1.2空间向量基本定理课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过复习平面向量基本定理导入，提出“空间向量能否用三个不共面向量表示”的问题，经分解过程与唯一性证明推导定理，构建从平面到空间的知识迁移支架。 其亮点在于结合概念辨析、基底判定与向量表示等题型，通过四面体、平行六面体实例培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），帮助学生发展空间观念与逻辑推理，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量基本定理 人教A版2019选择性必修一 复习回顾 平面向量基本定理的内容是什么？ （1）若是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使 ． （2）不共线向量{，}叫做表示这一平面内所有向量的 ． （3）向量的正交分解：平面内，将一个向量分解成两个互相垂直的向量 基底 探讨：任意一个空间向量是否可以用三个不共面的向量来表示？ 问题探讨 思考：在空间中，能否用任意三个不共面的向量表示任一空间向量？ (1)将分解：过点作，，，对于任一空间向量，作，过点作直线交平面于点，则. 又共线，因此存在唯一的实数，使得， 从而， （2）由平面向量基本定理可知： 存在唯一的有序数对，使得， 从而， 思考： 1）如何证明唯一性？ 2）需满足哪些条件？可以是共线向量吗？可以是零向量吗? 1)证明：如果存在另一组有序实数组，使得， 则， 即， 不妨设，则，则共面，这与已知矛盾， 则，因此，又不共线，则，. 反证法 2）非零且不共线 新知生成 一、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. （1）叫做基向量； （2）叫做空间向量的一个基底； （3）如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示， （4）把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 思考：零向量可以作为基向量吗？ × 隐函了它们为非零向量 思考：构成空间向量的基底唯一吗？ 构成空间向量的基底不唯一 零向量不可以作为基向量 5 判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底，） 方法:①如果向量中存在零向量，则不能作为基底; ②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底 ③假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组， 若有解则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底 基底的构建：常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并尽量选已知夹角和长度的向量． 基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题. 一、基底的判定 题型一：概念辨析 1. 若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c为3个不共面向量，则下列可作为基底的一组向量为（ ）． A.2, B.2, C., D., C 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量的基底是唯一的．(　　) (2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．(　　) (4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0.( 　　) × √ √ √ 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 8 3. 若是空间向量的一个基底，且 , ,,试判断能否可以作为一个空间向量的基底. 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） tip:判断三个空间向量是否能构成一个基底; ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底； ②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； ③假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组， 若有解则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底； 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 题型二：用基底表示向量 例1 空间四面体OABC中，M在OA上，OM=3MA，N在BC上，且BN=2NC，设用表示, 解：(1)= = =+ =+ 2)= = =+ 题型三：综合应用 例2 平行六面体ABCD-中，AB=4，AD=4,,∠=,∠=,∠=，M,N分别为，的中点，求证MN⊥AC； 步骤： 据已知条件选基底，并用基底表示相应向量，最后验证数量积为0 A B C D 1 G F G 例3 正方体ABCD-中，棱长为1，E，F,G分别为，，的中点. 求证:(1)EF∥AC； （2）求CE与AG所成 E F 步骤： 1.确定基底，并写出来 2.把两个向量用基底表示 3.计算数量积 4.计算两个向量的模 5.代入夹角公式 6.观察夹角余弦值的正负，写出结论 对点练习1 已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足=， ，若=++z，则=（    ） A．−1 B．1 C．− D． 【解题思路】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果. 解：(1)= = = = 对点练习2 已知是空间的一个单位正交基底，向量=，，是空间的另一个基底，向量在下的坐标为（ ） A．（，，3），B．（，3），C．（ ，3），D．（，3） 解：设，所以 ，解得： (3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．(　　) $