第13-14章 三角形和全等三角形 阶段综合试题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形与全等三角形核心内容，以题载法构建“性质应用-综合推理-创新迁移”的方法体系，逻辑链清晰，培养推理能力与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选2、填空12|角平分线性质（距离转化）、面积公式|三角形概念→角平分线性质→面积计算| |性质综合|解答20、22|辅助线构造（垂线）、全等判定（AAS/SAS）|内角和→外角性质→角平分线→全等证明| |动态与创新|解答24、25|新定义迁移（双赢三角形）、动态几何推理|静态性质→动态变化→跨情境应用|

第13-14章 三角形和全等三角形 阶段综合试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．如图，与交于点O，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A． B． C． D． 3．如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于与的大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B＝40°，∠ACE＝72，则∠E的度数为（　　） A．68° B．56° C．34° D．32° 5．下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 6．如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于（　　）． A．145° B．180° C．225° D．270° 8．如图，等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 12．如图，已知的周长是，，分别平分和，于D，且，则的面积是________． 13．如图，中，的平分线交于点，过点作，垂足分别为．若，则_____________． 14．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 15．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则_______． 16． 把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转得到△（如图乙），此时与交于点，则线段的长度为_________． 17．在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则____． 三、解答题 18．如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 19．如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 20．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． (1)求∠ACE的度数； (2)求证：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 21．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 22．已知：CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）如图1，求证∠BAC=∠B+2∠E； （2）如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，若∠DCE=2∠CAF，∠B=2∠E，求∠BAC的度数． 23．在中，，点D、E分别是边、上的点（不与A、B、C重合）点P是平面内一动点（P与D、B不在同一直线上），设，，． (1)若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则＝______；（用含有、的代数式表示） (2)若点P在的外部，如图（2）所示，则、、之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． (3)当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，直接写出对应的、、之间的关系式． 24．定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，与有公共边和公共角，且，则与是双赢三角形．如图2，在中，是边上任意一点． (1)若和是“双赢三角形”，，则 ； (2)如图3，延长到点，连接和，，，． ①试说明：与是“双赢三角形”； ②若，，求的长； ③若，，求的度数． 25．如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求： （1）的度数； （2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C D C C C D C 1．A 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，即可得出结果，找准对应角是解题的关键． 解：∵， ∴； 故选A． 2．B 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答． 解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5， ∴点到的距离为5， ∵点是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 3．C 根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可． 解：点是三条角平分线的交点， 和和的高相等， 的面积记为，的面积记为，的面积记为， ，， 由的三边关系得：， ， 故选：C． 4．C 由，，根据三角形外角的性质得出，再根据平分得出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后在中求出的度数． 解：是的外角， ， ，， ． 平分， ， 是的外角， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．D 根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）．    故选D 6．C 本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④． 解：∵， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④，共3个． 故选：C． 7．C 如图，先根据SAS判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5＝∠BCA，∠4＝∠BDA，然后可得∠1+∠5与∠2+∠4的值，进一步即可求出答案． 解：如图，在△ABC和△AEF中， ∵AB=AE，∠B=∠E，BC=EF， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5＝∠BCA， ∴∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°， 在△ABD和△AEH中， ∵AB=AE，∠B=∠E，BD=EH， ∴△ABD≌△AEH（SAS）， ∴∠4＝∠BDA， ∴∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°， ∵∠3＝45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝90°+90°+45°＝225°． 故选：C． 8．C 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形外角的性质得到，，继而得到，即可得到答案． 解：如图， ，， ， 故选：C． 9．D 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定. 由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，故①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，故②正确； 作于，于，如图所示， 则， ， ， 平分，故④正确； 假设平分，则， 在与中， ， ， ， ， ， 而，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④． 故选：D． 10．C 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 11．/70度 解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 12．21 解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分和，于D，且， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 故答案为：． 13．6 本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再同理得到，，最后根据得到 ，，据此列方程求解即可． 解：连接， ∵的平分线交于点， ∴平分，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 14．/68度 本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．延长，交于点，先根据角平分线的定义可得，，再设，，则，，根据三角形的外角性质可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 解：如图，延长，交于点， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， 由三角形的外角性质得：， 即， 由①②得：，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15．/度 此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，掌握以上知识是解题的关键．根据，分别为的内、外角平分线分别设，，再根据，分别为的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可． 解：，分别为的内、外角平分线， ，， 设，， ，， 又，分别为的内，外角平分线， ，， ，， 又， ， 又， ， ， 故答案为：． 16．10 先求出，由，得到，又由   ，得到，由，得到 ，在中，由勾股定理即可得到答案． 如图所示， 由题意得，，， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∵， ∴，   又∵， ∴，    ∵， ∴， ∵，     ∴， 在中，． 故答案为：10 本题主要考查的是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 17． 本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18．(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2)10 （1）证明，得到，得到，即可得证； （2）根据，得到，即可求解． （1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴． 本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键． 19．(1) 证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； (2) 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． （1）略 （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2) 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． (3) （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． （1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 21．(1) (2) 本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． （1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， （2）， ， 、是角平分线， ， ． 22． （1）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE， ∵∠DCE=∠B+∠E， ∴∠ACE=∠B+∠E， ∵∠BAC=∠ACE+∠E， ∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E． （2）80° （1）利用三角形的外角的性质即可解决问题． （2）设∠CAF=α，则∠ACE=∠DCE=2α、∠ACF=90°-α，由∠ACF+∠ACE+∠DCE=180°可得α=30°，据此知∠ACE=60°=∠B+∠E，根据∠B=2∠E求得∠B、∠E，继而可得答案． 解：（1）略 （2）设∠CAF=α，则∠ACE=∠DCE=2α， ∵AF⊥BC， ∴∠AFC=90°， ∴∠ACF=90°-α， ∵∠ACF+∠ACE+∠DCE=180°， ∴90°-α+2α+2α=180°， 解得：α=30°， ∴∠ACE=60°=∠B+∠E， 又∵∠B=2∠E， ∴∠B=40°、∠E=20°， ∴∠BAC=∠B+2∠E=80°． 本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型． 23．(1) (2)，理由见解析 (3)或 （1）根据，，四边形的内角和为，即可表示出∠1，∠2和∠3之间的关系； （2）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （3）画出符合条件的图形，根据图形和（2）的结论解答即可． （1）解：∵，， ∴， 即； 故答案为：． （2）结论：，理由如下： 如图（2）所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴． （3）如图①， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图②， 由外角的性质得： ，， ∵∠5＝∠4， ∴， 即． 综上所述，或． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用定理进行计算是解题的关键． 24．(1) (2) ①证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴与是“双赢三角形”； ②； ③ 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，熟练掌握相关的知识和方法并读懂新定义概念是解题的关键． （1）利用新定义可得，根据等边对等角求解； （2）①根据证明可得，据此证明即可； ②由得，再利用线段和差求解即可； ③根据等腰三角形的性质，结合外角性质求，再利用等腰三角形的性质求，最后利用角的和差求解即可． （1）∵和是“双赢三角形”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②由①得， ∴， 又∵， ∴； ③由①得， ∴， ∵， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， ∴． 25．(1)33°；(2) ． (1)根据角平分线可以得到∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB，利用三角形的外角和公式，得出等式结合题目给出的已知条件即可求解； (2)利用三角形的外角和性质找出题目中隐含的等量关系，从而得出∠P和∠D、∠B之间存在的数量关系． 解：(1)∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线 ∴∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB ∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP ∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP ∴2∠P=∠B+∠D ∵∠B=28°，∠D=38° ∴∠P=33° (2) ∠P= ∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP ∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P ∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB ∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D ∵， ∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP） ∴∠B-∠D=3(∠P-∠D) ∵， ∴∠P= 本题主要考查的是三角形的外角和性质，正确的利用三角形的外角和性质，找出题目中隐含的等量关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $