1.4 充分条件与必要条件 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“充分条件与必要条件”核心知识点，从命题定义（“若p则q”结构）切入，通过真假命题引出充分、必要条件定义，结合逆命题及命题真假关系表构建充要条件判断框架，形成从概念到应用的递进学习支架。 资料特色在于题型覆盖判断、证明、参数求解，结合三角形边角关系、方程根等实例，用数学眼光发现数量关系，通过逻辑推理培养数学思维，以符号语言精准表达。课中助力分层教学，课后练习题梯度分明，帮助学生查漏补缺。

1.4 充分条件与必要条件 知识点一、命题、充分条件与必要条件 1.命题一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题. 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 结构：“若p，则q”，“如果p，那么q”. 2.充分条件与必要条件的定义 （1）一般地，“若p，则q”为真命题，我们就说，由p可以推出q，记作，此时就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）如果“若p，则q”为假命题，我们就说，p不可以推出q，记作，此时就说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 知识点二、充要条件 1.逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件的定义 （1）如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. （2）如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 3.充要条件的判断与命题真假之间的关系 设原命题为“若,则”,则逆命题为“若,则”,得与的关系有以下四种情形： “若,则” “若,则” 与的关系 结论 真 假 ,但 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 假 真 ,但 是的必要不充分条件 是的充分不必要条件 真 真 ,即 与互为充要条件 假 假 且 是的既不充分也不必要条件 是的既不充分也不必要条件 题型一：充分条件、必要条件的判断 例1.指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ （1）p：a＝0，q：ab＝0. （2）已知x∈R，p：x>1，q：x>2. （3）在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB. 例2.指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ （1）p：x＝y，q：|x|＝|y|. （2）p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B； （3）p：a>b，q：ac>bc. 跟踪训练： 1.指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ （1）已知p：x>2，q：x2>4. （2）已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0. （3）若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等. 2.指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ （1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等. （2）p：A⊆B，q：A∩B＝A. （3）p：|x|>2，q：x>2. 题型二：充要条件的判断 例1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：x2>0，q：x>0. (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5. (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等. (4)p：x＝1，q：x－1＝. 跟踪训练： 1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 题型三：充要条件的证明 例1.设a，b，c为△ABC的三边. 求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 跟踪训练： 1.已知,求证：的充要条件是.（即证是的充要条件） 2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 题型四：由充分、必要、充要条件求参数值或取值范围 例1.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 例2.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 例3..已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 跟踪训练： 1.已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}.若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 2.已知集合A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}.若x∈B成立的一个必要条件是x∈A， 求实数m的取值范围； 1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件又是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 2.“1<x<2”是“x≤2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.若,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x∈{－1,3,5} B.x≥0 C.x<0或x>2 D.或x≥3 7.设,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . 8.已知,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . 1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 2.设，则“”是“”的（） A.充分不必要条件B.充要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 3.已知，则是的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知，那么的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 5.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 7.设x∈R，则“”是“x2<1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.若均为集合，则“”是“”的 条件。 9.已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 10.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 11.设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 12.若,若是的充分不必要条件,则的取值范围是 ，若是的必要不充分条件,则的取值范围是 . 13.已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 . 14.已知和，且是的必要条件但不是充分条件，求实数的值. 15.已知，，其中. （1）若是的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16.已知命题：关于的方程的两根均属于集合. （1）若命题为真命题，求实数的取值集合. （2）设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 充分条件与必要条件 知识点一、命题、充分条件与必要条件 1.命题一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题. 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 结构：“若p，则q”，“如果p，那么q”. 2.充分条件与必要条件的定义 （1）一般地，“若p，则q”为真命题，我们就说，由p可以推出q，记作，此时就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）如果“若p，则q”为假命题，我们就说，p不可以推出q，记作，此时就说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 知识点二、充要条件 1.逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件的定义 （1）如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. （2）如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 3.充要条件的判断与命题真假之间的关系 设原命题为“若,则”,则逆命题为“若,则”,得与的关系有以下四种情形： “若,则” “若,则” 与的关系 结论 真 假 ,但 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 假 真 ,但 是的必要不充分条件 是的充分不必要条件 真 真 ,即 与互为充要条件 假 假 且 是的既不充分也不必要条件 是的既不充分也不必要条件 题型一：充分条件、必要条件的判断 例1.指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ （1）p：a＝0，q：ab＝0. （2）已知x∈R，p：x>1，q：x>2. （3）在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB. 解：（1）因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件. （2）方法一：由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件. （3）在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. 例2.指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ （1）p：x＝y，q：|x|＝|y|. （2）p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B； （3）p：a>b，q：ac>bc. 解：（1）∵x＝y⇒|x|＝|y|，即，∴q是p的必要条件. （2）因为对顶角相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. （3）因为p⇏q，所以q不是p的必要条件. 跟踪训练： 1.指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ （1）已知p：x>2，q：x2>4. （2）已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0. （3）若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等. 解：（1）x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件. （2）由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件. （3）两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，所以p不是q的充分条件. 2.指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ （1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等. （2）p：A⊆B，q：A∩B＝A. （3）p：|x|>2，q：x>2. 解：（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. （2）因为p⇒q，所以q是p的必要条件. （3）因为当|x|>2时，x>2或x<－2，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件. 题型二：充要条件的判断 例1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：x2>0，q：x>0. (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5. (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等. (4)p：x＝1，q：x－1＝. 解：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件. (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件. (3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件. (4)当x＝1时，x－1＝成立；当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件. 跟踪训练： 1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 【解答】解：(1)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件. (2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件. (3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件. (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件. 题型三：充要条件的证明 例1.设a，b，c为△ABC的三边. 求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0， 则x02＋2ax0＋b2＝0，x02＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝， 将此式代入x02＋2ax0＋b2＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c). ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 跟踪训练： 1.已知,求证：的充要条件是.（即证是的充要条件） 解：先证必要性：因为,即, 所以. 所以必要性成立. 再证充分性：因为, 即,所以. 又因为,所以且，从而 所以,即.所以充分性也成立. 故当时，的充要条件是. 2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. 充分性：由ac<0，可推得b2－4ac>0，及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根).所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 题型四：由充分、必要、充要条件求参数值或取值范围 例1.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或， 解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 例2.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB. 所以或， 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 例3..已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 若p是q的充要条件，则， 该方程组无解，所以m不存在. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 跟踪训练： 1.已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}.若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 解：由题可知，∁RB＝{x|1＜x＜4}， 因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，所以A∁RB， 可得2﹣a＞2+a，或，解得a＜1. 故实数a的取值范围是{a|a<1}. 2.已知集合A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}.若x∈B成立的一个必要条件是x∈A， 求实数m的取值范围； 解：若x∈B成立的一个必要条件是x∈A，所以B⊆A， 因为集合A＝{x|﹣2＜x＜6}， B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}. 则，所以0≤m≤4， 故实数m的取值范围{m|0≤m≤4}. 1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件又是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 解：因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.故选：B. 2.“1<x<2”是“x≤2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，A⫋B.故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件.故选：A. 3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.故选：B. 4.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a<b<0时，ab(a－b)<0；反之，若ab(a－b)>0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b<a<0时也满足ab(a－b)>0，故不能确定a和b的正负.故是既不充分又不必要条件.故选：D. 5.若,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：设或.当成立时,一定成立,即;当成立时,不一定成立,即.所以是的充分不必要条件.故选：A. 6.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x∈{－1,3,5} B.x≥0 C.x<0或x>2 D.或x≥3 解：选项中只有x∈{－1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件. 故选：A 7.设,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . 解：由题意，则，即.故答案：. 8.已知,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . 解：由得，因为是的充分不必要条件， 所以，所以，解得.故答案：. 1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 解：若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故为充要条件. 故选：A. 2.设，则“”是“”的（） A.充分不必要条件B.充要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解：由，解得.因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C. 3.已知，则是的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为，所以是的充分不必要条件.故选：A. 4.已知，那么的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 解：因为，所以是的一个充分不必要条件.故选：C. 5.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1， 由集合的包含关系可知选A正确.故选：A. 6.一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 解：由题意，不妨设，因为当时，，且有一个正实数根和一个负实数根，所以的图象开口向下，即.故只有C选项中的“”是“”的充分不必要条件.故选：C. 7.设x∈R，则“”是“x2<1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：由，得0<x<1，所以0<x2<1；由x2<1，得－1<x<1，不能推出0<x<1. 所以“”是“x2<1”的充分不必要条件.故选：A. 8.若均为集合，则“”是“”的 条件。 解：当 时，有 成立；当 时，有 成立，但未必有 .故 “” 是 “” 的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件. 9.已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 解：因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1. 故答案为：m≤－7或m≥1. 10.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 解：由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.故答案为：必要不充分. 11.设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的 条件. 解：若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件.故答案为：既不充分又不必要. 12.若,若是的充分不必要条件,则的取值范围是 ，若是的必要不充分条件,则的取值范围是 . 解：是的充分不必要条件，则，因此.是的必要不充分条件，则，因此.故答案为：. 13.已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 . 解：α：x≥a，可`看作集合A＝{x|x≥a}. ∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}. 又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0. 故答案为：{a|a≤0} 14.已知和，且是的必要条件但不是充分条件，求实数的值. 解：解：,, 因为是的必要条件但不是充分条件，所以. 当,即时，符合题意； 当时，由得或, 解得或.综上可知,或或. 15.已知，，其中. （1）若是的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 解：(1)设,. 因为是的充分不必要条件，所以,所以，解得。 所以实数的取值范围为. （2）由(1)得,， 若是的必要不充分条件,则. ①当时,,满足题意; ②当时,由,得,即; ③当时,不满足题意. 综上,实数的取值范围为. 16.已知命题：关于的方程的两根均属于集合. （1）若命题为真命题，求实数的取值集合. （2）设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（1）由，得, 所以或.因为命题为真命题, 所以解得.所以. （2）存在.由（1）得,又,由题意得是的真子集. 当时,,解得,满足题意; 当时,或 解得. 综上所述，满足条件的实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $