1.2 集合间的基本关系 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集、集合相等、空集的定义与性质，结合Venn图直观表示，构建从概念辨析到性质应用，再到判断子集个数、求参数等考向的完整学习支架。 资料以考点-考向-例题-练习为主线，通过定义对比培养抽象能力，参数求解题型强化推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过例题解析与练习巩固知识，查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.2集合间的基本关系 知识归纳与题型总结 考点01 子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 考点02 真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 注：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 考向01 判断集合的子集（真子集）的个数 【例1】满足⫋⊆的集合M有几个？ 考向02 求集合的子集（真子集） 【例2】写出集合的所有子集和真子集． 考向03 判断两个集合的包含关系 【例3】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 考向04 根据集合的包含关系求参数 【例4】已知集合，． (1)若, 求a的取值范围； (2)若, 求a的取值范围． 【对点1】满足条件的集合A的个数为______． 【对点2】满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【对点3】集合与集合的关系是______. 【对点4】设，且，则　________　. 考点03 集合相等的概念 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 考向01 判断两个集合是否相等 【例1】下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 考向02 根据两个集合相等求参数 【例2】已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【对点1】（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【对点2】已知且，集合，．若，则______． 考点04 空集的概念 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 注：注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 考向01 空集的概念以及判断 【例1】下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 考向02 空集的性质及应用 【例2】已知函数，若，则的取值范围为______. 【对点1】已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【对点2】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 考点05 Venn图的优点及其表示 1．优点：形象直观. 2．表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 一、选择题 1．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 3．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 4．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 9．对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 10．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 二、填空题 11．设集合，，且，则________. 12．若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________ 13．若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 14．下列命题中正确的有　________　(写出全部正确命题的序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 15．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 三、解答题 16．已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 17．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 18．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 20．已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.2集合间的基本关系 知识归纳与题型总结 考点01 子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 考点02 真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 注：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 考向01 判断集合的子集（真子集）的个数 【例1】满足⫋⊆的集合M有几个？ 【答案】7个 【分析】根据给定条件，确定集合中元素情况，再按含有的元素个数依次写出即可. 【详解】依题意，，集合中至少含有中的一个， 集合中含有3个元素时：； 含有4个元素时：；含有5个元素时：， 所以集合M共有7个． 考向02 求集合的子集（真子集） 【例2】写出集合的所有子集和真子集． 【答案】集合A的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}； 集合A的所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}. 【分析】按含集合中的元素个数分类顺序依次写出子集，进而写出所有真子集． 【详解】由0个元素构成的子集：； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1，2}，{1，3}，{2，3}； 由3个元素构成的子集：{1，2，3}． 因此集合A的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}； 集合A的所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}. 考向03 判断两个集合的包含关系 【例3】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，满足的数必满足，所以中的任何元素都属于，即. 考向04 根据集合的包含关系求参数 【例4】已知集合，． (1)若, 求a的取值范围； (2)若, 求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 若 ，由图可知 （2） 若,由图可知,. 【对点1】满足条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，共个. 【对点2】满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 【对点3】集合与集合的关系是______. 【答案】 【详解】由，则. 【对点4】设，且，则　________　. 【答案】 【详解】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，即是方程的根. 将代入方程得，解得. 考点03 集合相等的概念 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 考向01 判断两个集合是否相等 【例1】下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素无序性和集合相等判断①；根据子集定义判断②；根据空集的性质判断③和④；根据元素与集合关系判断⑤. 【详解】①：集合的元素具有无序性，和的元素完全相同，两集合相等，正确； ②：任何集合都是自身的子集，故正确； ③：是包含元素0的非空集合，不含任何元素，二者不相等，故错误； ④：空集是任何集合的子集，故正确； ⑤：0是集合中的元素，故正确. 考向02 根据两个集合相等求参数 【例2】已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 【对点1】（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【答案】AD 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 【对点2】已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 考点04 空集的概念 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 注：注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 考向01 空集的概念以及判断 【例1】下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 考向02 空集的性质及应用 【例2】已知函数，若，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由求得，再由的解的情况得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以可设，即， 因为，所以， 所以，所以，， 当时，，令得，且， 此时，不符合题意，所以， 当时，，， 要满足，则有解，且其解不是和， 所以判别式，解得或，因为，所以或， 所以即的取值范围为. 【对点1】已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 【对点2】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 考点05 Venn图的优点及其表示 1．优点：形象直观. 2．表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 一、选择题 1．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 2．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合真子集的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 3．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 4．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 5．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 6．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 7．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 8．若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 9．对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【分析】根据集合新定义，分别求出当子集为单元素、两个元素、三个元素以及四个元素时的“绝对交错和”，即可求得答案. 【详解】对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 10．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52 二、填空题 11．设集合，，且，则________. 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 12．若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________ 【答案】 【详解】 因为所有三元子集中每个元素共出现3次， 所以所有三元子集的元素之积， 所以， 用120分别除以中的元素即得． 13．若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【答案】 2 【详解】由题意可知，即集合与集合的元素完全相同，因为，所以； 又集合的元素为，若，则无意义，因此， 故仅能，即； 将代入，得， 此时集合，集合， 由元素对应相等可得，. 因此. 14．下列命题中正确的有　________　(写出全部正确命题的序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①③ 【分析】逐个判断集合间的包含关系与元素与集合的属于关系，注意集合元素的类型与、符号的正确使用. 【详解】对于①，的元素都在中，故，①正确. 对于②，菱形不一定是矩形（矩形要求四个角都是直角，而菱形只需四边相等），故菱形不是矩形的子集，②错误. 对于③，，故，③正确. 对于④，的元素是有序数对，而的元素是数和，元素类型不同，故两个集合之间不存在包含关系，④错误. 对于⑤，，⑤错误. 对于⑥，，⑥错误. 15．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 三、解答题 16．已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 17．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【答案】，， 【分析】根据，可得A中，解出的值即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 18．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，因为， 此时，都有， 所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则，解得. 19．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 20．已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)不是的3元好子集，是的3元好子集. (2)20 (3)证明见解析，等号成立的条件为，且 【分析】（1）根据“好子集”的定义，检查集合中两个元素的和在不超过时是否仍属于该集合． （2）设，其中，按的取值分类讨论，求和的最小值． （3）先证明对任意，都有，再两两相加得到不等式．最后根据等号成立时的结构推出必为等差形式，并验证该形式满足条件． 【详解】（1）①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． （2）设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $