x，解方程组，得点C（2，﹣2），则CF＝2，由此得S△OACOA×CF＝1，据此即可得出△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴0＝﹣k﹣2， 解得：k＝﹣2， ∴该一次函数的表达式为：y＝﹣2x﹣2， ∴一次函数y＝﹣2x﹣2的图象与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a）， ∴， 解得：， ∴该反比例函数的表达式为：，点B的坐标为（﹣2，2）， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x﹣2，反比例函数的表达式为； （2）∵点B的坐标为（﹣2，2），点A的坐标为（﹣1，0）， ∴根据函数的图象得：不等式的解集为：﹣2＜x＜﹣1； （3）过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示： ∵点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标为（﹣2，2）， ∴OA＝1，BE＝2， ∴S△OABOA×BE1， 设直线OB的表达式为：y＝tx， ∴﹣2t＝2， 解得：t＝﹣1， ∴直线OB的表示为：y＝﹣x， 解方程组：，得：，， ∴点C的坐标为（2，﹣2）， ∴CF＝2， ∴S△OACOA×CF1， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC＝2， 即△ABC的面积为2． 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，待定系数法求函数的表达式，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，求反比例函数与一次函数的图象交点的坐标是解决问题的关键． 35．（2026•市中区模拟）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（2，6），点B（n，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先求出点C（0，4），可得OC＝4，然后根据S△OAB＝S△BOC﹣S△AOC即可得出答案； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝2×6＝12， ∴反比例函数解析式为y， 将点B坐标代入反比例函数解析式得， n＝6， ∴点B的坐标为（6，2）． 将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+8． （2）对于y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8， ∴点C（0，8）， ∴OC＝8， ∴S△OAB＝S△BOC﹣S△AOC16； （3）设点E的坐标为（a，）， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴∠EAM+∠MAF＝∠MAF+∠AFN＝90°， ∴∠EAM＝∠AFN． 在△EAM和△AFN中， ∴△EAM≌△AFN（AAS）． ∴FN＝AM，AN＝ME． ∵点A坐标为（2，6），点E坐标为（a，）， ∴FN＝AM＝6，AN＝ME＝a﹣2， ∴点F的坐标为（4，8﹣a）． ∵点F在函数y图象上， ∴（4）（8﹣a）＝12， 解得a1＝2，a2＝12， ∴点E坐标为（12，1）． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 反比例关系变化作业2 函数图象判断作业3 反比例与一次函数图象作业4 函数值比较作业5 函数图象共存作业6 反比例函数应用作业7 体积与密度作业8 杠杆平衡作业9 供求关系作业10 饮水机温度作业11 茶吧机温度作业12 油位传感器 ❤ 复习建议  概念清晰：准确判断反比例函数，注意 k ≠ 0 和 x ≠ 0 的条件。 图象记忆：由 k 的符号联想双曲线所在的象限和增减性。 实际建模：多练习物理、工程、经济中的反比例关系，提高建模能力。 数形结合：解决综合题时，画出函数图象，直观判断交点、不等式解集。 计算准确：注意坐标符号，面积计算时正确选择底和高。 【作业1】（2026春•惠安县期末）若x与y成反比例关系，当x变为原来的4倍时，y将会变为（　　） A．原来的4倍 B．原来的 C．原来的2倍 D．原来的 【分析】根据反比例关系的定义即可得出答案． 【解答】解：∵x与y成反比例关系， ∴设xy＝k（k为常数，k≠0）， 当x变为原来的4倍时，有4x•y＝k， ∴y将会变为原来的． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是关键． 【作业2】（2026春•潍坊期中）如图是某企业2025年1﹣8月份总产量C（即前t个月产量之和）与时间t（月）的函数图象，则下列图象中能大致反映每个月产量v与时间t关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知，v，由此判断即可． 【解答】解：总产量C（t）是前t个月的产量之和，它的斜率代表每月的产量v： 当0＜t＜3时：C（t）图象是上升曲线，且斜率逐渐减小，说明每月产量v在逐渐降低， 当3≤t≤8时：C（t）图象是水平直线，斜率为0，说明每月产量v＝0（即停产）； A、B选项：前3个月产量上升或不变，与“产量逐渐降低”矛盾，排除； D选项：前3个月产量线性下降但未归零，与“3个月后停产”矛盾，排除； C选项：前3个月产量线性下降，到第3个月时降为0，之后保持为0，完全符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据图象提取信息是解题的关键． 【作业3】（2026春•松江区期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故符合题意； B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意； C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 【作业4】（2026•武威一模）已知点A（5﹣t，y1）和点B（t+1，y2）都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（　　） A．当﹣1＜t＜3时，y1＜y2 B．当5＜t＜7时，y1＞y2 C．当1＜t＜4时，y1＜y2 D．当﹣4＜t＜﹣1时，y1＞y2 【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B两点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断． 【解答】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，根据反比例函数的图象与系数的关系逐项分析判断如下： A、当﹣1＜t＜3时，2＜5﹣t＜6，0＜t+1＜4，此时5﹣t与t+1不能判断大小，也就不能判断y1＜y2，故选项A不正确，不符合题意； B、当5＜t＜7时，﹣2＜5﹣t＜0，6＜t+1＜8，此时点A在第二象限，点B在第四象限，y1＞y2，故选项B正确，符合题意； C、当1＜t＜4时，1＜5﹣t＜4，2＜t+1＜5，此时5﹣t与t+1不能判断大小，也就不能判断y1＜y2，故选项C不正确，不符合题意； D、当﹣4＜t＜﹣1时，6＜5﹣t＜9，﹣3＜t+1＜0，此时点A在第四象限，点B在第二象限，y1＜y2，故选项D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业5】（2026春•隆昌市校级期末）函数y＝kx﹣k与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与性质，分k＜0和k＞0两种情况讨论，能同时成立的即为正确答案． 【解答】解：根据一次函数和反比例函数的图象与性质，分k＜0和k＞0两种情况讨论如下： 当k＜0时，反比例函数的图象分布在二、四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限；B符合题意； 当k＞0时，反比例函数的图象分布在一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，没有符合题意的图象． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业6】（2026•于洪区一模）现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于20g/cm3时，其体积可以是（　　） A．0cm3 B．16cm3 C．20cm3 D．24cm3 【分析】设体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【解答】解：同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示， 设体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点（16，25）， 将其代入得，解得m＝400， ∴， 当ρ＞20时，0＜v＜20， 综合各个选项，只有16cm3符合． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业7】（2026•呼兰区二模）真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于40g/cm3时，其体积是　10　 cm3． 【分析】利用待定系数法求出再求出 p＝40时，V的值即可得到答案． 【解答】解：由题意，设， ∵当p＝16时，V＝25， ∴，解得m＝400， ∴， ∴当p＝40时，则（cm3）， 故答案为：10． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业8】（2026•铁东区三模）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的值至少为 　35　 cm． 【分析】根据弹簧秤平衡的结论FL＝F1L1，以及F≤7，解不等式即可． 【解答】解：由于弹簧秤在木杆的中点O的右侧， ∴L≤50， 又∵FL＝F1L1， 即：F7， 解得：L≥35， ∴35≤L≤50． 故答案为：35． 【点评】本题考查两点间的距离，理解“杠杆平衡的条件”以及F不超过7N的意义，列不等式进行解答解答即可． 【作业9】（2026•秦淮区一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量y1（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图象如图所示．该产品的月供应量y2（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为　30　 元． 【分析】根据题意可以求出反比例函数解析式和一次函数解析式，然后令这两个函数值相等，求出相应的x的值即可． 【解答】解：设月需求量y1（单位：万件）与销售单价x（单位：元）的函数解析式为y1， ∵点（40，15）在该函数图象上， ∴15， 解得k＝600， 即月需求量y1（单位：万件）与销售单价x（单位：元）的函数解析式为y1， 设产品的月供应量y2（单位：万件）与销售单价x的函数解析式为y2＝mx+n， ∵销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件， ∴， 解得， 即产品的月供应量y2（单位：万件）与销售单价x的函数解析式为y2＝x﹣10， 令y1＝y2， x﹣10， 解得x1＝30，x2＝﹣20（不合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元， 故答案为：30． 【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【作业10】（2026•开封一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热．水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至20℃．接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示． （1）请结合图象，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在50℃及以上的总时间． 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式； （2）将y＝50代入两段函数解析式即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知加热到100℃所用时间为：（100﹣20）÷10＝8（分钟）， 当0≤x≤8时，设y＝kx+b，将x＝0，y＝20和x＝8，y＝100代入得， 解得：， 则y＝10x+20（0≤x≤8）， 当x＞8时， 设，将x＝8，y＝100代入得m＝800， ∴， 当y＝20时，x＝40， 则； （2）将y＝50代入y＝10x+20， 解得：x＝3， 将y＝50代入， 解得：x＝16， 则16﹣3＝13（分钟）， 所以饮水机有13分钟时间能使水温保持在50℃及以上． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，列出函数解析式是关键． 【作业11】（2025秋•惠东县期末）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后一段时间内水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若给水温为20℃的水进行加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． （1）将水从20℃加热到100℃需要　4　 min． （2）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式； （3）在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间有多长？ 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升20℃则水温从20℃加热到100℃所需时间用温度差÷每分钟加热的温度即 即可求解； （2）结合（1）中可得点（4，100）在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于40℃的时间一加热过程中水温低于40℃的时间即为加热一次水温不低于的时间 其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升20℃， ∴水温从20℃加热到100℃所需时间为． 故答案为：4； （2）由题意，设水温下降过程中函数关系式为， 代入点（4，100）坐标得，100， ∴k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是； （3）在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，解得：x＝1， 在降温过程中，水温为40℃时，， ∴x＝10， ∵10﹣1＝9， ∴在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间为9min． 【点评】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 【作业12】（2026•金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R0+R1，已知R0＝20Ω． 可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A． （1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围． 【分析】（1）依据题意，设R1＝kV+b（k≠0），结合图象（0，240），（60，0），从而，可得R1＝﹣4V+240，进而当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω），故R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω），即可得解； （2）依据题意，由电流I与总电阻R成反比例，则I，又当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A，故结合（1）R＝120Ω，进而可得k＝120×0.1＝12，从而可以得解； （3）依据题意，由5≤V≤55，则20≤﹣4V+240＝R1≤220，从而40≤R0+R1＝R≤240，进而0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3，故可得解． 【解答】解：（1）由题意，设R1＝kV+b（k≠0）， 结合图象（0，240），（60，0）， ∴． ∴k＝﹣4，b＝240． ∴R1＝﹣4V+240． ∴当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω）． ∴R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω）． 答：当油箱内油量体积为35L时，总电阻R的值为120Ω； （2）由题意，∵电流I与总电阻R成反比例， ∴I， 又∵当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A， ∴结合（1）R＝120Ω， ∴k＝120×0.1＝12． ∴I关于总电阻R的函数解析式为I； （3）由题意，∵5≤V≤55， ∴20≤﹣4V+240＝R1≤220． ∴40≤R0+R1＝R≤240． ∴0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 反比例函数章节复习 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 反比例函数的概念，能根据定义判断函数类型，会求解析式中的参数。 · 掌握 反比例函数的图像与性质（k的符号决定象限、增减性），能比较函数值大小，能解决与不等式、最值相关的问题。 · 熟练运用 反比例函数解决实际问题（密度、压力、电流、消毒、温度等），会利用待定系数法求解析式。 · 能够综合 一次函数与反比例函数，解决交点、面积、不等式等问题，体会数形结合思想。 · 体会 模型思想、转化思想在反比例函数综合题中的应用。 ✨ 核心：概念辨析 · 图像性质 · 实际建模 · 数形结合。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 反比例函数的定义 · 定义： 形如 （）的函数叫做反比例函数，也可写作 或 。 · 判断依据： 两个变量的乘积为常数（），如 ，， 都是反比例函数。 · 待定系数法求解析式： 已知一对 或一个点的坐标，代入 求出 。 ☆ 反比例函数的图像与性质 · 图像： 双曲线，关于原点对称，不与坐标轴相交。 · k的符号决定象限： 时，图像在一、三象限； 时，图像在二、四象限。 · 增减性： 在每个象限内，当 时， 随 增大而减小；当 时， 随 增大而增大。注意：必须强调“在每个象限内”，不能跨象限比较。 · 函数值比较： 若点 ， 在同一象限，利用增减性比较；若在不同象限，则根据正负直接判断。 · k的几何意义： 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，三角形面积为 。 · 平移： 反比例函数 上下平移：；左右平移：。 ☆ 反比例函数的应用 · 常见模型： 压力与压强（），电流与电阻（），密度与体积（），消毒时间与浓度等。 · 解题步骤： ① 建立反比例函数模型；② 代入已知点求 ；③ 根据要求计算或求范围。 · 分段函数： 常与一次函数结合，如水温变化（先直线上升后反比例下降），有效浓度时长需分段计算。 ☆ 一次函数与反比例函数综合 · 交点问题： 联立方程求解，交点坐标即公共解。 · 大小比较： 利用图像，找出不同区间内函数的上下位置，写出不等式的解集。 · 面积问题： 常利用坐标轴上的点构造三角形，用割补法或铅垂高法求面积。 · 平行条件： 若两直线平行，则 相等；若反比例函数与一次函数图像平行，需结合参数符号判断。 ☆ 知识总结表 类别 核心内容 常用公式/结论 定义与判定 ，或 常数 决定一切 图像与性质 双曲线，关于原点对称， 决定象限和增减性 ：一、三象限， 随 增大而减小；：二、四象限， 随 增大而增大 k的几何意义 矩形面积 ，三角形面积 常用与坐标轴围成的图形面积 实际应用 物理公式（压强、电流、密度）→ 反比例关系 先求 ，再代入求解 一次函数综合 交点、不等式、面积、平行条件 联立方程；图像法解不等式；面积用铅垂高 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】反比例函数定义 ※ 方法总结 · 判断依据：形如 y = k/x（k ≠ 0），或 xy = k，或 y = kx⁻¹。 · 注意：k ≠ 0，x ≠ 0。 · 含参数时，由指数为 −1 且系数不为0 确定参数值。 1．（2025秋•广阳区期末）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B．y＝2x+1 C． D． 2．（2025春•桂阳县校级月考）下列式子中：①；②；③xy＝k；④y＝x﹣1；⑤，能表示y是x的反比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2026春•莱州市期末）已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　 　 ． 4．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是　 　 ．（填序号） ①y；②y；③y；④xy；⑤y；⑥；⑦y；⑧y． 5．（2026春•松江区期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，；当时，z＝﹣2． （1）求z关于x的函数表达式； （2）当x＝16时，求z的值． 6．（2024秋•雁塔区校级月考）已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值． （1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）补全表格：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （3）若y1≥y2时，直接写出自变量x的取值范围 　 　 ． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 6 … y m ﹣1 n … 【考点2】反比例函数图像与性质  ※ 方法总结： · 由 k 的符号判断图像所在象限。 · 增减性注意“在每个象限内”这一前提。 · 比较函数值大小时，先判断点所在象限，再根据增减性判断。 · 图像关于原点对称。 7．（2024秋•闵行区校级月考）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（　　） A．y B．y C．y D．y 8．（2025秋•宣城期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．该反比例函数图象经过点（2，4） B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图象经过第一、三象限 D．该反比例函数图象关于原点对称 9．（2025秋•连州市期末）函数y＝kx﹣k与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2024•青浦区二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025•未央区一模）已知反比例函数，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9，则k的值为 　 　 ． 12．（2026•郫都区模拟）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 　 　 ． 13．对于任意两个非零自变量新考法x1，x2其对应的函数值分别为y1，y2，若在每个象限内x1﹣x2与y1﹣y2的值始终异号，请写出一个满足条件的反比例函数解析式：　 　 ． 14．（2025秋•东营区期末）已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限内，则m的取值范围为　 　 ． 15．（2025秋•桐城市期中）已知反比例函数，其中k是常数． （1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 16．（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是　 　 ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 17．（2025秋•瑞金市期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【考点3】反比例函数应用  ※ 方法总结： · 从实际问题中抽象出反比例关系，设 y = k/x。 · 利用已知数据求 k，再代入求解。 · 注意变量的实际取值范围（如速度、时间、压强等）。 · 结合图象信息，避免计算错误。 18．（2025秋•青岛期末）为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速．所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度．在某高速公路限速区间AB段，汽车的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）之间满足反比例函数关系（如图）．根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h（避免因车速过慢引发追尾等事故）．已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间AB段，则他所用的时间t（h）可能为（　　） A．0.2h B．0.4h C．0.5h D．0.9h 19．（2026春•盐城月考）盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 20．（2026•桂林模拟）如图，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，2），B（﹣2，4），C（﹣4，3）．若函数在第二象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A． B．﹣12≤k≤﹣2 C． D．﹣8≤k≤﹣2 21．（2026春•吴江区期中）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知R1，R2，则用R1，R2表示R是（　　） A． B．R1+R2 C． D． 22．（2026•夏邑县模拟）如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃∼50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（　　） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了50℃ C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 23．（2026•海州区校级模拟）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：Hz）与振动弦长l（单位：m）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为0.5m时，测得振动频率f为240Hz，则当振动弦长l为0.6m时，振动频率f为　 　 Hz． 24．（2026•临安区一模）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为100KWh（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率P（单位：KW）与充满电所需的时间t（单位：h）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的1.5倍，则充满电所需的时间将缩短　 　 h（用含t的代数式表示）． 25．（2026•宝塔区一模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间y（天）与平均每天的工作量x（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是　 　 米/天． 26．（2026•顺德区模拟）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为1.5g/cm3的甲液体中时，浸在液体中的深度为16cm，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为20cm，则乙液体的密度为　 　 g/cm3． 27．（2025秋•闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 … 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108 （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 28．（2025秋•裕华区校级期末）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过A（8，6），B（m，16）两点． （1）求I与R的函数表达式； （2）求m的值，并说明m的实际意义； （3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，请直接写出用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 29．（2025秋•厦门期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某苹果园计划租用某品牌苹果采摘机器人，为实现利益最大化，将人工采摘和机器人采摘两种方式进行对比，相关信息如下： ①人工采摘：一名工人的工资为n元/h（n≥25），每人的采摘效率约为akg/h，采摘和转运过程中，约有1%的苹果因磕碰损伤无法售卖； ②机器人采摘：一台采摘机器人的租赁及能耗费用约为（2n﹣10）元/h，每台采摘机器人的采摘效率约为4akg/h，采摘和转运过程中，约有3%的苹果因磕碰损伤无法售卖．该果园占地约10亩，每亩苹果产量约3000kg，采摘后可售卖的苹果以6元/kg的价格批发销售． （1）若果园安排一名工人负责一亩地的苹果采摘任务，判断该名工人的采摘效率a与所需的采摘时间t是否成反比例关系？并说明理由； （2）当a＝100时，果园是否有必要用机器人采摘苹果？并说明理由． 【考点4】一次函数与反比例函数综合  ※ 方法总结： · 求交点：联立方程组，解一元二次方程。 · 不等式解集：观察图像，找函数上下位置关系。 · 面积问题：利用坐标轴上的点作为底和高。 · 利用对称性：正比例函数与反比例函数交点关于原点对称。 30．（2026•珠海三模）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式的解集是（　　） A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2 D．x＞2 31．（2026•让胡路区校级模拟）如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，过点C作CE⊥AD于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为9； ②点C的坐标为（3，3）； ③当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值； ④BE：AE＝2：3． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2026•墨竹工卡县校级三模）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 33．（2025•宝山区校级二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（2，1）． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围． （3）过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC．求△ABC的面积． 34．（2026•白云区模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求△ABC的面积． 35．（2026•市中区模拟）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（2，6），点B（n，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 反比例关系变化作业2 函数图象判断作业3 反比例与一次函数图象作业4 函数值比较作业5 函数图象共存作业6 反比例函数应用作业7 体积与密度作业8 杠杆平衡作业9 供求关系作业10 饮水机温度作业11 茶吧机温度作业12 油位传感器 ❤ 复习建议  概念清晰：准确判断反比例函数，注意 k ≠ 0 和 x ≠ 0 的条件。 图象记忆：由 k 的符号联想双曲线所在的象限和增减性。 实际建模：多练习物理、工程、经济中的反比例关系，提高建模能力。 数形结合：解决综合题时，画出函数图象，直观判断交点、不等式解集。 计算准确：注意坐标符号，面积计算时正确选择底和高。 【作业1】（2026春•惠安县期末）若x与y成反比例关系，当x变为原来的4倍时，y将会变为（　　） A．原来的4倍 B．原来的 C．原来的2倍 D．原来的 【作业2】（2026春•潍坊期中）如图是某企业2025年1﹣8月份总产量C（即前t个月产量之和）与时间t（月）的函数图象，则下列图象中能大致反映每个月产量v与时间t关系的是（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2026春•松江区期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2026•武威一模）已知点A（5﹣t，y1）和点B（t+1，y2）都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（　　） A．当﹣1＜t＜3时，y1＜y2 B．当5＜t＜7时，y1＞y2 C．当1＜t＜4时，y1＜y2 D．当﹣4＜t＜﹣1时，y1＞y2 【作业5】（2026春•隆昌市校级期末）函数y＝kx﹣k与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2026•于洪区一模）现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于20g/cm3时，其体积可以是（　　） A．0cm3 B．16cm3 C．20cm3 D．24cm3 【作业7】（2026•呼兰区二模）真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于40g/cm3时，其体积是　 　 cm3． 【作业8】（2026•铁东区三模）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的值至少为 　 　 cm． 【作业9】（2026•秦淮区一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量y1（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图象如图所示．该产品的月供应量y2（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为　 　 元． 【作业10】（2026•开封一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热．水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至20℃．接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示． （1）请结合图象，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在50℃及以上的总时间． 【作业11】（2025秋•惠东县期末）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后一段时间内水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若给水温为20℃的水进行加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． （1）将水从20℃加热到100℃需要　 　 min． （2）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式； （3）在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间有多长？ 【作业12】（2026•金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω． 可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A． （1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $