28.1锐角三角函数课后培优提升 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.1锐角三角函数课后培优提升人教版2025一2026学年九年级下册 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=4,则c0sB=() A月 c.4 3 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,下列结论正确的是() A.sinB=A AB B.cosC=4D CD C.sinc=BC AB D.tanC= BD 如图，已知cosC一，则点4的坐标可能是人 A.(3,-4) B.(-3,4) C.(-3,5) D.(-4,3) 4.计算3tan60°的值为() A.3V5 B.√2 C.5 D. 3 5.如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A、B、C都在格点上，则 sinB的值为() A.v5 B.10 C.25 D.5 5 5 2 6.如图，在正方形网格中，点A,O,B,E均在格点（网格线的交点）上。 OO过点A,E且与AB交于点C,D是OO上的一点，则sin∠CDE=() A.5 5 B. C.2 D.5 7.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,垂足为点D,sinB= 3,则 tan ZACD =( D A.2 B号 c. 4 3 D. 8.如图，点H、G均在正方形ABCD的内部，连接AG、BG、CH、DH,延长BG交HC于 点E,连接HG,己知AB=15,AG=CH=12,，BG=DH=9,则cos∠HGE的值为() A.2 B.1 c. D. 2 2 二、填空题 9在脱角三角形5C中，若∠么∠B满Ew-习sm8-圆） =0,则∠C= 2 2 IO.如图，矩形ABCD中，点G、E分别在边BC,DC上，连接AG、EG、AE,将△ABG和 △ECG分别沿AG、EG折叠，使点B、C恰好落在AE上的同一个点，记为点F,若AB=4, BC=6,则sin∠DAE= 11.如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为 49,则sin acosa= I2.如图，点C在线段AB上，且5BC=2AC,分别以AC,BC为边在线段AB的同侧作正 方形ACDE,BCFG,连接EC,EG,那么tan ZCEG的值是一· D C B 三、解答题 13.计算： (1)2cos245°-sin60°cos30°-tan45° (2)3-π)°+4cos45°-V8 14.如图，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，AO=BO. (I)求证：四边形ABCD是矩形； (2)点E在BC边上，满足CE=CO,连接OE,若AB=6,BC=8,求BE的长及cos∠CEO的 值. 15.如图，(D是AC中B边上的商，点E是BC迈上一点，CE=BE,若CD=9, sinBAE= 3 (1)求AE的长； D (2)若AE=BE,求tanZACD的值. B 16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC边的中点，连接AE,过点E作 EF⊥AE交CD于点F,连接AF. (I)求证：△ABE∽△ECF. A (2)求∠DAF的正弦值. E 17.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，O为AC上一点，BC与⊙0相切于点E,连接AE, 经过点A、E的OO分别交AB、AC于点D、F. (I)求证：AE平分∠BAC; ②若CF=4,snC-,求AD的长 A D B E C 18.如图，在口ABCD中，∠B是锐角，AE⊥BC,垂足为E,对角线AC垂直平分线MN交 AD于点M,交AE的延长线于点N,交AC于点P.已知AD=8,CD=5. (I)在△ABE,△AEC,△APN中， ①写出与△AMN一定相似的三角形，并选一对说明理由： ②写出与△AMN不一定相似的三角形，如果它与△AMN相似，求出它们的相似比. (2)如果AE=EN,求∠B的正弦值. M 参考答案 一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6.A 7.A 8.A 二、填空题 9.75° 1o3 11. 60 169 三、解答题 13.【解】(1)解：2cos245°-sin60cos30°-tan45 =2× 5x51 222 =2x53-1 24 =1-3-1 4 (2)解：(3-π)°+4cos45°-√8 =1+4x5-22 2 =1+2W2-2√2 =1 14.【解】(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， .0A=0C,0B=0D, 0A=0B, .0A=0C=0B=0D, .AC=BD, :平行四边形ABCD为矩形 (2)解：如图，过O点作OH⊥BC于H点， D EH :四边形ABCD为矩形， .∠ABC=90°， AC=VAB2+BC2=V62+82=10, :o0-号4c=5, :0B=0C,0H⊥BC, CH-BH =BC=4. 在Rta0CH中，0H=VOC2-CH2=V52-42=3, :CE=C0=5, .EH=CE-CH=5-4=1,BE=BC-CE=8-5=3, 在Rt△0EH中，0E=VOH2+EH2=V32+1P=√0， :cos∠HEO=EH=L-V10 0E√1010 即cos∠CE0的值为i0 10 15.【详解】(1)解：如图所示，过点E作EF⊥AB于点F, :CD是ABC的高， :CD⊥AB. ∴CD EF. △BCD∽△BEF. CE-BE :EF-BE-2即EF-2 …CDBC3 93’ 解得EF=6. :sin∠EAF=EF、3 AE 4' 63 AE 4 解得AE=8. (2)解：由(1)可得BE=AE=8,EF=6,EF⊥AB, .BF=VBE2-EF2=V82-6=27 :AE=BE,EF⊥AB, .AB=2BF=47. :EF∥CD,CE=BE, BF BE 2 BD BC 3 .:BD=37. :AD=AB-BD=4V万-3万=V万. ∴tan∠ACD= AD-万 CD9 16.【解】(1)解：在矩形ABCD中，∠B=∠C=90 EF⊥AE, .∠BAE+∠AEB=90°，∠FEC+∠AEB=90° :ZBAE ZFEC ∴.△ABE∽△ECF; (2)解：：△ABE∽△ECF, BA BE EC FC 而E是BC边的中点， :BE EC =3, 方C 4.3 .Fc=9 ·DF=4-9=7 44 、2 :由勾股定理得AF= 62+ 7 25 4 4 .sin∠DAF= DF 7 AF 25 17.【解】(1)证明：连接OE, :BC与⊙0相切于点E, OE⊥BC, ∠0EC=90°， M :∠B=90°， :OE∥AB, .∠BAE=∠OEA, B :0A=0E, ∠OAE=LOEA, ·LBAE=∠OAE, ·AE平分∠BAC; (2)解：连接DF, :AF是O0的直径， ∠ADF=90°， :∠B=90°， DF∥BC, :∠AFD=LC, A sin∠AFD=sin∠C=3 M :D3 AF=5 由(1)得L0EC=∠B=90°， B ∴sinC=OE=AB3 OC AC5' 设OE=x,则0C=x+4, ..-x_3 x+45 解得x=6, AF=2×6=12, ..AD3 125' 解得4D=36 5 18.【解】(1)解：①△AEC∽△MAN,理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, :AE⊥BC, .AE⊥AD, 又：MN⊥AC, .∠N+∠NMA=90°，∠N+∠CAE=90°， .∠NMA=∠CAE, .:∠AEC=∠MAN=90°， .△AEC∽aMAN, △APN∽△MAN,理由如下： ∠N+∠CAE=90°，LCAE+LACE=90°， .∠N=∠ACE, :∠NPA=LCEA=90°， .△APN∽△AEC; ②△ABE与△MAN不一定相似，当△ABE∽△NMA时， .△ABE∽△CAE, 是脂 AE2=CE·BE=BE·8-BE), 又：AE2=AB2-BE2, :AB2-BE2=BE(8-BE), AD=8,CD=5, 52-BE2=BE(8-BE), ·BE=2 25 539 8 :△ABE∽△CAE, .LB=∠CAE, :∠B+∠BAE=90°， .LBAE+LCAE=90°，即∠BAC=90°， AC=V82-52=39, Ap=39 :△ABE∽△NPA, 25 BEAB AP NA V39NA’ WM=439 5 .:△ABEn△NMA, 5V39 N4 25 32 5 当△BAE∽NMA时， .△BAEn△CAEn△NAP, .∠B=∠N=∠ACE, .AB=AC=5, BE9c=4 AE=V52-42=3, :MN垂直平分AC, :AP=4C= 5 2 :△BAE∽△NAP, 53 ABAE NA AP ,即NA5, WM=25 6 △BAE∽NMA, BE424 :NM2525, 6 △ABE与△MAN不一定相似，如果它与△AMN相似，相似比为25：32或24：25； (2)解：连接CN, .AE⊥BC,AE=EN, .AC=CN, :NM垂直平分AC, :AN=CN, .AC=CN=AN, .△ANC是等边三角形， :AE⊥BC, .∠ACE=30°， 设AE=x,则AC=2x, ∴CE=V3x, :BE=8-3x, 在RteABE中，x2+8-V5x}=52, 解得x=43±3 2 当4B=x-45+3时，BE=8-5x=8-5×4W5+3-2-35<0,不合题意， 2 2 2 当4B=45-3时，B=8-5=8-5×45-3=2+35>0, 2 2 2 4V5-3 sin∠B=4E=2_ 4W3-3. AB 5 10 M