八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第13章 三角形～第14章 全等三角形）

**基本信息** 八年级数学人教版培优卷，聚焦三角形与全等三角形，精选多地区期末真题，通过折叠、角平分线等情境设计，考查几何直观与推理能力，适配月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系（题2）、全等判定（题3）|基础概念与图形辨析结合| |填空题|6/18|全等应用（题11 SSS证角平分线）、面积计算（题12中点性质）|实操情境与几何性质融合| |解答题|9/72|探究证明（题17等边三角形性质）、综合应用（题25课本改编模型拓展）|梯度设计，考查推理与创新意识|

八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第13章 三角形~第14章 全等三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 4．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 5．（25-26七年级下·江西吉安·期末）一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知中，，，H是高和的交点，，则的面积为（    ） A．13 B．15 C．26 D．28 7．（25-26八年级下·重庆南岸·开学考试）如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，三条内角平分线交于点D，CE⊥BD交BD的延长线于E，则∠DCE=(   ) A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·河南周口·期末）在中，，则最长边上的高与中线的夹角为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 12．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 13．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 15．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 16．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 18．（6分）（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 19．（6分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 20．（8分）（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求的度数． (2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 21．（8分）（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 22．（9分）（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 23．（9分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 24．（10分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 25．（10分）（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 4．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 5．（25-26七年级下·江西吉安·期末）一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 6．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知中，，，H是高和的交点，，则的面积为（    ） A．13 B．15 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，准确分析证明是解题的关键． 根据已知条件证明，得到，再根据三角形面积计算即可； 【详解】解：是边上的高， ， ， ， 是边上的高， ， 在中，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选． 7．（25-26八年级下·重庆南岸·开学考试）如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线的定义，利用角平分线性质和外角性质推导角之间的数量关系即可． 【详解】解：的平分线与外角的平分线交于点， ，， 是的外角， ，即， 又是的外角， ， ， ，即， ． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，三条内角平分线交于点D，CE⊥BD交BD的延长线于E，则∠DCE=(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出与的关系． 【详解】由题意知， 由三角形内角和定理得，    ∵点是三条内角平分线的交点 ∴ ∴ 故答案选A. 【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质． 9．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出，再利用SAS证明，得出，最后利用三角形外角的性质求出即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 则． 10．（25-26七年级下·河南周口·期末）在中，，则最长边上的高与中线的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，设是边上的中线，是边上的高，延长到，使，连接，先根据三角形内角和定理求出三个内角的度数，利用证明，得出，，可得，即可证明，得出，，根据三角形高的定义及三角形内角和定理得出，进而求出的度数即可得出答案． 【详解】解：设，，，设是边上的中线，是边上的高，延长到，使，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∵是边上的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴中线与高的夹角． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 12．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 13．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，此时即为边上的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据“垂线段最短”可知，当点与点重合时，线段的长度最小，最小值为的长， ，， ， ，解得 线段的最小长度为． 15．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用证明三角形的全等，得到，，，根据等面积法，即可求解的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 代入， 得． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1) 解：， 理由如下： 是等边三角形， ，， 在与中，， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． (1)由等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； (2)由全等三角形的性质可得，可得，利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由(1)知， ， ， 即， ． 即． 18．（6分）（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【答案】(1) 如图，为所求． (2) 如图，为所求． (3) 【分析】本题考查作图，三角形的中线和高，三角形的面积，全等三角形的判定及性质． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）取格点M，N，连接，交于点E，则E为的中点，根据三角形的中线的定义画图即可； （3）由三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴是中边上的中线，即为所求． （3）解：由图可得，， ∴， ∵是中线， ∴． 故答案为：． 19．（6分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据直角三角形的锐角互余得出，根据三角形的角平分线的定义得出，进而根据三角形外角得出； （2）根据三角形的中线的定义得出，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为3． 20．（8分）（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求的度数． (2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：的长为定值，理由如下： 在的延长线上取点H，使得， ∵在正方形中，，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）有， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长等于正方形的边长，为定值． 【分析】（1）根据正方形得到，再根据角平分线的定义求解即可； （2）在的延长线上取点H，使得，则，得到，证明，得到，从而，再证明，即可得出，因此的长等于正方形的边长，为定值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． （2）略 21．（8分）（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．（9分）（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）略 （2）略 23．（9分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 24．（10分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 【答案】(1) (2)证明：在中，，， ， 由翻折可得，， ， ， ， ， ． (3)的度数为，或 【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求解； （2）根据翻折可得，再利用垂直可得，即可证明； （3）分类讨论，当时、时，当时，结合三角形的内角和和外角的性质解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵沿翻折后得到， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图1， 当时， ∴， ∴， ∴； 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为、或． 25．（10分）（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1），9； （2）； （3），证明如下： 如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质得，，则，进而得到，则有，再利用线段的和差即可求出的长； （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差即可求出的长； （3）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：，9； （2）如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $