第十三章 三角形 章末自测试题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册“三角形”章末自测试题，覆盖稳定性、三边关系、内角和等核心知识，通过生活情境与动态问题设计，体现几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|三角形稳定性（第1题）、三边关系（第3题）、内角和（第4题）|结合生活物品（如照相机三脚架）考查应用意识| |填空题|5题|角平分线与高综合（第13题）、外角性质（第15题）|注重角度转化与几何直观| |解答题|8题|动态动点（第12题）、旋转综合（第24题）|分层设计，从基础计算到创新探究，突出推理能力与空间观念|

第13章 三角形 章末自测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．下列物品中，主要利用三角形稳定性设计的是（    ） A．伸缩式雨棚 B．可折叠的购物车 C．照相机的三脚 D．校门口的自动伸缩门 2．如图，在中，，点、是边上的两点，连接、，若，平分，则下列说法中错误的是（   ）    A．线段是的中线 B．线段是的高 C．线段是的角平分线 D． 3．下面每组数分别是三根小木棒的长度，用它们不能摆成一个三角形的是（　　） A．5cm，10cm，5cm B．7cm，8cm，9cm C．3cm，4cm，5cm D．6cm，20cm，20cm 4．若一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 5．如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 6．如图所示，，分别是，的两条角平分线，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，垂足为．下列说法不正确的是（    ） A．与互余的角只有 B．点到的距离是的长 C． D．若，则 9．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC．若∠C=50°，∠A=60°，则∠ADE的度数等于（　　） A．130° B．120° C．110° D．70° 10．如图，中，，，则除直角外相等的角对数是（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 11．如图，在中，是角平分线，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，，，，，点P是直线上一个动点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 14．如图所示，，则的度数为__度． 15．如图，在中，，若，，的度数为_____． 16．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 17．如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是_______． 三、解答题 18．若、、分别为三边，化简：． 19．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    20．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． (1)求∠ACE的度数； (2)求证：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 21．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 22． 如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 23．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 24．如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．    （1）观察猜想 图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____； （2）探究证明 把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C C A C A B B 题号 11 12 答案 C D 1．C 本题考查三角形的稳定性，由三角形具有稳定性，即可得到答案． 解：A、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故A不符合题意； B、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故B不符合题意； C、选项中的物品是应用了三角形的稳定性，故C符合题意； D、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故D不符合题意． 故选：C． 2．D 本题考查了三角形的中线，角平分线，高的知识，掌握其定义，图形结合分析是解题的关键． 根据三角形的中线的定义，高的定义，角平分线的定义进行分析判定即可求解． 解：∵， ∴线段是的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴线段是的高，故B选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴线段是的角平分线，故C选项正确，不符合题意； 根据题意，线段是的角平分线得到，线段是的中线，无法得到，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 3．A 根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断． A、5+5＝10，故以这三条线段不能构成三角形，选项正确； B、7+8＞9，故以这三条线段能构成三角形，选项错误； C、3+4＞5，故以这三条线段能构成三角形，选项错误； D、6+20＞20，故以这三条线段可以构成三角形，选项错误， 故选A． 本题考查了三角形的三边关系，正确理解三角形三边关系定理是解题关键． 4．C 先利用三角形的内角和定理求出该三角形三个内角的度数，进而可得答案． 解：因为一个三角形三个内角的度数之比是， 所以这个三角形的三个内角分别是30°，45°，105°， 所以这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 本题主要考查了三角形的内角和定理，属于基础题目，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 5．C 根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形求解即可． 解：∵分别为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴， ． 6．A 由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得到，再由三角形内角和定理进行计算即可． 解：，， ， ，分别是，的两条角平分线， ，， ， ， ， 故选：A． 7．C 8．A 根据直角三角形两锐角互余和等角或同角的余角相等对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：、， ， ， ， 与互余的角有与两个角，故本选项错误； B、点到的距离是的长，故本选项正确； C、，， ，故本选项正确； D、， ， 解得，故本选项正确． 故选：A． 本题主要考查直角三角形两锐角互余的性质和同角或等角的余角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 9．B 根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠A，再根据平角等于180°列式计算即可得解． 解：如图，∵DE∥AC， ∴∠1=∠A=60°， ∴∠ADE=180°-∠A=180°-60°=120°． 故选：B． 本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 10．B 利用互余关系及余角的性质即可确定． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故相等的角有两对； 故选：B． 本题考查了互余的概念及余角的性质，结合图形是解决问题的关键． 11．C 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和的定理，根据可得出，根据角平分线的定义可得出，利用平角的定义求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 故选：C． 12．D 当时，的值最小，利用等积法即可求出的长． 解：点到直线的距离，垂线段最短， 当时，线段的值最小， 在中，，，，， ， 即， ． 13．20 由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理求出，从而即可得出结果． 解：∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 14．250 设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 15． 由是的外角，得出，根据三角形的内角和定理得出，再根据是的外角，可得出． 解：是的外角， ， ，， ， 在中，，， ， 是的外角， ， ． 16． 本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 17． 本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 根据题意可知：是阴影部分的面积的3倍，的面积是的面积的2倍，依此可求解． 解：点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，， 故答案为： 18． 本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简，即可作答． 解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 19． 根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 20．(1) (2) 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． (3) （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． （1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 21．(1) (2) 本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． （1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， （2）， ， 、是角平分线， ， ． 22． (1) 证明：， ， ， ， ， ， (2) 证明：平分， ， ，， 而， ； (3)①3；②21 本题属于四边形的综合题，考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的面积计算、三角形的外角性质，得到是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质计算，即可解决问题； （3）①根据，，，可以求出、，结合图形计算即可； ②连接，设，根据三角形的面积公式列出方程，求出，把代入计算得到答案． （1）略 （2）略 （3）①，，， ，， ； ②如图，连接， 设， 则， ， ， ， ， ， ， 解得， 四边形的面积， 故答案为：21． 23．(1) (2)或 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． （1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 25．（1）相等，； （2）是等边三角形，理由如下： 如图，由旋转可得 在ABD和ACE中 ． 点分别为的中点， 是的中位线， 且 同理可证且 ． 在中 ∵∠MNP=，MN=PN 是等边三角形． （1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出． （2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解． （3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值． 由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点， ∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC ∴MN=NP 又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC， ∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C= 根据三角形外角和定理， 得∠ENP=∠NBP+∠NPB ∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB， ∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE， ∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C =∠ABC+∠C =． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $