第三十四章 随机事件的概率培优提升专题 2026-2027学年人教版九年级数学下册

**基本信息** 以“概念理解-方法应用-综合拓展”为主线，系统整合随机事件概率的核心方法，通过分层专题训练培养数据观念与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件与概率|7题（含赵爽弦图）|事件类型判断、几何概型计算|从事件定义到概率意义，结合图形直观理解| |列举法求概率|3题（含坐标系、游戏公平性）|列表法、树状图法|通过具体情境掌握等可能事件概率计算| |频率估计概率|2题（含试验数据、面积估计）|频率稳定值估计概率|体现频率与概率的辩证关系，培养数据分析能力| |教材难题生长题|1例+3变式|串联/并联电路概率模型|从教材母题拓展，强化跨学科推理能力| |全国视野特训|4题（含文化、环保调查）|统计与概率综合应用|结合实际问题提升数据观念与应用意识|

第三十四章 随机事件的概率 培优提升专题1：随机事件与概率 1.(2026 郑州模拟)如图，三位同学站在以足球门AB为弦的圆上踢足球，点P₁，P₂，P₃都在圆上，小明站在P₁点，小强站在 P₂点，小宁站在P₃点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是( ) A.小明踢进足球的可能性最大 B.小强踢进足球的可能性最大 C.小宁踢进足球的可能性最大 D.三位同学踢进足球的可能性一样大 2.(2026 菏泽模拟)如图,在扇形AOB 中,∠AOB=90°,点C 是AO 的中点.过点 C 作CE⊥AO 交AB于点 E,过点E作ED⊥OB，垂足为点 D.在扇形内随机选取一点P，则点 P 落在阴影部分的概率是( ) C. B. A. D. 3.(2026肇庆期末)某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动转盘一次，并根据所转结果结账.其中不打折的概率为 . 4.从小颖、小叶等4名初一学生和6名初二学生中选出6名学生参加区演讲比赛，规定初二学生选n名. (1)当n为何值时，小颖当选是必然事件? (2)当n为何值时，小叶当选是不可能事件? (3)当n为何值时，小颖当选是随机事件? 5.已知不等式组： (1)求满足此不等式组的所有整数解； (2)从此不等式组的所有整数解中任取一个数，是偶数的概率是多少? 6.一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与. (1)若小明获得 1 次抽奖机会，小明中奖是 事件；(填“随机”“必然”或“不可能”) (2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量. 7.(2026 沧州模拟)如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.现分别连接大、小正方形的四组顶点得到如图2的“风车”图案(阴影部分).若图1中的四个直角三角形的较长直角边长为9，较短直角边长为5，现随机向图2 的大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 . 培优提升专题2：用列举法求概率 1.(2025 东莞模拟)一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字-2，-1，0，1，它们除了数字外，别无不同. (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ； (2)小聪随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标；然后放回搅匀，接着小明再随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标.已知四边形ABCD的四个顶点的坐标如图所示，请用画树状图或列表的方法，求点 M 落在四边形ABCD 所围成的区域内(含边界)的概率. 2.(2026珠海一模)近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解.根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图.请结合统计图，回答下列问题. (1) 本次参与调查的学生共有 人，n= ； (2) 根据调查结果，学校准备开展 扫码批改+错题本关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加.现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加.请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平? 3.(2026 武威一模)如图1 是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成了4份，每份分别标上1，2，3，2.游戏规则如下：自由转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字(如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数字为止)，数字代表边数，数字是几，甲同学就从图2的A处开始按顺时针方向跑几个边，第二次跑圈从第一次跑圈结束时的位置开始，按照规则继续进行. (1)若转一次转盘，求从顶点A 跑到顶点 C 的概率；(2)若转两次转盘，用列表法或画树状图的方法求两次跑完恰好回到A 处的概率. 培优提升专题3：用频率估计概率 1.一只不透明的袋子中装有4个球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个球上数字之和.记录后都将球放回袋中搅匀，进行重复试验.试验数据如下表： 摸球 总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 1 9 14 24 26 37 58 82 109 150 “和为7”出现的频率 0.10 0.45 0.47 0.40 0.29 0.31 0.32 0.34 (1)完成上表； (2)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率； (3)根据(2),若x是不等于2,3,4的自然数,试求x的值. 2.(2026江苏月考)综合与实践. 操作与统计： 如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆； ②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 小石子落在圆内(含圆上)的次数m 20 62 123 206 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数n 30 88 177 294 .. m:n 0.667 0.705 0.695 0.701 分析与计算： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近 (结果精确到0.1); (2)若以小石子所落的有效区域为总数(即m+n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到0.1)； (3)请你利用(2)中所得的频率值，估计整个封闭图形ABCD 的面积是多少平方米(结果保留π)? 培优提升专题4：教材难题生长题 近几年广东中考省卷中，较多解答题是由教材的课后难题演变过来的，因此，我们在平时的中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在培优作业本每章设置专题，精选人教版教材中的难题，并进行解析拓展，帮助学生更好地掌握和提升思维. 教材难题 【例1】(人教9下P128拓广探索)(数据观念、应用意识、思维能力)(跨学科融合)已知开关有通和断两种状态，每个开关通的概率为0.5.在如图所示的两个电路图中，灯亮的概率分别为多少? 解题思路：每个开关有通和断两种状态，并且这两种状态的可能性相等.在串联电路中，只要有一个开关断，灯就不亮；在并联电路中，只要有一个开关通，灯就亮. 难题生长 1.(跨学科融合)已知开关有通和断两种状态，每个开关通的概率为0.5. (1)如图1所示的电路图中，将3个开关串联，求灯亮的概率； (2)如图2所示的电路图中，将3个开关并联，求灯亮的概率； (3)如图3所示的电路图中，当随机闭合S₁，S₂，S₃，S₄中的两个开关时，求灯泡不亮的概率. 培优提升专题5：全国视野培优特训 1.(2026中山模拟)“爱你老己”是流行的网络热词，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默.九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”“你”“老”“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上. (1)小明随机在四张卡片中抽取一张，则小明抽取到写有“爱”字卡片的概率为 ； (2)小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，计算能凑成“老已”这个词的概率. 2.(2026 日照模拟)综合与实践. 某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动. A小组在甲、乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量x(m³)分为5组,第一组:5≤x<7,第二组:7≤x<9,第三组:9≤x<11,第四组:11≤x<13，第五组：13≤x<15，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： 甲小区3月份用水量频数分布表 用水量(x/m³) 频数(户) 5≤x<7 4 7≤x<9 9 9≤x<11 10 11≤x<13 5 13≤x<15 2 信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数 9.0 9.1 中位数 9.2 a 信息三：乙小区3月份用水量在第 扫码批改+错题本三组的数据为： 9,9.2,9.4,9.5,9.6,9.7,10,10.3,10.4,10.6. 根据以上信息，回答下列问题： (1)a= ; (2)在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b₁，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b₂，比较b₁，b₂大小，并说明理由； (3)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13 m³的总户数； (4)因任务安排，需在 B 小组和 C 小组分别随机抽取1名同学加入A 小组，已知B 小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率. 3.(2026海南模拟)希望中学做了如下表的调查报告(不完整)： 调查目的 了解本校学生：(1)每周家务劳动的时间；(2)最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生(该校所有学生每周家务劳动时间都在1 ~3.5h范围内) 调查内容 (1)你的每周家务劳动的时间(单位：h)是 ①1~1.5 ②1.5 ~2 ③2 ~2.5 ④2.5 ~3 ⑤3 ~3.5 (2)你最喜欢的劳动课程是(必选且只选一门) A.家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E.陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的学生人数为 ；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 °; (2)补全每周家务劳动时间的频数分布直方图； (3)若该校七年级学生共有800 人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； (4)小红和小颖分别从这五门劳动课程中任选一门学习，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率. 4.(2026 青岛模拟)小明和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，其中一个转盘转到红色，另一个转盘转到蓝色，即可配成紫色.两人商定，若能配成紫色，小明胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗?请说明理由. 第三十四章 随机事件的概率 培优提升专题1：随机事件与概率 1. D 2. B 4.(1)n=2 (2)n=6 (3)n=3,4,5 5.解:(1)解不等式组得2≤x≤4, 所以满足条件的整数解为2，3，4. (2)P(任取一个数是偶数)= 6.解:(1)随机 (2)获得三等奖的概率为 (个)，故估算袋中白球的数量为6个. 培优提升专题2：用列举法求概率 1.解:(1) (2)列表如下： -2 -1 0 1 -2 (-2,-2) (-1,-2) (0,-2) (1,-2) -1 (-2,-1) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) 0 (-2,0) (-1,0) (0,0) (1,0) 1 (-2,1) (-1,1) (0,1) (1,1) 由表知，共有16种等可能结果，其中点M 落在四边形ABCD所围成的区域内(含边界)的有： (-2,0),(-1,-1),(-1,0),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0),共8个, 所以点M落在四边形ABCD所围成的区域内(含边界)的概率为 2.解:(1)400 45 (2)根据题意画出树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴和为奇数的概率 和为偶数的概率 ∴此游戏规则不公平. 3.解：(1)从顶点A 跑到顶点 C的概率为 (2)列表如下： 和 1 2 2 3 1 2 3 3 4 2 3 4 4 5 2 3 4 4 5 3 4 5 5 6 由上表可知，所有等可能情况共16种，其中和为4的有6种，∴两次跑完恰好回到A处的概率为 培优提升专题3：用频率估计概率 1.解:(1)0.33 0.33 (2)出现“和为7”的概率约是0.33. (3)列表如下，一共有12种等可能的结果. 和 2 3 4 x 2 5 6 2+x 3 5 7 3+x 4 6 7 4+x x x+2 x+3 x+4 由(2)知,出现“和为7”的概率约为0.33, ∴“和为7”出现的次数为0.33×12=3.96≈4. 若2+x=7,则x=5,此时P(和为7) 与题意相符； 若3+x=7,则x=4,与题意不符; 若4+x=7,则x=3,与题意不符.∴x=5. 2.解:(1)0.7 (2)0.4 (3)设封闭图形的面积是a平方米，S圆=π·2²=4π((平方米)，根据题意得 解得a=10π. 答：估计整个封闭图形ABCD 的面积约是10π平方米. 培优提升专题4：教材难题生长题 【例1】解：根据题意画树状图如下： (1)中两个开关都通时，电流才能正常通过，故灯亮的概率为 (2)中两个开关至少有一个通时，电流就能通过，故灯亮的概率为 1.解：(1)根据题意画树状图如下： 故灯亮的概率为 (2)根据(1)中的树状图可知，灯亮的概率为 (3)分别用1,2,3,4表示S₁,S₂,S₃,S₄,画树状图如下: ·共有12种等可能的结果，能够让灯泡不亮的有2种结果， ∴灯泡不亮的概率为 培优提升专题5：全国视野培优特训 1.解:(1) (2)根据题意，列出表格，如下： 爱 你 老 己 爱 ———— 你、爱 老、爱 己、爱 你 爱、你 ———— 老、你 己、你 老 爱、老 你、老 ———— 己、老 己 爱、己 你、己 老、己 ————— 共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种，..能凑成“老己”这个词的概率为 2.解:(1)9.1 (2) 理由如下： ∵甲小区平均用水量为9.0m³，低于平均用水量的户数为13户 ∵乙小区平均用水量为9.1m³，低于平均用水量的户数为15户 户), ∴两个小区3月份用水量不低于13 m³的总户数约为90户. (4)根据题意列表如下： 男 男 男 女 男 (男,男) (男,男) (男,男) (女,男) 男 (男,男) (男,男) (男,男) (女,男) 女 (男,女) (男,女) (男,女) (女,女) 女 (男,女) (男,女) (男,女) (女,女) 共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种， 抽取的两名同学都是男生的概率是 3.解:(1)100 126 (2)每周家务劳动时间是③2~2.5 的人数为100-10-20-35-10=25(人). 补全每周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示. 每周家务劳动时间频数分布直方图 ∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生约为176人. (4)列表如下： A B C D E A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) (B,E) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) (C,E) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) (D,E) E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) (E,E) 共有25种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有5种， ..两人恰好选到同一门课程的概率为 4.解：不公平，理由如下： 将A盘中的蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中的红色部分记为红1、红2, 画树状图如下： 由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果， ∴小明获胜的概率为 ，小丽获胜的概率为 :这个游戏对双方不公平. 1 学科网（北京）股份有限公司 $