1.3 证明（2）课件 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理的证明、外角性质及证明规范，通过泰勒斯故事和直观实验法导入，引导学生从实验过渡到几何证明，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接三角形基础，为后续证明学习奠基。 其亮点在于融入数学史激发兴趣，通过三种辅助线添加方法实现一题多解，以等角转化统一证明思路，培养数学思维的灵活性与逻辑性。规范证明步骤训练数学语言表达，例题练习强化推理意识，帮助学生发展创新意识和理性精神，教师可依托此资料实施探究式教学，提升课堂效率。

1.3 证明（2） 第1章 三角形 2024浙教版 八年级上册 学习目标 进一步体验证明的意义，进一步学习证明的思考方法． 进一步学习综合法证明的方法和表述． 体验辅助线在证明中的作用． 1 2 探索新知 泰勒斯 泰勒斯是古希腊著名的哲学家、数学家，在数学领域有着诸多开创性的贡献。他在游历埃及期间，被古埃及人精湛的建筑技艺所吸引，在观察金字塔的过程中，他思考着各种几何问题。 探索新知 活动一：探究三角形内角和定理 问题1：你能用什么办法能证明三角形的内角和为180°呢?  方法一：直观实验法（测量、剪纸或折叠法） 方法二：几何证明法 思考1:你能根据条件和结论画出图形， 写出已知和求证吗？ 已知：如图，∠A，∠B，∠C是 △ABC 的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 写出已知求证 画出图形 理解题意 探索新知 【探究】证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题. 已知：如图，∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠BAC+∠B+∠C=180° 证明：如图，过点A作MN∥BC. A B C M N ∵ MN∥BC ∴∠C＝∠CAN， ∠B＝∠BAM（两直线平行，内错角相等） ∴∠BAC+∠B+∠C ＝∠BAC+∠BAM+∠CAN＝180º（平角的定义） 探索新知 思考2：还有别的辅助线添加方法吗？ D E 1 2 作BC 的延长线CD， 过点C 作射线CE//AB 辅助线 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB， 则∠1=∠A (两直线平行，内错角相等) ∠2=∠B (两直线平行，同位角相等) 因为 ∠1+∠2+∠ACB=180° 所以 ∠A+∠B+∠ACB=180° 方法2证明过程 已知：如图，∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠BAC+∠B+∠C=180° 探索新知 思考3：除了选三角形的顶点作平行线之外，可不可以选三角形边上一点？ 证明：在BC上任取一点D，过D作DE//AB， 作DF//AC，分别交AB，AC于点F，E。 所以∠1=∠C，∠2=∠B，∠5=∠A (两直线平行，同位角相等)， ∠3=∠5(两直线平行，内错角相等)， 所以∠3=∠A， 因为∠1+∠2+∠3=180°， 所以∠A+∠B+∠C=180°。 E 2 F 1 3 · D 在BC上任取一点D，过D 作DE//AB， 作DF//AC，分别交AB，AC于点F，E 辅助线 方法3证明过程 5 已知：如图，∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠BAC+∠B+∠C=180° 问题3：以上几种添辅助线证明命题的方法，有什么共同的特点？ 内角和定理证明方法 归纳 等角转化 构造平行线 平行线的性质 三内角转化为一个平角 技 巧 归 纳 数 学 思 维 辅助线位置多样 一题多解 统一于等角转化策略 多解归一 （思维灵活性） （本质统一性） 辅助线 为证明而添的线 通常画成虚线 添线过程写在证明里 探索新知 探索新知 【新知1】证明几何命题的一般表述格式 【注意两点】 （1）有些几何命题已经包括了相应的图形、已知及求证，那么直接写出证明的推理过程即可. （1）按题意画出图形. （2）分清条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论. （3）在“证明”中写出推理过程. （2）辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 探索新知 【新知2】三角形的外角 如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角． B C D A 【思考】外角与它相邻的内角有何关系？ 一个三角形的外角共有几个？ 【结论】（1）外角与它相邻的内角互补. （2）每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个， 且这2个角为对顶角. 探索新知 【探究】三角形内角和定理的推论 B C D A （1）三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有何关系？ （2）不共顶点的三个外角有何关系？ 探索新知 【新知3】三角形内角和定理的推论 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. （2）三角形不共顶点的三个外角的和等于360°. B C D A 例题探究 【例1】已知：如图，∠B+∠D=∠BCD. 求证：AB∥DE. 分析：如图，延长BC，交DE于点F. 根据平行线的判定定理，只要证明∠B=∠CFD, 或∠B+∠BFE=180°，就能证明AB∥DE. 证明：如图，延长BC，交DE于点F. ∵∠B+∠D=∠BCD（已知） 又∵∠BCD=∠D+∠CFD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴∠B+∠D=∠D+∠CFD（等量代换） ∴∠B=∠CFD（等式的性质） ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行） A B C D E F 例题探究 【例2】如图，P为△ABC内任意一点. 求证：∠BPC＝∠ABP+∠ACP+∠A． 证明：延长BP交AC于点E. E ∵∠BPC为△PCE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE. 又∵∠PEC为△ABE的外角， ∴∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠BPC＝∠ABP+∠ACP+∠A． 学以致用 【练习1】 学以致用 【练习2】如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是____________. ①④ 课堂小结 定义 证明路径 三角形 内角和定理 三角形外角的性质 性质1 性质2 添加辅助线 核心思想 等角转化 理解题意 → 画出图形 → 写出已知和求证 → 探索证明思路 → 写出证明过程 画成虚线，并在证明过程中写明做法 沟通已知与未知，转化问题，搭建逻辑桥梁 如何 证明 转化 策略 ∠CBD=∠A+∠C ∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 数学思维 一题多解 多解归一 课堂小结 三角形不共顶点的三个外角的和等于360°. $