15.3.2《等边三角形》第一课时等边三角形的性质和判定 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质和判定，通过复习等腰三角形的定义、性质及判定，建立特殊与一般的知识联系，以学习支架形式引导学生迁移旧知，自然过渡到新知探究。 其亮点在于以问题驱动探究过程，通过对比等腰与等边三角形的性质判定表培养抽象能力，结合全等三角形综合例题发展推理意识，规范几何语言表达。小结系统归纳知识，助力学生构建逻辑体系，提升几何推理能力，为教师提供结构化教学资源。

第十五章 轴对称 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 15.3.2 等边三角形 第一课时 等边三角形的性质和判定 1 学习目标 1. 通过回顾等腰三角形的定义，理解等边三角形的概念及其与等腰三角形的包含关系，能准确表述等边三角形的特殊性. 2. 经历探究等边三角形性质与判定的过程，运用等腰三角形的性质迁移和逻辑推理，归纳出等边三角形“三边相等、三角均为60°”的性质及“三边相等”“三角相等”“有一个角为60°的等腰三角形”的判定方法.  3. 结合具体例题与练习，运用等边三角形的性质和判定解决与边、角相关的证明与计算问题，提升几何推理的规范性和问题解决能力. 2 复习回顾 等腰三角形的定义、性质和判定 名称 图形 定义 性质 判定 等腰三角形 有两边相等的三角形是等腰三角形. 两腰相等 两边相等 等边对等角 等角对等边 三线合一 轴对称图形 3 复习回顾 等边三角形：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等. 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形). 10cm 10cm 6cm 特殊的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 10cm 10cm 10cm 4 新知探究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 探究 1. 等边三角形的三条边有什么数量关系？ 性质：等边三角形的三条边都相等. 几何语言： 如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=CA. A B C 5 新知探究 2. 等边三角形的三个内角有什么数量关系？ 已知：如图，AB=AC=BC. ∵ AB=AC. ∴ ∠B=∠C . 同理 ∠A=∠C. ∴ ∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°. ∴ ∠A=∠B=∠C=60°. A B C 6 新知探究 性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 几何语言： 如图，∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°. A B C 7 新知探究 3. 等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？ 性质：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. A B C 8 新知探究 A B C 4.等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？ 性质：等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 9 新知探究 等腰三角形 等边三角形 图形 性质 两条边相等 三条边都相等 两个底角相等 三个角都相等，并且每一个角都等于60° 底边上的中线、高、顶角平分线重合 三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 1条对称轴 3条对称轴 等腰三角形和等边三角形的性质对比 10 新知探究 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？ 已知：如图，∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A=∠B. ∴ AC=BC. 同理 AB=AC . ∴ AB=AC=BC. 即△ABC是等边三角形. A B C 一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 探究 11 新知探究 A B C 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言： 如图，△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C. ∴△ABC是等边三角形. 12 新知探究 2. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这个结论吗？  A B C 若AB=AC，则∠B=∠C. 当顶角∠A=60°时， ∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°. ∴ ∠A=∠B=∠C=60°. ∴ △ABC是等边三角形. 当底角∠B=60°时，∠C=60°. ∠A=180°-∠B-∠C=60°. ∴ ∠A=∠B=∠C=60°. ∴ △ABC是等边三角形. 13 新知探究 A B C 等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言： 如图，△ABC中， ∵AB=AC，∠A(或∠B，∠C)=60°. ∴△ABC是等边三角形. 14 新知探究 等腰三角形 等边三角形 图形 判定 两条边相等的三角形 三条边都相等的三角形 两个角相等的三角形 三个角都相等的三角形 有一个角是60°的等腰三角形 等腰三角形和等边三角形的判定对比 15 典例解析 例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵ △ABC是等边三角形.   ∴ ∠A=∠B=∠C  . ∵ DE∥BC  . ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.   ∴ ∠A=∠ADE=∠AED .  ∴ △ADE是等边三角形. A B C D E 16 典例解析 例 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质. A B E C D 17 典例解析 例 △ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？ 解：∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM ＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等. A Q B M C N 18 典例解析 例 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ为等边三角形． 证明如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC. ∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， A Q P B C 19 典例解析 ∴△ABP≌△ACQ(SAS)， ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60° ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60° ∴△APQ是等边三角形． 判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°. A Q P B C 20 典例解析 例 图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． (1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； (2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． A C B N M 图① A C B N M E F 图② 21 典例解析 A C B N M 图① 解：AN＝BM. 理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形， ∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°. ∴∠ACN＝∠MCB. ∴△ACN≌△MCB(SAS)． ∴AN＝BM. (1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； 22 典例解析 △CEF是等边三角形． 证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°， ∴∠ECF=60°. ∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAE＝∠CMB. ∵AC＝MC， ∴△ACE≌△MCF(ASA)， ∴CE＝CF. ∴△CEF是等边三角形． (2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． A C B N M E F 图② 23 课堂练习 1. 画出等边三角形的三条对称轴，你能发现什么？ A B C 三条对称轴相交于一点， 每条对称轴都垂直于对应的边，且平分这条边（既是高，也是中线和角平分线）。 24 课堂练习 2. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？证明你的结论. A B C E F D 解：图中与BD相等的线段有 AE、BE、ED、AF、FC、FD、DC. 25 课堂练习 证明：∵△ABC是等边三角形，AD是BC上的高， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°， ∠B=∠C=60°，BD=CD， ∵∠BDE=60°， ∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=60°， ∴△EBD是等边三角形， A B C E F D 26 课堂练习 同理：△FDC是等边三角形， ∴DE=BE=BD，FC=FD=DC， ∵∠EDA=∠ADB -∠BDE=90°-60°=30°， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=ED， 同理：AF=DF， ∴与BD相等的线段是AE、BE、ED、AF、FC、FD、DC． A B C E F D 27 课程小结 等边三角形的性质： 1. 等边三角形的三边相等. 2. 等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. 3. 等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 4. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 等边三角形的判定： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 2. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 28 随堂演练 1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( ) A.25° B.60° C.85° D.95° 2.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD则∠ADE的度数为( ) A.30° B.60° C.45 D.75° D D A B C D A B C E D 29 随堂演练 3.下列推理中，错误的是( ) A. 因为∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形. B. 因为AB=AC且∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形. C. 因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形. D. 因为AB=AC，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形. B 30 随堂演练 4.已知AD是等边△ABC的高，且BD=1cm，那么BC的长是 cm. 5.若等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC的度数为_____. 6.如图，△ABC是周长为6的等边三角形，BD为中线，且BD=a，E为BC延长线上一点，CE=CD，则△BDE的周长为 . 2 120° 2a+3 B A D E C 31 随堂演练 7.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′ ，EB′分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为______. 80° B E C G B′ F A D 32 随堂演练 8.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点E在BC上.求证:AE=CD. 证明：△ABC和△BDE都是等边三角形. ∴ AB=BC，BE=BD ∠ABC=∠EBD=60° 在△ABE与△CBD中， ∴△ABE≌△CBD(SAS) ∴ AE=CD A B E C D 33 随堂演练 9.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证：BM=MN=CN. 证明：∵△ABC是等边三角形. ∴∠ABC=60°. 又∵OB平分∠ABC. ∴∠1=∠2=30°. 又∵OM//AB. ∴∠1=∠3. A B C M N O 3 1 2 34 随堂演练 ∴∠2=∠3=30°. ∴BM=OM，∠OMN=60°. 同理CN=ON，∠ONM=60°. ∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°. ∴OM=ON=MN. ∴BM=MN=CN. A B C M N O 3 1 2 35 第十五章 轴对称 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 15.3.2 等边三角形 第一课时 等边三角形的性质和判定 36 $