第6讲 二次函数一般式（1） 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 （精讲+典例+创新题+练习）

本讲义聚焦二次函数一般式核心知识点，以配方法为桥梁衔接一般式与顶点式，系统梳理对称轴公式、顶点坐标及图象特征，深入解析系数a、b、c与开口方向、对称轴位置的关系，构建从代数形式到几何性质的完整知识链。 资料以思维导图总览课程，通过“左同右异”等口诀强化系数与图象关联，创新设计“偶点”“绝对值函数”等题型，培养几何直观与推理能力。分层练习覆盖基础到压轴题，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升数形结合应用意识。

第6讲 二次函数一般式（1） 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 （精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数一般式 的图象特征，掌握配方法将其化为顶点式 。 · 掌握 二次函数对称轴公式 及顶点坐标公式，能熟练判断开口方向、增减区间和最值。 · 理解 二次函数图象与系数 、、 的关系，能根据图象判断系数符号及特殊代数式的正负。 · 掌握 二次函数图象上点的坐标特征，能利用对称性快速比较函数值大小、求参数范围。 · 体会 数形结合、转化与化归、分类讨论在二次函数综合问题中的运用。 ✨ 核心思想：以“配方”为桥梁，沟通一般式与顶点式；以“对称轴”为分界，理解图象的代数与几何统一。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 课程导入 以 为例。 由配方，可得 由配方的结果，可知抛物线 的对称轴是直线 ， 顶点是 。根据二次函数图像的对称性列表，描点，并画出它的图像。 … 1 2 3 … … 0 -1 0 … · 对称轴为直线 （虚线）； · 顶点坐标为 ； · 与 轴交于点 和 ； · 开口向上，经过点 和 。 从图可以看出，在对称轴左侧，二次函数 的图像下降；在对称轴右侧，图像上升。也就是说， 当 时， 随着 的增大而 减小； 当 时， 随着 的增大而 增大； 当 时， 取到 最小值，最小值为 。 一般地，通过配方，二次函数 可以化为 的形式，进而得到其图像与性质。实际上， 将上述与 比较，可得 📐 你能归纳出抛物线 的性质吗？ ☆ 1. 一般式与顶点式的互化 · 一般式： （）。 · 顶点式（配方法）： ，其中 ，。 · 步骤： 提公因式 （注意 为负时提负号）→ 配方（加一次项系数一半的平方）→ 整理成平方形式。 ☆ 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象特征 · 开口方向： 由 决定， 开口向上， 开口向下。 · 开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。 · 对称轴： 直线 。 · 顶点坐标： 。 · 与 轴交点： 。 · 与 轴交点： 令 ，即解 ，判别式 决定交点个数。 ☆ 3. 二次函数 y = ax² + bx + c 的性质 · 增减性： · 时，在对称轴左侧 ， 随 增大而减小；右侧增大而增大。 · 时，在对称轴左侧 ， 随 增大而增大；右侧增大而减小。 · 最值： · 时，在顶点处取最小值 。 · 时，在顶点处取最大值 。 · 对称性： 若 与 在抛物线上，则对称轴 。 ☆ 4. 图象与系数 a、b、c 的关系 · 决定开口方向与大小（）。 · 与 共同决定对称轴位置：、 同号，对称轴在 轴左侧；、 异号，对称轴在 轴右侧（“左同右异”）。 · 决定抛物线与 轴的交点纵坐标， 交于正半轴， 交于负半轴。 · 特殊代数式符号判断： 令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 ，结合图象对应点的位置判断正负。 ☆ 5. 知识总结表 表达式 对称轴 顶点坐标 开口 最值 向上 向下 ，y最小 ，y最大 向上 向下 ，y最小 ，y最大 系数特征 图象表现 示例结论 开口向上，有最低点 函数有最小值 开口向下，有最高点 函数有最大值 、 同号 对称轴在 轴左侧 “左同” 、 异号 对称轴在 轴右侧 “右异” 与 轴交于正半轴 截距为正 与 轴交于负半轴 截距为负 时 点 在轴上方 时 点 在轴下方 核心考点 ·经典题型方法精讲 【考点1】二次函数的图象（第1–7题） · 图象识别 利用 判开口， 判与 轴交点，、 判对称轴位置（左同右异）。 · 一次函数共存 联立消元判断无交点（），再匹配系数符号。 · 对称性补点 纵坐标相同的两点关于对称轴对称，利用中点公式求对称轴。 · 方程根与图象 方程 有根 ⇔ 直线 与抛物线有交点。 · 开口大小 越大开口越窄。 1．（2026•七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•江安县模拟）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数，y，y＝a3x2，的图象如图所示，则a1，a2，a3，a4的大小关系是　 　 （用“＜”连接）． 4．（2024•福田区模拟）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 　 　 ． 5．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②；③的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是　 　 ． 6．（2025秋•通州区校级月考）抛物线y＝x2﹣1的开口方向是　 　 ． 7．（2025秋•海珠区校级期中）已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴相交于点（0，3）． （1）m＝　 　 ，该抛物线的顶点坐标为　 　 ； （2）在直角坐标系中画出图象：列表取点； x … … y … … （3）根据图象，直接写出不等式﹣x2+（m﹣1）x+m＜0的解集是　 　 ． 【考点2】二次函数的性质（第8–17题） · 对称轴公式 ；顶点坐标代入公式或配方法。 · 增减性 以对称轴为界，结合 的正负判断。 · 比较函数值 开口向上时，距对称轴越近值越小；开口向下时，距对称轴越近值越大。 · 区间最值 比较顶点处与区间端点处函数值，注意开口方向。 · 顶点在 轴上 判别式 。 8．（2025秋•辛集市期末）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．②③④ 9．（2025秋•海淀区校级月考）抛物线y＝﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（1，5） C．（﹣2，5） D．（﹣1，2） 10．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 11．（2025秋•进贤县期末）二次函数y＝x2+2的顶点是（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3） 12．（2025秋•临高县期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 13．（2025秋•海淀区校级期中）若抛物线y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4的顶点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1 14．（2023秋•姑苏区期中）二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 15．（2026•安阳县一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：　 　 ． 16．（2025秋•河北区期末）二次函数y＝2（x﹣2）（x+3）的对称轴是　 　 ． 17．（2026春•海门区期末）当x＝0时，函数y＝2x2﹣1的值为　 　 ． 【考点3】图象与系数的关系（第18–24题） · 符号判断 定开口， 与 定左右， 定上下。 · 特殊点法 令 、、 等，结合图象对应点位置判断 、、 的符号。 · 对称轴与系数 可建立 、 的数量关系（如 ）。 · 开口方向条件 若抛物线在对称轴右侧下降，则 。 18．（2024秋•增城区校级月考）已知二次函数的y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④b2＞4ac；其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2025秋•宁夏期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④am2+bm＞a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2025秋•徐汇区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．b＜0 D．a+b+c＝0 21．（2026•西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 22．（2025•邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 　 　 ． 23．（2025秋•白云区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是　 　 （填序号）． 24．（2025•徐汇区二模）若抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，则m的取值范围是　 　 ． 【考点4】点的坐标特征（第25–35题） · 代入法 将点坐标代入解析式求参数或比较函数值。 · 对称性 若 ，则对称轴 。 · 距离比较法 计算点到对称轴的水平距离，结合开口方向判断纵坐标大小。 · 参数范围 利用不等式组确定 或 的取值范围。 · 新定义（如“偶点”） 根据定义列方程组，变形消元转化为直线与抛物线的交点问题。 25．（2026•靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 26．（2026•黄冈模拟）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2上有三点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3 27．（2026•中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 28．（2026春•海淀区校级期末）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 29．（2026•沁阳市模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点A（4，y1），B（b，y2），若y1＜y2，则b的整数值可以是　 　 ．（写出一个答案即可） 30．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为　 　 ． 31．（2025秋•金湾区期末）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 .（用“＜”连接）． 32．（2026春•海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1　 　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 33．（2026•成都模拟）新定义：若存在常数k，使得点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），则称点P为“偶点”．若A（a，16）是“偶点”，则a＝ 　 　 ；若抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 　 　 ． 34．已知函数． （1）画出这个函数的图象． （2）观察画出的函数图象，自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？ （3）观察画出的函数图象，函数y的值能否小于0？点（﹣2，3）在不在这个函数的图象上？ 35．（2026春•丰泽区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（1，m），B（3，n）两点在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． （1）求证：； （2）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在该抛物线上．若mn＜0，请判断y1，y2的大小关系并说明理由． 【创新及压轴题】（第36–38题） · 绝对值函数 分段讨论，去绝对值符号，画出分段图象，利用图象交点解决根个数问题。 · “可控变点” 根据定义分段表示解析式，转化为分段函数与水平线的交点问题，注意取值范围。 · 对称性与取值范围 利用对称轴和开口方向，将条件转化为不等式，求解参数范围。 36．（2025秋•周村区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5，其中a≠0． （1）写出该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求2x1+x2的值； （3）若a＝﹣1，当m≤x≤m+2时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求m的值． 37．（2024秋•新城区校级月考）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣3|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数y＝||的自变量x的取值范围是 　 　 ； （2）①列表：如表是x，y的几组对应值，其中m＝　 　 ，n＝　 　 ； x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（﹣1，m），（1，n）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； （3）下列关于该函数的说法，错误的是 　 　 ． A．函数图象是轴对称图形 B．当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．函数值y都是非负数 D．若函数图象经过点（m，a）与（﹣m，b），则a＝b （4）若点A（e，p），B（f，q）均在该函数图象上，且|f|＜|e|＜2，则p与q的大小关系是 　 　 ． 38．（2025秋•北仑区期末）已知函数，其中n，a0，a1，a2，⋯，an都为正整数，且a0+a1+a2+⋯+an＝4，例如n＝1时，函数为y＝a0+a1x，且a0+a1＝4． （1）若函数y是一次函数，请直接写出它的所有解析式； （2）若a0＝2，且函数y是二次函数，求证：y＞0； （3）小仑发现（1）（2）条件下的函数都相交于同一点，小仑猜想：不论n为何值，函数y的图象都经过一个定点．请你写出这个定点，并说明理由． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 — 比较二次项系数 的大小与开口宽窄的关系（ 越大开口越窄）。 · 练习2 — 新定义“和谐”与“美好”函数，结合 、 判断对称轴 。 · 练习3 — 由二次函数不等式确定对称轴，利用距离比较法求参数 的范围。 · 练习4 — 根据对称轴和开口方向，判断 、、 等代数式的符号。 · 练习5 — 利用对称轴 及待定系数法，求 的值。 ❤ 检测重点：熟练运用对称轴公式，掌握系数与图象位置的对应关系，灵活应用数形结合思想。 【练习1】（2025秋•安阳月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 　 　 ．（请用“＞”连接） 【练习2】（2025秋•合肥校级月考）如图是函数的图象，则k的取值范围是　 　 ． 【练习3】（2026•常州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c，对任意的自变量x都有ax2+bx≥4a+2b，若该抛物线过点A（4﹣m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是 　 　 ． 【练习4】（2024秋•莱山区期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③3a﹣5b+7c＞0；④若（﹣2，y1）（2.5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c≥0，其中说法正确的是　 　 ．（填序号） 【练习5】（2025秋•邗江区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）在抛物线y＝x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　 ．（用“＜”连接） 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1 — 一次函数与二次函数图象共存（联立无交点，系数符号匹配）。 · 作业2–3 — 配方法求顶点、对称轴，判断增减区间（， 递减）。 · 作业4–6 — 根据图象判断 、、 的符号（特殊点法）。 · 作业7–8 — 利用对称性比较函数值大小，求参数范围（如 的可能值）。 · 作业9–11 — 方程 的根与图象交点关系，判别式应用。 · 作业12 — 新定义“偶点”综合：消元转化为直线与抛物线交点，求 的范围。 · 作业13 — 利用中点比较法，由函数值大小关系求参数 的取值范围。 · 作业14 — 根据表格数据求解析式，判断增减区间。 · 作业15 — 待定系数法求 ，利用距离比较法比较 、 大小。 · 作业16 — 二次函数与一次函数上下关系，利用最值差求参数 的范围。 ❤复习建议：重点掌握配方法化顶点式，熟记对称轴与顶点公式，理解 、、 对图象位置的影响，强化数形结合解决综合问题的能力。 【作业1】（2024秋•石狮市校级期末）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2026•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+4ax+3a+1（a≠0），当x＞0时，y随x的增大而减小，则该抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【作业3】（2026•南岗区校级三模）下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 【作业4】（2026•龙湖区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么下列各式中不成立的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．a+b+c＜0 【作业5】（2026•建邺区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论中，正确的有（　　）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④4a+2b+c＞0；⑤3a+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业6】（2025秋•沛县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤am2+bm＞a+b，（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业7】（2025秋•丛台区校级期末）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【作业8】（2025秋•泗水县期末）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【作业9】（2024秋•吉林期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则bc＝　 　 ． 【作业10】（2023秋•金湾区校级月考）已知一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（2，﹣1），请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 　 　 ． 【作业11】（2026•香坊区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④4ac＜b2；⑤2a+b＝0．其中正确的结论的序号有　 　 ． 【作业12】（2025秋•绛县期末）若抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则m＝　 　 ． 【作业13】（2025秋•门头沟区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+2的图象上，若0＜x1＜1，2＜x2＜3，则y1与y2的大小关系是y1　 　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【作业14】（2024秋•雁塔区校级期末）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y＝2x2﹣4x+13 （2）y＝x（6﹣x） 【作业15】（2025秋•义乌市校级作业）已知抛物线y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）经过点（2，0）． （1）求a的值； （2）求抛物线与y轴的交点坐标． 【作业16】（2025秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两个不同的点． （1）当y1＝y2＝c时，求x1+x2的值； （2）若对于a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 二次函数一般式（1） 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 （精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数一般式 的图象特征，掌握配方法将其化为顶点式 。 · 掌握 二次函数对称轴公式 及顶点坐标公式，能熟练判断开口方向、增减区间和最值。 · 理解 二次函数图象与系数 、、 的关系，能根据图象判断系数符号及特殊代数式的正负。 · 掌握 二次函数图象上点的坐标特征，能利用对称性快速比较函数值大小、求参数范围。 · 体会 数形结合、转化与化归、分类讨论在二次函数综合问题中的运用。 ✨ 核心思想：以“配方”为桥梁，沟通一般式与顶点式；以“对称轴”为分界，理解图象的代数与几何统一。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 课程导入 以 为例。 由配方，可得 由配方的结果，可知抛物线 的对称轴是直线 ， 顶点是 。根据二次函数图像的对称性列表，描点，并画出它的图像。 … 1 2 3 … … 0 -1 0 … · 对称轴为直线 （虚线）； · 顶点坐标为 ； · 与 轴交于点 和 ； · 开口向上，经过点 和 。 从图可以看出，在对称轴左侧，二次函数 的图像下降；在对称轴右侧，图像上升。也就是说， 当 时， 随着 的增大而 减小； 当 时， 随着 的增大而 增大； 当 时， 取到 最小值，最小值为 。 一般地，通过配方，二次函数 可以化为 的形式，进而得到其图像与性质。实际上， 将上述与 比较，可得 📐 你能归纳出抛物线 的性质吗？ ☆ 1. 一般式与顶点式的互化 · 一般式： （）。 · 顶点式（配方法）： ，其中 ，。 · 步骤： 提公因式 （注意 为负时提负号）→ 配方（加一次项系数一半的平方）→ 整理成平方形式。 ☆ 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象特征 · 开口方向： 由 决定， 开口向上， 开口向下。 · 开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。 · 对称轴： 直线 。 · 顶点坐标： 。 · 与 轴交点： 。 · 与 轴交点： 令 ，即解 ，判别式 决定交点个数。 ☆ 3. 二次函数 y = ax² + bx + c 的性质 · 增减性： · 时，在对称轴左侧 ， 随 增大而减小；右侧增大而增大。 · 时，在对称轴左侧 ， 随 增大而增大；右侧增大而减小。 · 最值： · 时，在顶点处取最小值 。 · 时，在顶点处取最大值 。 · 对称性： 若 与 在抛物线上，则对称轴 。 ☆ 4. 图象与系数 a、b、c 的关系 · 决定开口方向与大小（）。 · 与 共同决定对称轴位置：、 同号，对称轴在 轴左侧；、 异号，对称轴在 轴右侧（“左同右异”）。 · 决定抛物线与 轴的交点纵坐标， 交于正半轴， 交于负半轴。 · 特殊代数式符号判断： 令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 ，结合图象对应点的位置判断正负。 ☆ 5. 知识总结表 表达式 对称轴 顶点坐标 开口 最值 向上 向下 ，y最小 ，y最大 向上 向下 ，y最小 ，y最大 系数特征 图象表现 示例结论 开口向上，有最低点 函数有最小值 开口向下，有最高点 函数有最大值 、 同号 对称轴在 轴左侧 “左同” 、 异号 对称轴在 轴右侧 “右异” 与 轴交于正半轴 截距为正 与 轴交于负半轴 截距为负 时 点 在轴上方 时 点 在轴下方 核心考点 ·经典题型方法精讲 【考点1】二次函数的图象（第1–7题） · 图象识别 利用 判开口， 判与 轴交点，、 判对称轴位置（左同右异）。 · 一次函数共存 联立消元判断无交点（），再匹配系数符号。 · 对称性补点 纵坐标相同的两点关于对称轴对称，利用中点公式求对称轴。 · 方程根与图象 方程 有根 ⇔ 直线 与抛物线有交点。 · 开口大小 越大开口越窄。 1．（2026•七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】联立函数得，解得x＝0或x＝1，得到二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a），即可得出答案． 【解答】解：联立得：， ∴ax2﹣a＝ax﹣a， ∴x2﹣x＝0， 解得：x＝0或x＝1， 当x＝0时，y＝﹣a，当x＝1时，y＝0， ∴二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a）， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象与交点问题，掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025•江安县模拟）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断． 【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（，0），函数y＝mx+n与x轴的交点坐标为（，0）， ∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意； 若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0， ∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上， ∵对称轴为直线x0， ∴在y轴的右侧，故选项B符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．二次函数，y，y＝a3x2，的图象如图所示，则a1，a2，a3，a4的大小关系是a4＜a3＜a2＜a1 （用“＜”连接）． 【分析】a的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【解答】解：∵由图象可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴a1＞a2＞0， ∵由图象可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴|a4|＞|a3|， 又a4＜0，a3＜0， ∴a4＜a3＜0， ∴a4＜a3＜a2＜a1， 故答案为：a4＜a3＜a2＜a1． 【点评】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．（2024•福田区模拟）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 　4　 ． 【分析】利用数形结合的数学思想，将方程的实数根转化为两个图象的交点问题即可解决问题． 【解答】解：令x＝0得， y＝4， 所以函数y＝|x2﹣4|的图象与y轴的交点坐标为（0，4）． 方程|x2﹣4|＝m的实数根可以看成函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m交点的横坐标． 因为该方程恰有3个不相等的实数根， 所以函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m有3个不同的交点． 如图所示， 当m＝4时，两个图象有3个不同的交点， 所以m的值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的图象，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 5．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②；③的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是　①③②　 ． 【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【解答】解：①y＝3x2；②；③中，二次项系数a分别为3、、， ∵3， ∴抛物线②yx2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄． 故答案为：①③②． 【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽． 6．（2025秋•通州区校级月考）抛物线y＝x2﹣1的开口方向是　向上　 ． 【分析】利用二次函数的性质直接判断即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣1中，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上． 故答案为：向上． 【点评】本题主要考查二次函数的图象，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键， 7．（2025秋•海珠区校级期中）已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴相交于点（0，3）． （1）m＝　3　 ，该抛物线的顶点坐标为y＝﹣（x﹣1）2+4　 ； （2）在直角坐标系中画出图象：列表取点； x … … y … … （3）根据图象，直接写出不等式﹣x2+（m﹣1）x+m＜0的解集是x＜﹣1或x＞3　 ． 【分析】（1）先将x＝0，y＝3代入解析式即可求出m的值，再将二次函数写成顶点式即可． （2）列表，然后画出函数图象； （3）利用函数图象求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3） ∴将x＝0，y＝3代入解析式，3＝﹣02+（m﹣1）×0+m， ∴解得m＝3， 此时抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，化为顶点式， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4， 故答案为：3，y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）先求抛物线与x轴交点，令y＝0，解方程﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，因式分解解得（x﹣3）（x+1）＝0，得x＝3或x＝﹣1， 列表取点，见下表： 根据表格描点、连线，画出抛物线（开口向下，顶点（1，4）），如图所示： ； （3）不等式﹣x2+2x+3＜0的几何意义是：抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴下方的部分对应的x范围，由图象可知，抛物线在x＜﹣1或x＞3时位于x轴下方， ∴解集为x＜﹣1或x＞3．故答案为：x＜﹣1或x＞3． 【点评】本题考查了抛物线的解析式求解、顶点坐标计算、图象绘制，以及利用图象解不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【考点2】二次函数的性质（第8–17题） · 对称轴公式 ；顶点坐标代入公式或配方法。 · 增减性 以对称轴为界，结合 的正负判断。 · 比较函数值 开口向上时，距对称轴越近值越小；开口向下时，距对称轴越近值越大。 · 区间最值 比较顶点处与区间端点处函数值，注意开口方向。 · 顶点在 轴上 判别式 。 8．（2025秋•辛集市期末）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．②③④ 【分析】先根据二次函数图象的开口向下可得a＜0，再根据对称轴可得b的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据x＝﹣1，x＝﹣2，x＝1时，结合图形分别判断③④⑤． 【解答】解：由图象可知a＜0， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴b＝﹣2a＞0，故结论①正确，符合题意； 由函数图象可知，当x＜1时，y随着x的增大而增大；故结论②正确，符合题意； 图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴抛物线经过（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故结论③错误，不符合题意； ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故结论④错误，不符合题意； 二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴y＝a+b+c是最大值， ∴am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故结论⑤正确，符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 9．（2025秋•海淀区校级月考）抛物线y＝﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（1，5） C．（﹣2，5） D．（﹣1，2） 【分析】利用配方法将抛物线解析式化成顶点式，即可求得其顶点坐标． 【解答】解：根据配方法将抛物线解析式化成顶点式可得：y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5， ∴抛物线的顶点坐标是（1，5）， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将抛物线的一般式化成顶点式是解题的关键． 10．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，2）， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11．（2025秋•进贤县期末）二次函数y＝x2+2的顶点是（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3） 【分析】依据题意，根据二次函数的顶点式即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2+2， ∴其顶点为（0，2）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 12．（2025秋•临高县期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出二次函数函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断． 【解答】解：由条件可知：a＜0，b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键． 13．（2025秋•海淀区校级期中）若抛物线y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4的顶点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1 【分析】求出函数的顶点坐标为（m+1，2m+4），再由第二象限点的坐标特点得到：m+1＜0，2m+4＞0即可求解． 【解答】解：∵y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4， ∴顶点为（m+1，2m+4）， ∵顶点在第二象限， ∴m+1＜0，2m+4＞0， ∴﹣2＜m＜﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，结合第二象限内点的坐标特点求解是关键． 14．（2023秋•姑苏区期中）二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限． 【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0， ∴一次函数y＝mx+n的图象经过一、三、四象限， 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数的图象，二次函数的性质、一次函数性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号． 15．（2026•安阳县一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：　1（答案不唯一）　 ． 【分析】由当x＜1时，y随着x的增大而减小可知抛物线开口向上，据此写出一个a的值即可． 【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+2， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上，a＞0， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 16．（2025秋•河北区期末）二次函数y＝2（x﹣2）（x+3）的对称轴是　直线　 ． 【分析】将二次函数化为一般形式，利用对称轴公式求解． 【解答】解：将二次函数化为一般形式可得： y＝2（x﹣2）（x+3）＝2x2+2x﹣12， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 【点评】本题主要考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2026春•海门区期末）当x＝0时，函数y＝2x2﹣1的值为　﹣1　 ． 【分析】将x的值代入y＝2x2﹣1，计算出相应的y的值即可． 【解答】解：∵函数y＝2x2﹣1， ∴当x＝0时，y＝2×02﹣1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数值． 【考点3】图象与系数的关系（第18–24题） · 符号判断 定开口， 与 定左右， 定上下。 · 特殊点法 令 、、 等，结合图象对应点位置判断 、、 的符号。 · 对称轴与系数 可建立 、 的数量关系（如 ）。 · 开口方向条件 若抛物线在对称轴右侧下降，则 。 18．（2024秋•增城区校级月考）已知二次函数的y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④b2＞4ac；其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点即可判断①；当x＝﹣1时，y＜0，即可判断②；当x＝2时，y＞0，即可判断③；根据抛物线与x轴有2个交点，即可判断④． 【解答】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为x＝1，即1， ∴2a+b＝0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，①正确； ②观察函数图象，可知： 当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，②错误． ③∵抛物线的对称轴为x＝1，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴当x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，③正确； ④∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． 19．（2025秋•宁夏期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④am2+bm＞a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，即可分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示， 由抛物线开口向上，得a＞0；对称轴，抛物线与y轴交于负半轴， ∴b＝﹣2a＜0，c＜0， ∴abc＞0，2a+b＝0，故结论①②正确； ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴a+2a+c＝3a+c＞0，故结论③正确； ∵当x＝1时，函数取最小值，为a+b+c ∴am2+bm+c≥a+b+c， 即am2+bm≥a+b，故结论④错误． 故选：C． 【点评】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 20．（2025秋•徐汇区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．b＜0 D．a+b+c＝0 【分析】根据抛物线图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点逐一判断各选项，即可得到结果． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下， ∴a＜0， 故A选项不符合题意； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴相交， ∴c＞0， 故B选项不符合题意； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴0， ∴b＞0， 故C选项不符合题意； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴当x＝1时，y＝0， 即a+b+c＝0， 故D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 21．（2026•西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3＝（x﹣m）2+2m+3， ∴图象开口向上，顶点为（m，2m+3），对称轴为直线x＝m， ∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握抛二次函数的性质是解题的关键． 22．（2025•邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 m≥4　 ． 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤2时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴直线x2，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3中，a＝1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴直线x2，即2 解得m≥4． 故答案为：m≥4． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 23．（2025秋•白云区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是　①④⑤　 （填序号）． 【分析】根据抛物线的开口方向判断a，根据对称轴的位置判断b，根据抛物线与y轴的交点位置判断c，即可判断abc＞0，根据抛物线与x轴的交点情况判断②；根据横坐标为3的抛物线上的点的纵坐标正负情况判断③；根据对称轴判断④；根据横坐标为﹣1的抛物线上的点的纵坐标取值范围判断⑤． 【解答】解：由于抛物线的开口向上，则a＞0，由于抛物线的对称轴在y轴右边，则a、b异号，所以b＜0，由于抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c＜0，故abc＞0，故①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误； 当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故③错误； 因为对称轴为x1，则b＝﹣2a，所以2a+b＝0，故④正确； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点情况确定b2﹣4ac与0的关系． 24．（2025•徐汇区二模）若抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，则m的取值范围是m＜0　 ． 【分析】求得抛物线的对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的性质即可判断m＜0． 【解答】解：抛物线y＝mx2﹣4mx+1的对称轴为直线x2， ∵抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的， ∴抛物线开口向下， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【考点4】点的坐标特征（第25–35题） · 代入法 将点坐标代入解析式求参数或比较函数值。 · 对称性 若 ，则对称轴 。 · 距离比较法 计算点到对称轴的水平距离，结合开口方向判断纵坐标大小。 · 参数范围 利用不等式组确定 或 的取值范围。 · 新定义（如“偶点”） 根据定义列方程组，变形消元转化为直线与抛物线的交点问题。 25．（2026•靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【分析】利用二次函数的增减性比较大小即可． 【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B， ∴y1＜y3＜y2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键． 26．（2026•黄冈模拟）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2上有三点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3 【分析】先确定抛物线的对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据距离大小判断纵坐标的大小关系． 【解答】解：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1． 点（﹣2，y1）到对称轴的距离为|﹣2﹣1|＝3； 点（﹣1，y2）到对称轴的距离为|﹣1﹣1|＝2； 点（2，y3）到对称轴的距离为|2﹣1|＝1； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，纵坐标越大，且3＞2＞1， ∴y1＞y2＞y3； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2026•中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【分析】根据抛物线的性质得：抛物线y＝﹣（x+1）2+m（m为常数）的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：根据函数解析式可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1最近，C（2，y3）离直线x＝﹣1最远， ∴y1最大，y3最小， ∴y3＜y2＜y1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 28．（2026春•海淀区校级期末）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 【分析】根据二次函数的性质进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y， 所以抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝1， 则抛物线上的点，离对称轴越近，其纵坐标越大． 因为A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在该抛物线上， 则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，3﹣1＝2且0＜2＜3， 所以y2＞y3＞y1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 29．（2026•沁阳市模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点A（4，y1），B（b，y2），若y1＜y2，则b的整数值可以是　5（答案不唯一）　 ．（写出一个答案即可） 【分析】把点A（4，y1），B（b，y2）代入y＝x2﹣2x﹣3，再结合y1＜y2，可得到关于b的不等式，即可求解． 【解答】解：由题意可得：，， ∵y1＜y2， ∴b2﹣2b﹣3＞5， 解得：b＜﹣2或b＞4． ∴b的整数值可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 30．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 31．（2025秋•金湾区期末）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 .（用“＜”连接）． 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，根据x＜3时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝3， A（4，y3）关于直线x＝3的对称点是（2，y3）， ∵﹣1＜1＜2＜3， 在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∴y1＜y2＜y3， 故答案为：y1＜y2＜y3，． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 32．（2026春•海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1　＜　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】先求出抛物线对称轴x＝2，开口向上，离对称轴越远函数值越大，分别判断x1、x2到对称轴的距离长短，对比y1，y2大小， 【解答】解：y＝x2﹣4x+2，对称轴x2， ∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上， 1＜x1＜2，x1到对称轴距离：0＜|x1﹣2|＜1， 3＜x2＜4，x2到对称轴距离：1＜|x2﹣2|＜2， x2离对称轴更远，函数值更大，故y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查二次函数对称轴、开口方向与函数值大小比较，熟练掌握抛物线上点到对称轴距离和函数值的变化规律是解题的关键． 33．（2026•成都模拟）新定义：若存在常数k，使得点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），则称点P为“偶点”．若A（a，16）是“偶点”，则a＝ 　14　 ；若抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 　﹣1≤c　 ． 【分析】根据A（a，16）是“偶点”，根据“偶点”定义，点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），将x＝a，y＝16代入解方程组得到a＝14．由x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k，两式相减得：x2﹣y2＝﹣2y﹣2x，求得y＝x+2，得到“偶点”P（x，y）在直线y＝x+2上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线y＝x+2与抛物线y＝﹣3x2+4x+c（﹣1≤x≤4）在﹣1≤x≤内有交点，将y＝x+2代入抛物线方程得得到，设，﹣1≤x≤4，这是一个函数，对称轴为，当x＝2时，当x＝﹣1时，当x＝4时，求得f（x）在﹣1≤x≤4的最小值为﹣1，最大值为，于是得到结论． 【解答】解：已知A（a，16）是“偶点”，根据“偶点”定义，点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0）， 将x＝a，y＝16代入可得：， 解得a＝14或a＝﹣16， ∵x+y≠0，当a＝﹣16时，x+y＝﹣16+16＝0，不符合条件，舍去， ∴a＝14． 由x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k，两式相减得：x2﹣y2＝﹣2y﹣2x， ∴（x﹣y）（x+y）+2（x+y）＝0， 即（x+y）（x﹣y+2）＝0， ∵x+y≠0， ∴x﹣y+2＝0，即y＝x+2， ∴“偶点”P（x，y）在直线y＝x+2上， ∴抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线y＝x+2与抛物线y＝﹣3x2+4x+c（﹣1≤x≤4）在﹣1≤x≤4内有交点， 将y＝x+2代入抛物线方程得：， 整理得， 设，﹣1≤x≤4，这是一个函数，对称轴为， 当x＝2时，； 当x＝﹣1时，f（﹣1）（﹣1）2﹣3×（﹣1）+2， 当x＝4时，f（4）42﹣3×4+2＝2． ∴f（x）在﹣1≤x≤4的最小值为﹣1，最大值为， ∵x+y≠0， ∴x≠﹣1， ∴c的取值范围是﹣1≤c． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键． 34．已知函数． （1）画出这个函数的图象． （2）观察画出的函数图象，自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？ （3）观察画出的函数图象，函数y的值能否小于0？点（﹣2，3）在不在这个函数的图象上？ 【分析】（1）根据所给函数解析式，画出函数图象即可； （2）结合（1）中所画函数图象即可解决问题； （3）根据所画函数图象进行观察即可． 【解答】解：（1）函数图象，如图所示， ； （2）由函数图象可知， 当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小； （3）由函数图象可知， 函数y的值不能小于0；点（﹣2，3）不在这个函数的图象上． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及二次函数的图象，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 35．（2026春•丰泽区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（1，m），B（3，n）两点在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． （1）求证：； （2）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在该抛物线上．若mn＜0，请判断y1，y2的大小关系并说明理由． 【分析】（1）依据题意，由A（1，m），B（3，n）两点在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，则，从而计算可以得解； （2）根据mn＜0可得a+b＜0＜3a+b，再根据y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）可得答案． 【解答】（1）证明：∵A（1，m），B（3，n）两点在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上， ∴． ∴a； （2）解：∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上， ∴a+b＝m，9a+3b＝n， ∵mn＜0， ∴（a+b）（9a+3b）＜0，即3（a+b）（3a+b）＜0， ∴a+b与3a+b异号， ∵a＞0， ∴a+b＜0＜3a+b， ∵（﹣1，y1），（2，y2）在该抛物线上， ∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b， ∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0， ∴y1＞y2． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解． 【创新及压轴题】（第36–38题） · 绝对值函数 分段讨论，去绝对值符号，画出分段图象，利用图象交点解决根个数问题。 · “可控变点” 根据定义分段表示解析式，转化为分段函数与水平线的交点问题，注意取值范围。 · 对称性与取值范围 利用对称轴和开口方向，将条件转化为不等式，求解参数范围。 36．（2025秋•周村区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5，其中a≠0． （1）写出该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求2x1+x2的值； （3）若a＝﹣1，当m≤x≤m+2时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求m的值． 【分析】（1）利用对称轴公式可以得解； （2）依据题意得，y＝ax2﹣4ax+5＝a（x2﹣4x）+5，由无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点，又令x2﹣4x＝0，即x＝0或x＝4，则y＝5，结合x1＜x2，可得x1＝0，x2＝4，进而代入计算可以得解； （3）依据题意得，当a＝﹣1时，当a＝﹣1时，y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，故当x＝2时，y取最大值为9；当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减，故可分①当m≥2时、②当m＜2＜m+2时和③当m+2≤2时，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣4ax+5 ∴对称轴是直线x2； （2）由题意得，y＝ax2﹣4ax+5＝a（x2﹣4x）+5， ∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过P（x1，y1），Q（x2，y2）两个定点， ∴令x2﹣4x＝0，即x＝0或x＝4，则y＝5． 又∵x1＜x2， ∴x1＝0，x2＝4． ∴2x1+x2＝2×0+4＝4； （3）由题意得，当a＝﹣1时，y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9． ∴当x＝2时，y取最大值为9；当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． ①当m≥2时，当x＝m时，y取最大值，y＝﹣m2+4m+5；当x＝m+2时，y取最小值，y＝﹣（m+2）2+4（m+2）+5＝﹣m2+9， ∴﹣m2+4m+5﹣（﹣m2+9）＝3． ∴m（不合题意，舍去）， ②当m＜2＜m+2时，即0＜m＜2． ∴当x＝2时，y取最大值为9． 又当x＝m时，y取最小值，y＝﹣m2+4m+5或当x＝m+2时，y取最小值，y＝﹣（m+2）2+4（m+2）+5＝﹣m2+9， ∴9﹣（﹣m2+4m+5）＝3或9﹣（﹣m2+9）＝3．∴m或m（不合题意，舍去）或m＝2（不合题意，舍去）．③当m+2≤2时，即m≤0时，当x＝m时，y取最小值，y＝﹣m2+4m+5；当x＝m+2时，y取最大值，y＝﹣m2+9， ∴﹣m2+9﹣（﹣m2+4m+5）＝3． ∴m（不合题意，舍去）． 综上，m． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键． 37．（2024秋•新城区校级月考）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣3|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数y＝||的自变量x的取值范围是 　任意实数　 ； （2）①列表：如表是x，y的几组对应值，其中m＝　　 ，n＝　　 ； x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（﹣1，m），（1，n）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； （3）下列关于该函数的说法，错误的是 B ． A．函数图象是轴对称图形 B．当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．函数值y都是非负数 D．若函数图象经过点（m，a）与（﹣m，b），则a＝b （4）若点A（e，p），B（f，q）均在该函数图象上，且|f|＜|e|＜2，则p与q的大小关系是 p＜q ． 【分析】（1）由函数y＝||得x为任意实数． （2）①当x＝﹣1时，y＝|x2﹣3|，即m，当x＝1时，y＝|x2﹣3|，即n． ②见解答过程． ③见解答过程． （3）观察图形为轴对称图形，故A正确．当x＞0时，即＜0＜2这一段时，函数值y随在自变量x的增大而减小，故B错误．由绝对值≥0，知C正确．由图形关于y轴对称，故x＝m和x＝﹣m时，a＝b，故D正确． （4）观察图形，当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大，当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．又|f|＜|e|＜2，故p＜q． 【解答】解：（1）由函数y＝||得x为任意实数， 故答案为：任意实数． （2）①当x＝﹣1时，y＝|x2﹣3|，即m， 当x＝1时，y＝|x2﹣3|，即n， 故答案为：，． ②如图：A、B即为所描． ③如图． （3）观察图形为轴对称图形，故A正确． 当x＞0时，即＜0＜2这一段时，函数值y随在自变量x的增大而减小，故B错误． 由绝对值≥0，知C正确． 由图形关于y轴对称，故x＝m和x＝﹣m时，a＝b，故D正确． 故选：B． （4）观察图形，当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大， 当0＜x＜2时，y随x的增大而减小． ∵|f|＜|e|＜2， ∴p＜q． 故答案为：p＜q． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称图形，正确运用这些知识是解题关键． 38．（2025秋•北仑区期末）已知函数，其中n，a0，a1，a2，⋯，an都为正整数，且a0+a1+a2+⋯+an＝4，例如n＝1时，函数为y＝a0+a1x，且a0+a1＝4． （1）若函数y是一次函数，请直接写出它的所有解析式； （2）若a0＝2，且函数y是二次函数，求证：y＞0； （3）小仑发现（1）（2）条件下的函数都相交于同一点，小仑猜想：不论n为何值，函数y的图象都经过一个定点．请你写出这个定点，并说明理由． 【分析】（1）由题意可知一次函数为y＝a0+a1x，且a0+a1＝4，a0、a1是正整数，则a0＝1时，a1＝3；a0＝2时，a1＝2；a0＝3时，a1＝1，即可求得函数的解析式为y＝1+3x，y＝2+2x，y＝3+x； （2）若a0＝2，且函数y是二次函数，则y＝2+a1x+a2x2，由于2+a1+a2＝4，a1、a2是正整数，即可得出a1＝1，a2＝1，故二次函数为y＝x2+x+2，由于抛物线开口向上，Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，即可证得：y＞0； （3）由a0+a1+a2+⋯+an＝4，可知函数，在x＝1时，y＝a0+a1+a2+⋯+an，所以函数图象都经过一个定点（1，4）． 【解答】（1）解：∵函数y是一次函数， ∴y＝a0+a1x，且a0+a1＝4，a0、a1是正整数， ∴a0＝1时，a1＝3；a0＝2时，a1＝2；a0＝3时，a1＝1， ∴函数的解析式为y＝1+3x，y＝2+2x，y＝3+x； （2）证明：若a0＝2，且函数y是二次函数， ∴y＝2+a1x+a2x2， ∵2+a1+a2＝4， ∴a1+a2＝2， ∵a1、a2是正整数， ∴a1＝1，a2＝1， ∴二次函数为y＝x2+x+2， ∵Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴抛物线开口向上，且与x轴无交点， ∴对任意实数x，y＞0； （3）解：不论n为何值，函数y的图象都经过一个定点（1，4）， 理由：∵在函数中，x＝1时，y＝a0+a1+a2+⋯+an＝4， ∴函数图象都经过一个定点（1，4）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 — 比较二次项系数 的大小与开口宽窄的关系（ 越大开口越窄）。 · 练习2 — 新定义“和谐”与“美好”函数，结合 、 判断对称轴 。 · 练习3 — 由二次函数不等式确定对称轴，利用距离比较法求参数 的范围。 · 练习4 — 根据对称轴和开口方向，判断 、、 等代数式的符号。 · 练习5 — 利用对称轴 及待定系数法，求 的值。 ❤ 检测重点：熟练运用对称轴公式，掌握系数与图象位置的对应关系，灵活应用数形结合思想。 【练习1】（2025秋•安阳月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 a2＞a3＞a1 ．（请用“＞”连接） 【分析】画出直线x＝1与三条抛物线的交点，再结合图形即可解决问题． 【解答】解：作直线x＝1，与三条抛物线分别交于点A，B，C， 则点A坐标为（1，a2），点B坐标为（1，a3），点C坐标为（1，a1）． 由图象可知， 点A在点B的上方，点B在点C的上方， 所以a2＞a3＞a1． 故答案为：a2＞a3＞a1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【练习2】（2025秋•合肥校级月考）如图是函数的图象，则k的取值范围是　　 ． 【分析】由图可知y1开口最小，其次y2，y3开口最大，根据开口大小与|a|的关系计算即可． 【解答】解：根据开口大小与|a|的关系可知：y1开口最小，其次y2，y3开口最大， ∴， 由开口方向可知k﹣2＜0，1﹣k＜0， 即，且k＜2，k＞1， 解得且1＜k＜2， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数y＝ax2（a≠0）的性质．抛物线y＝ax2（a≠0）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；a＜0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．开口大小与|a|有关，|a|越大图象开口越小，|a|越小图象开口越大．其顶点是（0，0），对称轴是y轴． 【练习3】（2026•常州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c，对任意的自变量x都有ax2+bx≥4a+2b，若该抛物线过点A（4﹣m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是 m　 ． 【分析】根据题意可判断出抛物线的对称轴，开口方向，再由y1＜y2，可得|4﹣m﹣2|＜|m+1﹣2|，化简即可解答． 【解答】解：∵ax2+bx＞4a+2b， 可知当x＝2时，ax2+bx＝4a+2b， ax2+bx+c＞4a+2b+c， ∴当x＝2时，抛物线函数值最小， ∴x＝2是对称轴，a＞0，开口向上， ∵y1＜y2， ∴|4﹣m﹣2|＜|m+1﹣2|， ∴|2﹣m|＜|m﹣1| ∴（2﹣m）2＜（m﹣1）2， ∴m2﹣4m+4＜m2﹣2m+1， ∴﹣2m＜﹣3， ∴． 故答案为：m． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是判断出抛物线的对称轴及开口方向． 【练习4】（2024秋•莱山区期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③3a﹣5b+7c＞0；④若（﹣2，y1）（2.5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c≥0，其中说法正确的是　①②③④　 ．（填序号） 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，对称轴是直线x，且抛物线与x轴的一个交点为（2，0），进而根据二次函数的性质逐个判断即可得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，对称轴是直线x， ∴a＜0，c＞0，b＝﹣a＞0． ∴abc＜0，故①正确． ∵抛物线与x轴的一个交点为（2，0）， ∴与x轴的另一交点为（，0），即（﹣1，0），故②正确． 又∵抛物线开口向下， ∴当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c＞0，故⑤错误． ∵与x轴的一交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，则c＝b﹣a＝﹣a﹣a＝﹣2a． ∴3a﹣5b+7c＝3a+5a﹣14a＝﹣6a＞0，故③正确． 若（﹣2，y1）（2.5，y2）是抛物线上的两点，且抛物线开口向下， 又∵（﹣2）＝2.5＞2.52， ∴y1＜y2，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【练习5】（2025秋•邗江区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）在抛物线y＝x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为 y2＜y3＜y1 ．（用“＜”连接） 【分析】求出抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的对称性和增减性，即可求出答案． 【解答】解：∵y＝x2+2x+c，∴对称轴是直线x1， ∵a＝1＞0， ∴二次函数的开口向上， 即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小， ∵（1，y3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，y2），且﹣4＜﹣3＜﹣2， ∴y2＜y3＜y1， 故答案为：y2＜y3＜y1． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1 — 一次函数与二次函数图象共存（联立无交点，系数符号匹配）。 · 作业2–3 — 配方法求顶点、对称轴，判断增减区间（， 递减）。 · 作业4–6 — 根据图象判断 、、 的符号（特殊点法）。 · 作业7–8 — 利用对称性比较函数值大小，求参数范围（如 的可能值）。 · 作业9–11 — 方程 的根与图象交点关系，判别式应用。 · 作业12 — 新定义“偶点”综合：消元转化为直线与抛物线交点，求 的范围。 · 作业13 — 利用中点比较法，由函数值大小关系求参数 的取值范围。 · 作业14 — 根据表格数据求解析式，判断增减区间。 · 作业15 — 待定系数法求 ，利用距离比较法比较 、 大小。 · 作业16 — 二次函数与一次函数上下关系，利用最值差求参数 的范围。 ❤复习建议：重点掌握配方法化顶点式，熟记对称轴与顶点公式，理解 、、 对图象位置的影响，强化数形结合解决综合问题的能力。 【作业1】（2024秋•石狮市校级期末）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分两种情况根据二次函数和一次函数的性质判断正误即可． 【解答】解：当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣2x+1的开口向上，对称轴为直线x0，交y轴的正半轴，一次函数y＝ax﹣a经过第一、三、四象限； 当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象开口向下，对称轴为直线x0，交y轴的正半轴，一次函数y＝ax﹣a经过第一、二、四象限； 故选项A、B、D不合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【作业2】（2026•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+4ax+3a+1（a≠0），当x＞0时，y随x的增大而减小，则该抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先求抛物线对称轴，再根据给定区间的增减性判断a的符号，最后计算顶点横纵坐标的符号，判断顶点所在象限． 【解答】解：由抛物线对称轴公式，可得对称轴直线x＝﹣2， ∴抛物线顶点横坐标为﹣2＜0． ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，可得a＜0． 将x＝﹣2代入解析式求顶点纵坐标y， y＝a（﹣2）2+4a•（﹣2）+3a+1＝4a﹣8a+3a+1＝﹣a+1． ∵a＜0，∴﹣a＞0，可得y＝﹣a+1＞0． ∵顶点横坐标为负，纵坐标为正， ∴顶点在第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业3】（2026•南岗区校级三模）下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 【分析】根据二次函数顶点式 y＝a（x﹣h）2+k 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【解答】解：根据二次函数顶点式 y＝a（x﹣h）2+k 的性质逐项分析判断如下： A、由二次函数解析式可知抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为 x＝h＝3，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为 （3，1），C错误，不符合题意； D、∵a＞0，开口向上， ∴当 x＜3 时，y随x的增大而减小， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【作业4】（2026•龙湖区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么下列各式中不成立的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．a+b+c＜0 【分析】根据抛物线图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点，与x轴的交点，对各选项逐一判断，即可得到结果． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴a＞0， 故A选项正确，不符合题意； ∵0， ∴＜0， ∴b＜0， 故B选项错误，符合题意； ∵抛物线的图象与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， 故C选项正确，不符合题意； 根据函数图象，当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业5】（2026•建邺区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论中，正确的有（　　）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④4a+2b+c＞0；⑤3a+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ②根据对称轴求解即可； ③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④根据轴对称性求出当x＝2时的函数值大小即可； ⑤由图可知，当x＝﹣1时的函数值为0，所以a﹣b+c＝0，再结合b＝﹣2a，可求得3a+c＝0，即可判断． 【解答】解：∵图象开口向下，图象交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错，不符合题意； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故②对，符合题意； ∵图象与x轴两个交点， ∴△b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对，符合题意； 根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0）， 故开口向下，图象与x轴交点在﹣1和3之间， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对，符合题意； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤错，不符合题意；共三个对， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业6】（2025秋•沛县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤am2+bm＞a+b，（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项错误； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a+c＜b，正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确； ④由对称轴为直线x＝1， 1， ∴2a+b＝0，故此选项正确； ⑤∵x＝1时，y的值最大． 当m≠1的实数时a+b+c＞am2+bm+c， ∴a+b＞am2+bm，故此选项错误． 故②③④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 【作业7】（2025秋•丛台区校级期末）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【分析】根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，得到离对称轴越远的点，其y值越小，即可求解． 【解答】解：方法一：∵二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+1， ∴对称轴为直线x＝3，抛物线开口向下， ∴离对称轴越远的点，其y值越小， ∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）， ∴3﹣（﹣2）＝5，3﹣1＝2，6﹣3＝3，即5＞3＞2， ∴y2＞y3＞y1； 方法二：分别讲A、B、C三点代入得， y1＝﹣49，y2＝﹣7，y3＝17， ∴y2＞y3＞y1； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【作业8】（2025秋•泗水县期末）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再求出P1、P2、P3到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【解答】解：由条件可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵1﹣（﹣1）＝2，，6﹣1＝5，， ∴y3＞y1＞y2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业9】（2024秋•吉林期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则bc＝　﹣6　 ． 【分析】由已知的图象可知二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，即可求出b，由二次函数图象与y轴交点即可求解． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交点为（0，3）， 即c＝3， 对称轴为直线x＝﹣1，即， 解得：b＝﹣2， ∴bc＝﹣6 故答案为：﹣6． 【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象的对称性是解答此题的关键． 【作业10】（2023秋•金湾区校级月考）已知一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（2，﹣1），请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 y＝﹣2x2+8x﹣1（答案不唯一）．　 ． 【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y＝ax2﹣1，由开口向下知a＜0，据此写出一个即可． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴该抛武线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1， 又∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∴这个二次函数的解析式可以是y＝﹣2x2+8x﹣1， 故答案为：y＝﹣2x2+8x﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 【作业11】（2026•香坊区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④4ac＜b2；⑤2a+b＝0．其中正确的结论的序号有　③④⑤　 ． 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ②由图象可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c， 故②错误； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0， ∴4ac＜b2， 故④正确； ⑤对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是：③④⑤， 故答案为：③④⑤． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【作业12】（2025秋•绛县期末）若抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则m＝　　 ． 【分析】依据题意，由抛物线为y＝2（x﹣1）2，可得对称轴是直线x＝1，再结合抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则对称轴是直线x1，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝2（x﹣1）2， ∴对称轴是直线x＝1． 又∵抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点， ∴对称轴是直线x1． ∴m． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键． 【作业13】（2025秋•门头沟区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+2的图象上，若0＜x1＜1，2＜x2＜3，则y1　＜　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】先将二次函数化为顶点式，分析其对称轴、单调性，再结合x1、x2的范围，比较y1与y2的大小． 【解答】解：将二次函数y＝x2﹣2x+2化为顶点式：y＝（x﹣1）2+1， 抛物线的对称轴为x＝1， 当x＜1时，y随x的增大而减小， 当x＞1时，y随x的增大而增大， 已知0＜x1＜1，取x1关于对称轴为直线x＝1的对称点x′＝2﹣x1， 由于0＜x1＜1，则1＜x1′＜2， 根据对称性，y1＝y（x1）＝y（x1′）， 又∵x＞1时y随x增大而增大，且x1′＜2＜x2＜3， ∴y（x1′）＜y（x2），即y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称性，解题的关键是利用对称轴将不在同一单调区间的点转化到同一区间． 【作业14】（2024秋•雁塔区校级期末）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y＝2x2﹣4x+13 （2）y＝x（6﹣x） 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可求解． （2）将抛物线解析式化为顶点式即可求解． 【解答】（1）将抛物线解析式配方得y＝2（x﹣1）2+11， ∴该函数图象对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，11）． （2）将抛物线解析式配方得y＝﹣（x﹣3）2+9， ∴该函数图象对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，9）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数顶点的方法，通过配方求解． 【作业15】（2025秋•义乌市校级作业）已知抛物线y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）经过点（2，0）． （1）求a的值； （2）求抛物线与y轴的交点坐标． 【分析】（1）将（2，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣3计算即可； （2）将x＝0代入抛物线求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（2，0）， ∴0＝a（2﹣1）2﹣3， 解得：a＝3； （2）∵a＝3， ∴y＝3（x﹣1）2﹣3， 当x＝0时，y＝3（0﹣1）2﹣3＝0， ∴交点坐标为（0，0）． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业16】（2025秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两个不同的点． （1）当y1＝y2＝c时，求x1+x2的值； （2）若对于a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）求出抛物线的对称轴为直线x＝2，再结合y1＝y2＝c得出点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝2对称，即可得出结果； （2）分两种情况：若a＞0，则a+2＞2；若a＜0，则a+2＜2；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果． 【解答】解：（1）由条件可知抛物线的对称轴为直线． ∵y1＝y2＝c， ∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝2对称． ∴x1+x2＝4． （2）若a＞0，则a+2＞2． 当x≤2时，y随着x的增大而减小；当x≥2时，y随着x的增大而增大． ∵当a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3时，y1＜y2总成立，且﹣a+4是a关于对称轴直线x＝2的对称点的横坐标， ∴﹣a+4≤a+2或a≥2． ∴a≥1． 若a＜0，则a+2＜2． 当x≤2时，y随着x的增大而增大；当x≥2时，y随着x的增大而减小． ∵当a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3时，y1＜y2总成立，且1﹣a是a+3关于对称轴直线x＝2的对称点的横坐标， ∴1﹣a≥a+2或a+3≤2． ∴． 综上，a的取值范围是a≥1或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $