26 素养提升专题 类比反比例函数探究新函数&26.2 实际问题与反比例函数-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

素养提升专题类比反比例函数探究新函数 1.(1)x≠1(2)-21.5解：(3)画图如图所示；(4)由 图象可知，当x<1时，y随x的增大而减小（答案不唯 一).2.解：画图略【探究发现】(1)1(2)B【应用延 伸】1)向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 (2)(2,-1) 26.2实际问题与反比例函数 第1课时反比例函数在日常生活中的应用 知识储备 1.s- t 基础练 1.A2.C3.y=104.1205.(1y=12四0>2解：2)由1)知y=12四，当y=24 x 时，x=5,对于函数y=120,当x>0时，x越大y越小，当x取最大值5时，y有最小值 x 24.x应控制的范围为2<≤5.6.(1)4080解：(2)由(1)知1=40，当U=60时，1 一品-号对于函数1-碧当>0时1随口的增大面减小当。取最大值60时1 有最小值子汽车通过该路段至少需要号k.7.解：1)设当20≤≤45时，反比例函 数的解析式为)=冬将C(20,45)代人得：45=务解得k=90,当20<<45时y与立 之间的函数关系式为y=90.设当0≤x<10时，直线AB的解析式为y=mx十，将A 5 （0,20),B10.45)代人得：45=10m+ ∫20=n, 解得m=2·:当0<1<10时y与r之间的 (n=20, 函数关系式是y=号x十20：(2)8（3)当≥36时，号x+20≥36解得≥6号.由 科反比例函数的解新式为y一”当y一36时，=5，对于函数y一四当>0时y随 x x的增大而减小，∴.当x取最大值25时，y有最小值36..20x25时，y≥36..25一6 号-18产>1.∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指 标都不低于36. 第2课时反比例函数在物理学中的应用 知识储备 1动力动力臂2号35发号 基础练 1.B 2.D)3.R 4.0.55.解：1)设h关于p的函数解析式为h=,把p=1,h= 20代人解析式，得及=1X20=20,∴h关于p的函数解析式为h=20;(2)把h=25代入h -9得25-9解得6=0.品答：该液体的密度p为0.81cm,6.C1C8解： (1)设重物的质量为G,秤砣的质量为x,重物的受力点到支点的距离为.：G,l为定值， xy=G,且>y,·x1<x2.故图①中的秤砣较轻；(2)反比例函数；(3)符合反比例函数 y-G(x>0)“在第一象限内，y随x的增大而减小“的性质.9.解：1)当10≤1≤30时， x 设R=女，把(10.6)代人，得A=10X6=60R-2当1=30时，R-8-2气温为 30℃时，电阻为2k0.由题意可知，温度每上升1℃，电阻增加号kn当>30时，R= 2+言1一30)=1一6.∴R与1的函数关系式为R= 4 60(10≤≤30) (2)当R=4时， -6>30 号-6=4，解得1=37.5,4-0解得1=15.由图象可知，当15℃<1<31.5℃时，发 -154 热材料的电阻不会超过4k2 综合与实践（一）利用杠杆平衡的条件测量空矿泉水瓶的质量 活动1：解：1)描点，连线略：(2)设y与x之间的函数关系式是y=冬，把(10,30)代入， 解得k=30.所以y-309将其余各点分别代人y-309验证均适合y与x的两数关 系式为y=3Q0:(3)12.5cm(4)根据反比例函数的增减性，当x变小时y变大，放当托 盘B与点O的距离不断减小时，即x变小，此时y变大，∴应往托盘B中添加砝码. 活动2：解：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如下图： P B 方案：（答案不唯一）滑动点P至点B,空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等 量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡.设第一次加入水的质量为a(g),空 矿泉水瓶的质量为b(g).第一次称量时，x=OB=40,y=a十b,根据杠杆原理列出方程：40 (a十b)=1200.第二次称量时，x=OC十PC=12十12=24，y=2a十b,根据杠杆原理列出 40(a+b)=1200 方程：24(2a+b)=1200.可得方程组{ 组22a+b0=1200解得220冬 .答：空矿泉水瓶 的质量为10g. 第二十六章核心素养与跨学科融合专练 D2.2003.204.(1)p三。00.2解：(2)这种摆放方式不安全，理由如下由 可知S=0.1X0.2=0.02(m).:将长方体放置于该水平玻璃桌面上，p=。02=500Pa >2000Pa.∴.这种摆放方式不安全. 第二十六章大单元整合与素养提升 1.③⑥02.D3.B4.B51答案不唯-)677.A8A9.-10.1)y x y=x+2(2)x<-3或0<x<1解：(3)在直线y=x十2中，令y=0,则x=-2, C(-20).5-6.rwr+CP(y-y)=CP.(3+1)- 6..PC=3.P在x轴上，C(-2,0),∴.P(-5,0)或(1,0).11.412.y>2或y<0 13.5或2√5或√1014.A15.(1)34解：(2)描点略，电流I随可变电阻R的增大 而减小；(3)根据题意，设可变电阻R与人的质量的函数关系为R=km十b(k≠0)，且该 (b=260 直线过(0,260)，(130,0)，. 4十b0解符{26可变电阻R与人的质量m的 函数关系为：R=一2m十260(0≤m≤130)，∴.可变电阻R随人的质量m增大而减小，当1 U12 =0时，R=260.1=R。十R2+260≈0.01(A).当m=130时，R=0,1=R,十R=之 =6(A.6>0.2m不能超过130(kg.当1=0.2(A)时，0.2=2R解得R=58. 58=-2m十+260，解得，m=101.∴.电子体重秤可称的最大质量为101千克. 第二十七章相似 27.1图形的相似 知识储备 1.相同2.相等3.相同相等比例相似比 基础练 1.B2.B3.(1)D(2)64.6005.5020502202=是6.D7.2:1 4.58,解：“四边形ABCD和四边形A'B'CD'相似它们对应边的比相等.8 音-=器x=12y=6义：对应角相等，∠B=∠B =65°，∠D'=360°-∠A'-∠B-∠C=360°-120° 65°-50°=125°，.x=12,y=6,a=125°.9.√2cm或2 厄cm或号m10.B11.135°12.4反13.解：如图所示.14.)解：AD=2.BD -155素养提升专题类比 1.【新课标·过程性学习】探究函数图象与性质 时，勇毅班同学根据学习函数的经验，对函数 y一，二的图象与性质进行了探究，下面是勒 奋小组同学记录的探究过程，请你补充完整. (1D函数y=,的自变量x的取值范围是 (2)列出y与x的对应值，请直接写出a,b的 值：a= ,b= ； 4 3 -1 0 2 3 4 3 1 y 6 3 2 3 (3)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中 各对对应值，并画出图象； (4)请写出函数y=x 一的一条性质. 天比例函数探完新函数 2.(2024·宁夏)在同一平面直角坐标系中，函 数y=2x十1的图象可以由函数y=2x的图 象平移得到.依此想法，数学小组对反比例函 数图象的平移进行探究 【动手操作】 列表： -5 2 234 5 2 2 -1-2 2 1 212 325 描点连线：在已画出函数y=2的图象的坐标 系中面出函数y=,千的图象。 -10 【探究发现】 (1)将反比例函数y=2的图象向左平移 个单位长度得到函数y= 7的图象 2 (2)上述探究方法运用的数学思想是 A.整体思想 B.类比思想 C.分类讨论思想 【应用延伸】 (1)将反比例函数y=一 的图象先 得到函数y=一 x-2 一1的图象； 1 (2)函数y=一 x-2 一1图象的对称中心的 坐标为 助学助教优质高敦 12 26.2实际问题与反比例函数 第1课时反比例函数在日常生活中的应用 ++++0知识储备出 知识点二反比例函数的实际应用 1.若圆柱的体积是V,则它的底面积S与其高度h 3.验光师测得的一组关于近视眼镜的度数y与 的关系式是 镜片的焦距x的数据如下表： + 2.工作总量W一定，则工作效率与工作时间t y/度 100 200 400 500 的关系式是 x/m 1.00 0.50 0.25 0.20 A基础练 则y关于x的函数解析式是 必备知识梳理·一 4.【教材P13例2变式】码头 V 知识点一 实际问题中的反比例函数的图象 工人往一艘轮船上装载货 400 1.【新情境·居民生活】为打赢“蓝天 物，装完货物所需的时间 01.5 保卫战”，某市为保障清洁取暖，实 y(min)与装载速度x(t/min)之间的函数关 行“煤改气”.如图，该市煤气公司计 系如图（双曲线y一冬的一支）.如果以5t/mim 划在地下修建一个容积为10m3的圆柱形煤 的速度卸货，那么卸完货物需要 min. 气储存室，则储存室的底面积S(m)与其深 5.某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时 度d(m)的函数图象大致是 消耗2吨，可用60小时.由于技术革新，实际 S/m ↑S/m 个S/m +S/m 生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量 大于计划消耗的原料量.设现在每小时消耗 d/m d/m o d/m d/m 原料x(单位：吨)，库存的原料可使用的时间 B C D 为y(单位：小时). 易错点○因忽视自变量的取值范围致错 (1)y关于x的函数解析式是 自变量x的取值范围是 2.某学校要种植一块面积为100m的长方形 (2)若恰好经过24小时才有新的原料进厂， 草坪，要求两边长均不小于5m,则草坪的一 为了使机器不停止运转，则x应控制在什 边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变 么范围内？ 化而变化的图象可能是 05201 05 D 【点拨】根据长方形的面积公式得xy=100,变形求 出y与x之间的函数关系式，再结合已知条件x≥ 5,y≥5，求出x的取值范围确定答案. 13 九年级数学·下册 B综合练 关键能力提升一 6.【教材P15练习T2变式】一辆汽车匀速通过 某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h) 满足函数关系：t= ,其图象为如图所示的一 段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5). (1)k= ,m= (2)若行驶速度不得超过60km/h,则汽车通 过该路段最少需要多少时间？ t/h 0. 40 m v/(km/h) C素养练 学科素养培育一 7.【一日一优】【新情境·高效学习】 心理学家研究发现：初中生在数学 课上听课注意力指标随上课时间 的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增， 中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随 后开始分散.学生注意力指标y随时间x(分 钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10 和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45 时，图象是反比例函数的一部分. (1)求0≤x<10和20≤x≤45时，y与x之 间的函数关系式； (2)开始上课后第8分钟与第30分钟时相比 较，第 分钟时学生的注意力更集中； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题 需要17分钟，他能否经过适当的安排，使 学生在听这道综合题的讲解时，注意力指 标都不低于36？请说明理由. y(指标) 20 O1020 45x(分钟) 解题四招 应用反比例函数解决实际问题时，先根据表 中数值的变化规律或图象判断函数的模型，再求 解析式，然后利用函数的性质解题，此外应注意自 变量的取值范围一般有两方面的限制：一是解析 式本身的限制；二是实际问题的具体要求.如T3 和T7. 助学助教优质高敦 14 第2课时 反比例函 础知识储备砂 1.杠杆原理：阻力×阻力臂= 2.电压U一定时，电阻R是电流I的反比例函 数，即R= 3.压力F一定时，压强p是受力面积S的反比例 函数，即p 4,用电器的输出功率P、两端电压U及电阻R的 关系是P= 或R A基础练 必备知识梳理一 知识点反比例函数在物理学中的应用 1.【新课标·跨物理学科】阿基米德说：“给我一 个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟 地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理， 即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若某杠 杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m, 则它的动力F和动力臂L之间的函数图象 大致是 O L/m L/m L/m B 2.(2024·河北模拟)一个用电器的电阻R、电 功率P与它两端的电压U之间的关系式为 P一尺，当用电器电阻为4欧姆，消耗的电功 率为36瓦时，它两端的电压为 A.144伏特 B.72伏特 C.24伏特 D.12伏特 3.在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员 发现光敏电阻的阻值R(单位：2)与光照度E (单位：1x)之间成反比例函数关系，部分数据 如下表所示： 光照度E/1x 0.51 1.52 2.5 光敏电阻阻值R/Ω6030 2015 12 10 则光敏电阻阻值R与光照度E之间的函数 解析式为 15 九年级数学·下册 数在物理学中的应用 4.在对物体做功一定的情况 ↑F(牛) 下，力F(牛)与此物体在力 P(5,1) 的方向上移动的距离s(米) 成反比例函数关系，如图所 5s(米) 示，点P(5,1)在图象上，则当力为10牛时， 物体在力的方向上移动的距离是 米. 5.（中考·台州)科学课上，同学用自制密度计测 量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中 时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的 密度o(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计 悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm. (1)求h关于p的函数解析式； (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h= 25cm,求该液体的密度o. 易错点○因不能正确理解题意致错 6.【教材PI7“阅读与思考”变式】↑p/kPa 当温度不变时，某气球内的气 60A 压p(单位：kPa)与气球体积V (单位：m3)的函数关系如图所 01.6 V/m 示，已知当气球内的气压p大于120kPa时， 气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积V应 ( A.不大于号m B.大于青m C不小于专m D.小于等m 【点拨】由图象可求出气压p与气球体积V之间的 函数解祈式足力=，再求出D=120时V的位，然 后根据V>0时，p随V的增大而减小解答. B综合练 魔关健能力提升一 7.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电 流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函 数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的 是 () A函数解析式为1是 l/At 9 B.蓄电池的电压是18V C.当I≤10A时，R≥3.62 04 R/2 D.当R=3.62时，I=4A 8.【新情境·诚信服务】要求取消市场上使用杆 秤的呼声越来越高.原因在于一些不法商贩 在卖货时将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使 秤砣较轻，从而欺骗顾客 (1)如图，对于同一物体，哪个图用了较轻的 秤砣？ +V+ 图① 图② (2)在称同一物体时，秤砣到支点的距离y 与所用秤砣质量x之间满足 关系； (3)当秤砣较轻时，称得的物体变重，这正好 符合哪个函数的哪些性质？ C素养练 》学科素茅路方一 9.【一日一优】【新情境·居民生活】夏季蚊子比 较活跃，家用电灭蚊器的需求量大大增加.家 用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材 料，它的电阻R(k2)随温度t(℃)（在一定范 围内)变化的大致图象如图所示.通电后，发 热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的 过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度 达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻 随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增 加告kn. (1)求R和t之间的函数关系式； (2)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么 范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ？ ↑R(k2) 6 010 30 t(℃) 解题妙招 对于分段函数，要分清每一段函数对应的自 变量的取值范围，先观察函数图象，判断函数的模 型；再求其解析式.注意结合图象，从题意与图象 中找到相应点的坐标，特别是图象的起点、终点及 “拐点”坐标所表示的实际意义.“拐点”坐标是解 题的关键，如T9, 助学助教优质高效 16