第三十三章 投影与视图培优提升专题 2026-2027学年人教版数学九年级下册

**基本信息** 聚焦投影与视图核心考点，通过分层专题构建“基础应用-教材变式-跨域拓展”的方法体系，融合空间观念与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |投影与视图|5题（含综合实践）|中心投影用相似三角形建模，三视图画法与视图不变性分析，直三棱柱/圆锥表面积及最短路径展开法|从投影概念到视图绘制，再到几何体计算，形成“观察-建模-计算”逻辑链| |教材难题生长题|2题（母题+变式）|组合体（长方体+半圆柱）体积分解法，挖切几何体表面积差量计算|基于教材母题，通过变式强化“分解-组合”的空间几何思维| |全国视野培优特训|4题（含传统文化）|平面展开图还原几何体，无盖长方体参数表示与最值分析，相似测高情境建模，传统玉器几何性质应用|结合跨地域考法，拓展“实际问题-数学抽象-模型求解”的应用意识|

第三十三章 投影与视图 培优提升专题1：投影与视图 1. (2026青岛模拟)如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m,已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5m ,则路灯的高为 m. 2.如图1 是由9 个大小相同的小正方体组成的几何体. (1)在图2 和图3中分别画出如图1所示几何体的主视图和俯视图； (2)若从如图1 所示几何体中拿走 n 块小正方体后，左视图没有变化，则n的最大值是 . 3.如图是直三棱柱的主视图和左视图. (1)请补画出它的俯视图，并标出相关数据； (2)根据图中所标的数据(单位：cm)，计算这个几何体的全面积. 4.(2026 广州模拟改编)如图是一个几何体的三视图. (1)根据数据计算这个几何体的全面积为 ； (2)一只蚂蚁要从这个几何体中的点 B 出发沿表面爬到AC 的中点 D，请你求出这个线路的最短距离. 5.综合与实践. 小义利用一副扑克牌折叠出一个套环，如图1所示，环套的俯视图为边长6公分的正八边形，如图2所示. 请根据上述资料回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)图2 的正八边形的一个内角度数为多少? (2)已知有一个圆柱形花瓶其底面半径为8公分，假设不考虑花瓶与环套厚度，判断图1的套环是否能在不变形的前提下，套在此圆柱形花瓶侧面外围? (图3呈现45°-45°-90°的三角形与22.5°-67.5°-90°的三角形，当斜边为1 时的两组直角边长度的近似值，供作答时参考) 培优提升专题2：教材难题生长题 近几年广东中考省卷中，较多解答题是由教材的课后难题演变过来的，因此，我们在平时的 扫码批改+错题本练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在培优作业本每章设置专题，精选人教版教材中的难题，并进行解析拓展，帮助学生更好地掌握和提升思维. 教材难题 【例1】(人教9下P92 拓广探索)(运算能力、几何直观、空间观念)根据三视图，求它表示的几何体的体积. 解题思路：根据三视图可以得出此物体是一个长方体和半圆柱的组合体，进而利用圆柱体体积求法以及长方体体积求法得出答案即可. 难题生长 1.如图，根据三视图，求它表示的几何体的体积. 2.某几何体的三视图如图所示，主视图中半圆的半径为2，请求出该几何体的体积和表面积. 培优提升专题3：全国视野培优特训 1.(2026 陕西模拟)如图1 是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型. (1)这个几何体模型最确切的名称是 ； (2)如图2是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； (3)在(2)的条件下,已知h=20cm,求该几何体的表面积. 2.(2026 山东月考)综合与实践.如图1是一张长为20cm、宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为x cm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子(如图2)，请回答下列问题： (1)折成的无盖长方体盒子的长、宽及容积各为多少?(用含x的代数式表示即可，不需化简) (2)请写出下表中a，b值； x/ cm 1 2 3 4 5 180 a 252 192 b (3) 从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗?如果可能是正方形，求出x的值；如果不可能是正方形，请说明理由. 3.(2026 深圳模拟)项目式学习. 根据以下材料，完成探究任务. 主题 利用相似三角形测高 发现、 提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动.如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB 的高度是多少米? 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A 经窗户点C 处射进房间地面F 点时，测得OF=5m；②当阳光恰从围墙最高点A 经窗户点D 处射进地面 E 点时,测得 OE =0.8 m.此外,还测得窗高CD=1.5m ,窗户距地面的高度OD=1m . 解决问题 请利用上述数据，求出围墙 AB 的高度. 4.(传统文化)(2026 济南模拟)综合与实践. 两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到：玉璧、玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，谓之环.”如图1，“肉”指边，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系. (1)若图1中两个大圆的直径相等，则壁与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法)： ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”? ②图3 表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔. 第三十三章 投影与视图 培优提升专题1：投影与视图 1.3 2.解:(1)如图: (2)5 3.解:(1)如图: (2)由勾股定理，得主视图的斜边长为10 cm， ∴这个几何体的全面积是120cm². 4.解:(1)16π (2)如图，将圆锥侧面展开，得到扇形ABB'，连接BD，则线段BD为所求的最短距离. 设 ∴n=120,即∠BAB'=120°. ∵C为BB'的中点, ∴∠ADB=90°,∠BAD=60°, ∴这个线路的最短距离为3 5. 解：(1)正八边形的一个外角 ∴正八边形的一个内角=180°-45°=135°. (2)如图,连接OA,OB,过点O作OH⊥AB于点 H. ∵OA = OB,OH⊥AB, =45°,∵∠BEA=∠OED,∴ △ABE∽△DOE, 即 ∵∠AFB=∠CFO,∠ABF=∠COF=90°,∴△ABF∽△COF, 即 解得OB=2,∴ ..围墙AB 的高度为- m. 4.解:(1)32:27 (2)①观察图1可知，不符合“肉好若一”关系. ②如图2，按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，在射线上连续作三条相等的线段，交点分别为 C，D，E，连接BE,然后分别过点C,D作BE的平行线,交AB于点 F,G,进而以点O为圆心，OF或OG为半径画圆，则问题得解. ∴AH=BH=3(公分),∠AOH=∠BOH=22.5°, 由题意得 ∴OH≈7.3(公分), ∵8>7.3，∴图1的套环不能在不变形的前提下，套在此圆柱形花瓶侧面外围. 培优提升专题2：教材难题生长题 【例1】解：根据三视图可以得出此物体是一个长方体和半圆柱的组合体， 其体积为 1.解：体积为 +2π. 2.解：由三视图可知，该几何体是一个长、宽、高分别为8，6，4的长方体在上底面中间挖去一个直径为4、高为6 的半圆柱，则 培优提升专题3：全国视野培优特训 1.解:(1)三棱柱 (2)如图的左视图即为所求. (3)根据图2中的俯视图和主视图可知 ∴该几何体的表面积为 2.解:(1)折成的无盖长方体盒子的长为(20-2x) cm,宽为(12-2x) cm,高为x cm,因此容积为 (2)当x=2时,a=2×(20-2×2)×(12-2×2)=256,当x=5时,b=5×(20-5×2)×(12-5×2)=100. (3)从正面看折成的长方体盒子，它的形状不可能是正方形，理由如下： 若折成的长方体的正面是正方形， 则20-2x=x,解得 当 时，宽为 不符合题意， ∴从正面看折成的长方体盒子，它的形状不可能是正方形. 3.解:连接CD,由题意得AB⊥BF,DO⊥BF, ∴∠ABO=∠DOE=90°, ∵∠BEA=∠OED,∴ △ABE∽△DOE, 即 ∵∠AFB=∠CFO,∠ABF=∠COF=90°,∴△ABF∽△COF, 即 解得OB=2,∴ ..围墙AB 的高度为- m. 4.解:(1)32:27 (2)①观察图1可知，不符合“肉好若一”关系. ②如图2，按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，在射线上连续作三条相等的线段，交点分别为 C，D，E，连接BE,然后分别过点C,D作BE的平行线,交AB于点 F,G,进而以点O为圆心，OF或OG为半径画圆，则问题得解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $