第十三章 三角形 章末综合试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上册三角形单元复习卷，立足基础，通过生活情境与跨学科素材（如六分仪原理）考查几何直观、推理能力，适配单元核心知识巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|三角形高、外角、三边关系|结合长方形框架稳定性（4题）考查应用| |填空题|5|外角性质、中线与面积|六分仪原理（15题）体现科技情境| |解答题|7|角平分线、平行线性质、飞镖图|飞镖图探究（22题）培养创新意识，分内外位置（16题）体现层次性|

第13章 三角形 章末综合试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、选择题 1．下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 (　　) A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是的外角，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA=14m，PB=10m，那么AB间的距离不可能是（　　） A．4m B．15m C．20m D．22m 4．如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案(　　) A． B． C． D． 5．如图，一块含有角的三角尺的两个顶点分别在一个长方形的对边上．如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ） A．40° B．45° C．50° D．55° 7．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8． 如图，在中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，把直尺摆放在直角三角板ABC上，∠C=90°，∠A=30°，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若∠CGD=24°，则∠AFE 的度数是 (　　) A．24° B．36° C．30° D．54° 10．如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠A＝80°，则∠B＝　 　°. 12．在中，，则　 　． 13．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是　 　． 14．如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为　 　．（用含的式子表示） 15．如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标． 在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线相交于点C，所在直线与水平线相交于点D，，观测角=　 　（用表示）． 小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中， 三、解答题 16．将一把直角尺放置在钝角△ABC（∠BAC＞90°）上，使得点B、C分别在该直角尺的两条直角边DE、DF上，且直角顶点D与点A在BC边的同侧． （1）如图，点A在直角尺内部． ①若∠A＝120°，∠ABD＝10°，求∠ACD的度数； ②若∠A＝α，∠ABD＝β，求∠ACD的度数（用含α、β的式子表示）． （2）改变直角尺的位置，使点A在直角尺外部，其它条件不变，探索∠ABD、∠ACD、∠A三者之间的数量关系，并说明理由． 17． 如图，线段与相交于，点、分别是延长线、延长线上一点.线段在内部，线段在内部．四边形始终为凸四边形，且有，，、均为正数． （1）若，，，，如图1，求度数； （2）若，，，如图2，则当变化时，为何值时，为与、无关的定值？ （3）若为定值，如图3，则和满足关系式______时，为与、无关的定值. 18．如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD． （1）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝　 　度． （2）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝　 　（用含x，y的代数式表示）． （3）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 19．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明) （3）根据(2)的结论，求图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 20．如图，在中，与的平分线相交于点． （1）若，则的度数是　 　； （2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； （3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 21． （1）【课本再现】如图1，在中，线经过点且．求证：； （2）【变式演练】如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数； （3）【方法应用】如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 22．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： （1）填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是　 　； （2）探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； （3）应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 答案 1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．A 7．C 8．B 9．B 10．D 11．30 12．30 13．6 14． 15．2 16．（1）解：①∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°． ∴∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣（∠ABD+∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（10°+60°）＝20°． ②∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α． ∵∠D＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∴∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣（∠ABD+∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（β+180°﹣α）＝α﹣β﹣90°． （2）解：①如图，当点D在AB的左侧时， 设AB与CD交于点M． ∵∠D+∠ABD+∠DMB＝∠A+∠ACD+∠AMC＝180°， 又∠DMB＝∠AMC， ∴∠D+∠ABD＝∠A+∠ACD， ∴∠A+∠ACD﹣∠ABD＝90°． ②如图，当点D在AB的右侧时， ∵∠D+∠ABD+∠DMB＝∠A+∠ACD+∠AMC＝180°， 又∠DMB＝∠AMC， ∴∠D+∠ABD＝∠A+∠ACD， ∴∠A+∠ABD﹣∠ACD＝90°． 综上所述，当点D在AB的左侧时，∠A+∠ACD﹣∠ABD＝90°； 当点D在AB的右侧时，∠A+∠ABD﹣∠ACD＝90°． 17． （1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当，即时，为与、无关的定值． （3） 18．（1）25 （2） （3）解：（2）中的结论成立，理由： 在△ABC中，∠B＝x，∠ACB＝y， ∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB＝180°-x-y， ∵AD平分∠BAC， ∴ ， ∵∠ACB＝y， ∴∠ACE＝180°-∠ACB＝180°-y， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°-∠ACE＝90°-（180°-y）＝y-90°， ∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE ＝ ＝ 19．（1）解：以上结论不成立，∠BPD=∠B+∠D， 延长BP交CD于点E，∵AB∥CD， ∴∠B=∠BED， ∵∠BPD=∠BED+∠D， ∴∠BPD=∠B+∠D； （2）解：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D，连接QP并延长， ∵∠BPE为△BPQ的外角，∠DPE为△PDQ的外角， ∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP， ∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP， ∴∠BPD=∠BQD+∠B+∠D； （3）解：根据（2）的结论，∠AFG=∠B+∠E，∠AGF=∠C+∠D， ∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°； 20．（1）； （2）解：，之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）解：∵平分，平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： ①当时， 则， ∴， 此时， ②当时，则， ∴，则， 此时， ③当时，则， ∴， 此时， ④当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 21．（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图2中， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点E在点O的上方时，如图3-1： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图3-2： 由题意知，，，， ∴， ∴ ， 综上所述，或． 22．（1）三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角， ∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B， 即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°， ∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线， ∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF）， ∴150°-∠C=2（110°-∠ C）， 解得：∠C=70°． 学科网（北京）股份有限公司 $