第五章 二次函数 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版2024九年级上二次函数单元卷，全面覆盖核心知识，通过基础巩固、能力提升与创新应用梯度设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12小题|顶点坐标、对称轴、根的分布、函数图像与性质|结合一次函数图像判断二次函数图像，考查几何直观与推理能力| |填空题|5小题|韦达定理、开口方向、抛物线交点、动态几何|设计线段与抛物线交点问题，培养空间观念与创新意识| |解答题|5小题|解析式求解、面积计算、实际应用（篮球馆钢架）、综合探究|以双抛物线钢架结构为情境，考查模型意识与应用能力，体现数学与现实世界的联系|

北师大版（2024）九年级上 第五章 二次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．抛物线y=（x-1）2-3的顶点坐标是（　　） A．（-1，-3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（1，3） 2．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x=-3 C．顶点坐标为 D．当x＜-3时，y随x的增大而减小 3．若二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 4．一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+b的图象（　　） A． B． C． D． 5．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论中错误的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b=0 C．4a+2b+c＞0 D．c+8a＞0 6．已知二次函数y=ax2+6ax+b（a、b为常数，a≠0），若其图象上有两点A（m-1，n），B（m+1，n），则m的值为（　　） A．-6 B．-4 C．3 D．-3 7．已知二次函数y=ax2+bx+4（a、b均为常数，且a≠0）的顶点坐标为（2，8），当-2≤x≤5时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n,则m+n的值为（　　） A．0 B．7 C．-9 D．-16 8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（-1，0），B（m,0）两点．若2＜m＜3，则（　　） A．-3a＜b＜-2a B．-2a＜b＜-a C． D． 9．已知二次函数y=（x-2）（x-3），若关于x的方程（x-2）（x-3）=m（m＜0）的实数根为α，β，且α＜β，则下列不等式正确的是（　　） A．α＜2，β＜3 B．2＜α＜β＜3 C．2＜α＜3＜β D．α＜2＜β＜3 10．已知抛物线y=x2-2nx（n≠0），点P（x1，y1），点Q（x2，y2）是抛物线上两点，且-6≤x2≤-4．当x1=-n时，始终满足y1＞y2，则n的取值范围为（　　） A．n＜-2或n＞6 B．n＜-2或0＜n＜6 C．-2＜n＜0或n＞6 D．-2＜n＜0或0＜n＜6 11．二次函数y=mx2+2mx+m（m是常数且m≠0）的图象经过点P（x1，y1），一次函数y=mx+m的图象经过点Q（x2，y2），当m＜0时，下列结论不一定正确的是（　　） A．当x1=x2＞0时，y1＜y2 B．当x1=x2＜-1时，y1＜y2 C．当y1=y2＜m时，x1＜x2 D．当y1=y2＞m时，x1＞x2 12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=-1，其与x轴的一个交点为A（1，0），与y轴的交点C在点（0，-2），（0，-3）之间（不含端点），有下列结论： ①abc＞0； ②2a+b+c＞0； ③； ④若方程ax2+（b-1）x+c-1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），则-3＜x1＜1＜x2； ⑤抛物线上有M（m-2，y1），N（m+1，y2），当y1＞y2时则m的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共5小题） 13．抛物线y=（x-2）2+3的顶点坐标为______． 14．若抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2= ______． 15．若抛物线y=（m-2）x2-3的开口向上，则m的取值范围是______． 16．已知抛物线y1=x2+5x+6，y2=-x2-2x+a,若这两条抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为______． 17．（2026•故城县模拟）如图所示，线段AB与x轴平行，点B在点A右侧，AB=2，点A是直线y=x+2上的点，设点A的横坐标为m.若线段AB与抛物线y=-x2+2x+2有且仅有一个公共点，则m的取值范围为______． 三．解答题（共5小题） 18．已知函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2-11是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 19．如图，已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）x轴交于点A（-2，0），点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线y=ax2+x+c（a≠0）的表达式； （2）在抛物线上是否存在一点G，连接AG，BG，使得S△ABG=12，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知二次函数（a为常数，a≠0） （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数（a为常数，a≠0）的图象与一次函数y=x+3的图象有唯一公共点，设，求M的值． 21．某室内篮球馆的屋顶采用了双抛物线形钢架结构，如图，其截面的两条钢梁L（上）和L′（下）可近似地看作开口方向相反、开口大小相同的抛物线．以直线OA为x轴，以过点O且与OA垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,抛物线L与L′都过O，A两点，且它们关于直线OA对称，为增强结构稳定性和美观度，在两钢梁之间竖直安装矩形透光天窗DD′E′E，D，E是抛物线L上关于对称轴对称的两点（点D在点E左侧），点D′，E′为点D，E关于直线AO的对称点，DE∥OA．已知OA=80米，抛物线L的顶点B到OA的距离为60米． （1）求抛物线L的表达式． （2）若矩形透光天窗DD′E′E的四边都需要铝合金边框密封，当点D的横坐标为时，所需边框材料最少，求边框总长度的最小值． 22．如图，抛物线y=x2-2x-6与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是AB的中点，平行四边形CDEF的顶点D，E均在抛物线上． （1）直接写出点C的坐标； （2）如图（1），若点D的横坐标是-2，点E在第三象限，平行四边形CDEF的面积是13，求点F的坐标； （3）如图（2），若点F在抛物线上，连接DF，求证：直线DF过一定点． 北师大版（2024）九年级上 第五章 二次函数 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、C 2、C 3、A 4、C 5、D 6、D 7、A 8、B 9、B 10、A 11、D 12、B  二．填空题（共5小题） 13、（2，3）； 14、-5； 15、m＞2； 16、-1或0或3； 17、-3≤m≤1且m≠0；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）由题意可得：， 解得m=3． （2）∵m=3， ∴二次函数的解析式为y=12x2-2， ∴二次函数的二次项系数为12，一次项系数为0，常数项为-2． 19、解：（1）由题意可得：， 解得：，c=3． 故抛物线的表达式为：． （2）存在， ∵，令， 解得：x1=6，x2=-2，故点B坐标为（6，0）， ∴AB=6-（-2）=8， 假设存在点G，令G点坐标为（xg，yg）， ∵， ∴|yg|=3， 当时，xg=0或xg=4， 当时，或， ∴存在G点，坐标为（0，3），（4，3），，． 20、解：（1）抛物线的对称轴为直线； （2）联立， 则，即， ∵二次函数（a为常数，a≠0）的图象与一次函数y=x+3的图象有唯一公共点， ∴，即a2-4a+1=0， ∴a2=4a-1， ∴a3=a2•a=（4a-1）•a=4a2-a, ∴ = = = =， ∵a2-4a+1=0，a≠0， ∴， ∴， ∴M=15． 21、解：（1）根据题意可知A（80，0），B（40，60）， 设抛物线L的表达式为y=a（x-40）2+60（a≠0）， 将A（80，0）代入表达式得1600a+60=0， 解得， ∴抛物线L的表达式为； （2）∵当点D的横坐标为时，边框总长度最小， ∴当时，， ∴点D的坐标为， ∵点D和点E关于抛物线L的对称轴对称， ∴， 由题意可知点D′的坐标为， ∴， ∴， 即边框总长度的最小值为米． 22、解：（1）∵抛物线y=x2-2x-6与x轴分别相交于A，B两点， ∴0=x2-2x-6， ∴x1=1+，x2=1-， ∵点A在点B的左侧， ∴点B（1+，0），点A（1-，0）， ∵C是AB的中点， ∴点C坐标为（1，0）； （2）∵点D在抛物线y=x2-2x-6上， ∴y=（-2）2-2×（-2）-6=2， ∴点D（-2，2）， 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0）， 把C（1，0），D（-2，2）代入得： ，解得：， ∴直线CD的解析式为， 如图（1），过点E作EG⊥x轴交直线CD于点G，连接CE， 设点E（a,a2-2a-6），则点G， ∴EG==， ∵平行四边形CDEF的面积是13， ∴， ∵， ∴， 解得：a=-1或（舍去）， ∴点E（-1，-3）， ∵点D（-2，2）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点C（1，0）， ∴点E（-1，-3）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点F（2，-5）； （3）设直线DF的解析式为y=mx+n, 联立得：， 整理得：x2-（2+m）x-n-6=0， ∴xD+xF=2+m, ∵四边形CDEF为平行四边形， ∴xC-xD=xF-xE，yC-yD=yF-yE， ∴xE=xF+xD-xC=2+m-1=m+1， yE=yF+yD-yC=mxF+n+mxD+n=m（xF+xD）+2n=m（2+m）+2n, ∵点E在抛物线上， ∴m（2+m）+2n=（m+1）2-2（m+1）-6， 解得：n=， ∴直线DF的解析式为y=mx-m-=m（x-1）-， ∴直线DF过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $