1.4 充分条件与必要条件 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“充分条件与必要条件”核心知识点，从命题的定义及真假入手，通过推出关系构建充分条件、必要条件概念，进而延伸至充要条件及判定方法，形成从基础到应用的完整学习支架。 资料以定义法与集合法为核心，结合三角形全等、集合关系等实例，培养学生用数学眼光观察条件联系，用数学思维进行逻辑推理。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.4充分条件与必要条件 知识归纳与题型总结 考点01 命题 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 注：数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 考点02 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 考向01 充分条件 【例1】判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)在中，，. 【答案】(1)p是q的充分条件 (2)p不是q的充分条件 (3)p是q的充分条件 (4)p不是q的充分条件 (5)p是q的充分条件 【详解】（1）有理数集是实数集的子集，若是有理数，则一定是实数，成立， 因此是的充分条件. （2）举反例：取，，满足，不满足， 即成立时不一定成立，不成立，因此不是的充分条件. （3）若，两边同时乘正数，必然有，成立，因此是的充分条件. （4）由可得或，存在满足但不满足， 即成立时不一定成立，不成立，因此不是的充分条件. （5）根据三角形的“大角对大边”性质，在同一个三角形中，若内角， 则所对的边一定大于所对的边，成立，因此是的充分条件. 考向02 必要条件 【例2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)若，则的余角是； (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则是偶数． 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 (4)q是p的必要条件 【详解】（1）根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的中线一定相等，故该命题是真命题， 则，所以q是p的必要条件． （2）因为，所以的余角为， ，所以q是p的必要条件． （3）因为，所以长分别为3 cm、4 cm和9 cm的三条线段不能组成三角形， 所以由得不到，所以q不是p的必要条件． （4）两个偶数相乘仍是偶数， 所以，所以q是p的必要条件． 【对点1】若都是实数，试从①；②；③；④中选出适合下列条件的，用序号填空： （1）“都为”的必要条件是　______　. （2）“都不为”的充分条件是　______　. 【答案】 ①②③ ④ 【详解】①或，即至少有一个为； ②互为相反数，则可能均为，也可能为一正一负； ③或； ④或，则都不为. 所以“都为”的必要条件有①②③；“都不为”的充分条件有④. 【对点2】充分条件与必要条件 当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的______条件，q叫作p的______条件. p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是______的；反过来，若q不成立，则p一定不成立，即q对于p的成立是______的. 【答案】 充分 必要 充分 必要 【详解】略 考点03 充要条件 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 注：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 考向01 判断命题的充分不必要条件 【例1】若，则“”是“”的　________　条件． 【答案】充分不必要 【详解】，充分性成立； 或，必要性不成立； 从而可知“”是“”的充分不必要条件． 考向02 根据充分不必要条件求参数 【例2】已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 考向03 判断命题的必要不充分条件 【例3】是2的倍数，是6的倍数，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】判断与之间的双向推出关系，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】若满足，即是6的倍数，则必为2的倍数，即满足，因此，故是的必要条件； 若满足，即是2的倍数，如，此时不是6的倍数，不满足，因此，故不是的充分条件. 综上，是的必要不充分条件. 考向04 根据必要不充分条件求参数 【例4】已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，解得 经检验，时，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 考向05 根据充要条件求参数 【例5】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 考向06 既不充分也不必要条件 【例6】“”是“或”的　______　条件． 【答案】既不充分也不必要 【详解】∵或，并且或， ∴“”是“或”的既不充分也不必要条件． 考向07 充要条件的证明 【例7】两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角形确定的性质及判定定理逐项判断即可. 【详解】对于选项A：面积相等的两个三角形形状、边长不一定完全相同， 比如同底等高的锐角三角形和钝角三角形面积相等但不全等， 因此“面积相等”只是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项B：对应角相等只能说明两个三角形相似，边长可以成任意相同比例， 比如大小不同的两个等边三角形对应角相等但不全等， 因此“对应角相等”是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项C：根据三角形全等的判定公理，三角形的三边长度完全确定后， 三角形的形状和大小就被唯一确定，对应边相等的两个三角形必然全等； 反过来，全等三角形的对应边必然全部相等，因此“对应边相等”是两个三角形全等的充要条件. 对于选项D：三角形的对应外角相等等价于对应内角相等，和选项B性质一致，只能推出两三角形相似， 无法保证全等，属于必要不充分条件. 考向08 探究命题为真的充要条件 【例8】已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】不存在 【详解】∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【对点1】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 【答案】(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)充分不必要条件 (5)既不充分也不必要条件 【详解】（1）若，则；反之，当时，或，因此是的充分不必要条件. （2）若是无理数，则不一定是无理数，如是无理数，而是有理数； 反之，若为无理数，则为无理数，因此是的必要不充分条件. （3）若，则；反之，若，则或，因此是的充分不必要条件. （4）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；反之，两个三角形的面积相等，这两个三角形不一定全等， 因此是的充分不必要条件. （5）若，，则；若，则，因此是的既不充分也不必要条件. 【对点2】已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 【对点3】判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 【答案】(1)是的充要条件 (2)是的充分不必要条件 (3)是的必要不充分条件 (4)是的既不充分也不必要条件． 【分析】按充要条件的定义判断． 【详解】（1） 由三角形中大角对大边可知，若，则，即，反之，若，则即. 因此，是的充要条件． （2） 由可以推出即； 由，得或，不一定有即. 因此，是的充分不必要条件． （3） 由可以推出或，不一定有即； 由可以得出即. 因此是的必要不充分条件． （4） 由于，当时，；当时， ，故若，不一定有； 当，，时，可以推出； 当，，时，可以推出. 故时，不一定有. 因此是的既不充分也不必要条件． 【对点4】已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【对点5】若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 【对点6】已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 【对点7】若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得；由，得， 所以“”是“”的充要条件. 【对点8】已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 考点04 充分条件与必要条件的判定 1．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 2．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 一、选择题 1．设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义结合选项逐项判断. 【详解】对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 2．若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 则由题意得，所以，解得． 3．如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义，分别判断四个电路图中“开关闭合”与“灯泡亮”之间的逻辑推导关系即可. 【详解】 设为“开关闭合”，为“灯泡亮”. 对于图①，开关与另一开关并联. 若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，可能是另一开关闭合而断开，即， 故图①中是的充分不必要条件. 对于图②，开关与灯泡串联.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则电路必须接通，故必闭合，即， 故图②中是的充要条件. 对于图③，开关与另一开关串联.若闭合，另一开关断开，则电路不通，不亮，即； 若亮，则电路接通，两开关均须闭合，故必闭合，即， 故图③中是的必要不充分条件. 对于图④，开关在干路上.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则干路必须接通，故必闭合，即， 故图④中是的充要条件. 综上所述，满足条件的电路图是②④. 4．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 5．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 6．已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】取，满足，但，故不能得到， 若，则，故， 综上可得“”是“”的充分不必要条件. 7．Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【答案】B 【分析】运用假设法，对每个论断真假进行假设，从而确定假论断个数 【详解】假设论断1为假，即四个论断都是假的，但论断4若为假， 即四个论断都是真的，与假设矛盾，故论断1为真； 假设论断2为假，即至多有一个论断为真的，因为论断1为真， 则论断2、3、4为假，但论断3若为假，即至多有一个为假， 假设与论断3矛盾，故论断2为真； 假设论断3为假，即至多有一个为假，因为论断1、2为真， 故论断4也为真的，与假设符合，故论断3为假； 若论断4为假，即四个论断都是真的，但论断3为假的， 假设与论断3矛盾，故论断4为真； 综上，论断1、2、4为真，论断3为假. 8．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 9．已知函数 的定义域为 ，函数图像为连续曲线， ，则 “ 的解集为 ”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：因为 的解集为 ，且函数图像在区间上为连续曲线， 所以，又，所以，所以， 所以，所以充分性成立； 必要性：因为，所以函数关于点对称， 取满足题设条件的函数 （），但的解集为空集，不是， 所以必要性不成立. 10．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 二、填空题 11．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 12．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 13．设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 【答案】 必要不充分 充分不必要 【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． 14．已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 15．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 三、解答题 16．已知关于的方程，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 【答案】 【分析】要使一元二次方程两根都大于 1，需同时满足方程有实根，两根与 1 的差之和为正、差之积为正，结合韦达定理列不等式组求解. 【详解】 设方程的两根分别为，， 根据韦达定理：，. 由题意知， 整理得：， 解各不等式得：或，，. 三者取交集解得：. 检验充分性：当时，，，均成立，故两根均大于 1. 所以方程有两个大于 1 的实根的充要条件是. 17．已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意，将命题的关系转化为集合之间的关系，利用集合之间的关系即可求解. 【详解】根据题意，设集合，集合，其中， 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集， 其次满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 18．已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，或， (2) 【详解】（1）当时，，结合， 则，，或，； （2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以且，即； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立， 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得， 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为. 19．已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求出集合，再根据交集的定义即可计算； （2）依题意可得为的真子集，分与两种情况讨论，即可求解的取值范围． 【详解】（1）当时，， 因此． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 20．已知集合． (1)当时，求； (2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得； （2）由可得，分为空集、非空两种情况，列不等式组求解的范围. 【详解】（1）已知， 当时，． 因为，所以， （2）选条件①：因为，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件②：因为，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件③：因为是的充分条件，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.4充分条件与必要条件 知识归纳与题型总结 考点01 命题 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 注：数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 考点02 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 考向01 充分条件 【例1】判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)在中，，. 考向02 必要条件 【例2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)若，则的余角是； (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则是偶数． 【对点1】若都是实数，试从①；②；③；④中选出适合下列条件的，用序号填空： （1）“都为”的必要条件是　______　. （2）“都不为”的充分条件是　______　. 【对点2】充分条件与必要条件 当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的______条件，q叫作p的______条件. p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是______的；反过来，若q不成立，则p一定不成立，即q对于p的成立是______的. 考点03 充要条件 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 注：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 考向01 判断命题的充分不必要条件 【例1】若，则“”是“”的　________　条件． 考向02 根据充分不必要条件求参数 【例2】已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考向03 判断命题的必要不充分条件 【例3】是2的倍数，是6的倍数，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 考向04 根据必要不充分条件求参数 【例4】已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 考向05 根据充要条件求参数 【例5】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 考向06 既不充分也不必要条件 【例6】“”是“或”的　______　条件． 考向07 充要条件的证明 【例7】两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 考向08 探究命题为真的充要条件 【例8】已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【对点1】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 【对点2】已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【对点3】判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 【对点4】已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【对点5】若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【对点6】已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【对点7】若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【对点8】已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点04 充分条件与必要条件的判定 1．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 2．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 一、选择题 1．设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 2．若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 4．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 5．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 8．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知函数 的定义域为 ，函数图像为连续曲线， ，则 “ 的解集为 ”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 12．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 13．设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 14．已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 15．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 三、解答题 16．已知关于的方程，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 17．已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18．已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20．已知集合． (1)当时，求； (2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $