15.3.2《等边三角形》第二课时含30°角的直角三角形的性质 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质，通过滑梯高度问题导入，连接生活实际与数学知识，引导学生经测量猜想、逻辑证明（延长法和截取法）得出性质，构建等边三角形与直角三角形知识支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光（几何直观），多种证明方法发展数学思维（推理能力），结合屋架设计等实例强化数学语言（模型意识）。课程小结明确使用要点，随堂演练梯度设计，助力学生提升应用能力，教师可直接用于教学提高效率。

第十五章 轴对称 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 15.3.2 等边三角形 第二课时 含30°角的直角三角形的性质 1 学习目标 1. 通过测量、猜想、证明等活动，理解并掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半这一性质. 2. 经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，在动手操作和逻辑推理中提升观察分析能力、空间想象能力和初步的演绎推理能力. 3. 能够运用含30°角的直角三角形的性质，解决与直角三角形相关的证明和计算问题，体会数学知识在实际生活中的应用。 2 新课导入 如图，游乐场里有一个滑梯，它的滑道与地面形成的角是 30°，滑梯的垂直高度，也就是 30° 角所对的直角边是 1.5 米。现在游乐场的工作人员想知道这个滑梯的滑道长度是多少，这样才能确保滑梯的安全和合适的坡度。你们能帮工作人员解决这个问题吗？ 30° 1.5m ? m 3 新知探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论? 探究 A B C 30° 通过测量得出： BC=3.5cm， AB=7cm. 4 新知探究 再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？ 发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半. A B C 30° 仍然成立 请证明你的结论. 5 新知探究 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°， 求证：BC= AB. A B C 30° 分析：要证明BC= AB.只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可. 6 新知探究 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°， 求证：BC= AB. 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴AB=AD. 又∵∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°， ∴△ABD是等边三角形，所以BD=AB. 又BD=2BC，∴BC= AB. A B C 30° D 你还有其他证明方法吗？ 7 新知探究 证明：如图，在AB边上截取BD=BC，连接 CD. 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，∠A=30°. ∴∠B=90°-30°=60°. 又BD=BC，∴△BCD 是等边三角形. ∴BD=CD=BC，∠BCD=60°. ∵ ∠ACB=90°， ∴ ∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°. 又∠A=30°， ∴∠A=∠ACD. ∴ AD=CD=BC=BD.所以BC = AB. A B C 30° D 8 新知探究 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： ∵ 在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴ BC= AB. A B C 30° 9 典例解析 例5 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 求立柱BC、DE的长. 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°， ∴BC= AB，DE= AD. ∴ BC= × 7.4=3.7(m). 又 AD= AB ， ∴ DE= AD= × 3.7=1.85(m). 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. B D A E C 10 课堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度?边AB与BC之间有什么关系? 解：∵∠C=90°， ∠B=2∠A， ∠A+ ∠B+ ∠C=180. ∴ ∠A+2∠A+90=180°. ∴ ∠A=30°. ∴ ∠B=2∠A=60°. ∴AB=2BC. 11 课堂练习 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度? 解：如图，延长BC至点 D，使 CD=BC， 连接AD，则BD=2BC. ∵ AB=2BC， ∴ AB=BD. ∵∠ACB=90°，CD=BC， ∴AC是 BD的垂直平分线. ∴AD=AB=BD. ∴△ABD 是等边三角形. ∴∠B=60°.∴∠CAB=90°-∠B=30°. A B C D 12 课程小结 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 性质 ①分清30°的角所在的直角边. ②作辅助线，构造直角三角形. 使用要点 前提条件： ①30°的角. ②直角三角形中. 注意 含30°角的直角三角形的性质 13 随堂演练 1.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( ) A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7 D A C B P 30° 14 随堂演练 2.如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( ) A.3m B.4m C.5m D.6m B A B C D h 15 随堂演练 3.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm，则最长边为 cm. 4.如图，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AD=3cm，则AB= cm，BE= cm. 10 6 4.5 A E B D C 16 随堂演练 5.如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过点M作ME∥BA交AC于点E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=_____cm. 6.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB=16cm，则阴影部分的面积是_____cm2. 5 32 A D B M E C E D B A C F 30° 45° 17 随堂演练 7.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= . 解：作EH⊥OA于H， ∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥ OA， ∴EH=EC=1，∠AOB=30°. ∵EF∥OB， ∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE. ∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE. ∴OF=EF=2. B C E H A F O 2 18 随堂演练 8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解：CD = DB. 理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)， A C D B E 19 随堂演练 ∴AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°， ∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB. A C D B E 20 随堂演练 9.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N． (1)求证：BE＝AD； A E M B N D C 证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC， ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. 在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD(SAS)， ∴BE= AD. 21 随堂演练 9.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N． (2)求∠BMN的度数； A E M B N D C 解：由(1)得： △ABE≌△CAD ， ∴∠ABE=∠CAD. ∵∠BAD+∠CAD=60°， ∴∠BAD+∠ABE=60°. ∴∠BMN=∠ABE+∠BAD=60°. 22 随堂演练 9.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N． (3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝　 　cm． A E M B N D C 解：∵ △ABE≌△CAD ，∴ BE= AD， ∵ BN⊥AD， ∴ ∠BNM=90°. ∴ ∠MBN=90°-∠BMN=30°， ∵ MN=3cm，ME=1cm， ∴ BM=2MN=6(cm)， ∴ AD=BE=BM+ME=6+1=7(cm) 7 23 第十五章 轴对称 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 15.3.2 等边三角形 第二课时 含30°角的直角三角形的性质 24 $