第五章 二次函数 单元练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级上册数学第五章二次函数单元卷，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识点，基础与综合题结合，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数定义（题1）、图像开口（题2）、动点问题（题10）|结合图像辨析，梯度考查几何直观| |填空题|5/15|抛物线与x轴交点（题13）、实际抛物线应用（题14）|联系生活情境，强化数据意识| |解答题|7/55|矩形面积最值（题18）、销售利润（题21）、自主学习解不等式（题20）|综合应用问题，培养推理能力与模型观念，适配中考命题趋势|

北师大版九年级上册数学第五章二次函数单元练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数属于二次函数的是(    ) A． B． C． D． 2．下列二次函数的图象中，开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，函数的图象与x轴相交于A，B两点，其中点A坐标为，顶点为点．则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数y有最小值4 C．当时，函数y随自变量x增大而减小 D．点的坐标为 4．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 5．已知点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（    ） A．64 B．32 C．16 D．以上都不对 8．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．判断方程的根的情况是（    ） A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 10．如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数的二次项系数是 ___________． 12．点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 13．如果抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是_____． 14．如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是___________米．    15．在平面直角坐标系中，已知抛物线：．若，，为抛物线上三点，且总有．结合图象，则m的取值范围是______． 三、解答题 16．已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 17．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，其顶点纵坐标为． (1)求的值； (2)求，两点的坐标； (3)以，为一组邻边作，则点关于轴的对称点是否在该抛物线上？请说明理由． 18．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点，点P是直线下方抛物线上的一点，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 20．自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：或． (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号） ①转化思想     ②分类讨论思想    ③数形结合思想 (2)一元二次不等式的解集为 ． (3)用类似的方法解一元二次不等式：． 21．某商场销售成本为每件40 元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10 件．设销售单价为x（）元． (1)写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式． (2)设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大． (3)超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润=毛利润-经营费用）最大，超市对该商品定价为______元，最大毛利润为______元． 22．如图， 已知在 Rt 中， ， 点的坐标为 ，点 在 轴正半轴上， 点 在 轴正半轴上． (1)求经过 两点的直线的表达式． (2)求图像经过 三点的二次函数的解析式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《北师大版九年级上册数学第五章二次函数单元练习》参考答案 1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．B 11． 12． 13． 14．2.2 15． 16．y的最大值为6，最小值为 17．(1) (2)的坐标 ，的坐标 (3)在抛物线上，理由： 由，令，解得：， ∴ 如图所示，连接交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∵的坐标 ，的坐标 ； ∴对角线交点的坐标为)，抛物线的对称轴为直线， ∴点，关于对角线交点)对称， ∵，则 又∵点 是点关于轴的对称点， ∴ 当时，， ∴在抛物线上． 18．(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 19．(1) (2)，面积的最大值 20．(1)①③ (2) (3)或． 21．(1) (2)，当时，毛利润w随x的增大而增大 (3)75，5000 22．(1) (2) 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $