1.2 集合间的基本关系【知识清单+6大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系核心知识点，以Venn图为直观工具引入，系统梳理子集、真子集、集合相等的定义、性质及符号表示，结合空集特殊性与子集个数结论，构建从直观到抽象的知识学习支架。 资料特色在于知识清单结构化呈现，典型例题分类覆盖关系判断、子集求解、参数问题等类型，通过Venn图培养几何直观（数学眼光），逻辑推理训练（数学思维），符号与图表结合强化表达（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

1.2 集合间的基本关系 第一部分：知识清单 知识点1：图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 第二部分：典型例题汇总 典例一 判断两个集合的包含关系 典例二 求集合的子集(真子集) 典例三 判断集合的子集(真子集)的个数 典例四 根据两个集合相等求参数 典例五 空集的性质及应用 典例六 根据集合的包含关系求参数 第三部分：典型例题 典例一 判断两个集合的包含关系 1．（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简三个集合，再根据集合中元素的关系即可得解. 【详解】， ， ， 当时，比较，与， 可知与表示的数完全相同，∴， 只相当于中当为偶数时的情形，∴. 综上可知. 故选：A 3．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】要熟记特殊的数集符号，结合数的分类一一求解即可. 【详解】表示正整数集，，①正确； 是有理数集，是无理数，，②错误； 集合中的元素是，元素是一个方程，而是一个数， ，③错误； 中不含有元素，，④错误； 是任何一个集合的子集，，⑤正确； 是整数集，中的0是整数，，⑥正确. 故选：A. 4．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，判断选项即可. 【详解】根据元素与集合的关系可知，A正确； 根据集合与集合的关系可知，是不正确的，应为， 是正确的，是正确的，故B不正确，CD正确. 故选：ACD. 5．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知集合，集合，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不正确 【答案】A 【分析】将变形为，可得出. 【详解】， 而集合. 故选：A. 6．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【详解】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集. 故选：B 典例二 求集合的子集(真子集) 7．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 8．（25-26高一·全国·寒假作业）已知集合满足，求集合及其个数． 【答案】 集合为， 集合的个数为8． 【分析】根据已知条件，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． 9．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 10．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 11．（25-26高一上·四川成都·期中）已知集合，则的真子集个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解方程可得集合，根据集合中元素个数与真子集个数的关系即可求解. 【详解】已知集合，则的真子集个数为. 故选：C 12．（2026·湖南·模拟预测）若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】因为集合，所以的子集个数为． 典例三 判断集合的子集(真子集)的个数 13．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 14．（2026高三上·山西临汾·专题练习）已知集合，则集合且的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】结合题意求出集合，再求解子集个数即可. 【详解】因为，且集合且， 所以，则集合有个子集，故B正确. 故选：B 15．（2026高一·全国·专题练习）已知集合满足，则符合条件的集合个数有______个 【答案】7 【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合真子集的个数即可得解. 【详解】因为， 所以中含有元素， 故符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数， 故有个， 故答案为：7 16．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 典例四 根据两个集合相等求参数 17．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【答案】 2 【详解】由题意可知，即集合与集合的元素完全相同，因为，所以； 又集合的元素为，若，则无意义，因此， 故仅能，即； 将代入，得， 此时集合，集合， 由元素对应相等可得，. 因此. 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 【答案】 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 20．（2026高三·全国·专题练习）设，，其中，若，则________． 【答案】1 【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解. 【详解】，由元素互异性得：，且． ，由元素互异性得：． 若集合中，则，此时，， 由得，所以，此时，符合要求； 若集合中，则，此时， ，这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知，，故． 典例五 空集的性质及应用 21．（25-26高一·全国·寒假作业）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 22．（25-26高一上·河南南阳·期中）（多选）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 23．（25-26高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 24．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 典例六 根据集合的包含关系求参数 25．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先解方程得，再根据集合间的基本关系，分类讨论计算参数即可. 【详解】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 26．（25-26高一上·西藏昌都·期中）设集合或，，且， 则实数的取值范围______.  （用集合表示） 【答案】或 【分析】首先判断，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可. 【详解】因为或，，且， 显然，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为或. 故答案为：或 27．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 【答案】 【分析】解出，由题意知或或，由此即可解出实数的值. 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 28．（25-26高一上·河南·期中）（多选）已知集合满足，且，则的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．-1 D．1 【答案】AC 【分析】由题意，按照和分类讨论，根据集合元素的性质求值即可. 【详解】由题意可知，，. 当时，解得或； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足题意； 当时，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去. 综上，或. 故选：AC. 29．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知集合，，且，则实数a可能的取值是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】AB 【分析】化简集合，然后根据结合集合的包含关系列出关系式，进而求出参数的值. 【详解】因为方程的解集为，所以. 由于， 所以或或或 当时，方程无解， 即：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，此时无解； 当时，得：，此时无解. 综上所述可得：的取值范围是. 故选：AB 30．（25-26高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 31．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 32．（25-26高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 第四部分：课后检测 1．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 2．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 3．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 5．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 6．（2026高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 【答案】A 【分析】先求出集合，根据分、讨论求得，进而判断各选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合，则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，真子集为7个，故C错误，D错误； 故选：A 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 8．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知集合，集合，若，则由实数a组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集的概念可得或或，再分别求出的值即可. 【详解】由题意，或或， 若，则方程无解，所以； 若，则，解得； 若，则，解得. 所以的值为0，和1. 故选：D 9．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）（多选）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 10．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 11．（25-26高一上·浙江·阶段检测）（多选）已知集合，集合，则集合N可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合的包含关系确定各选项是否正确. 【详解】因为，且， 所以集合中必含有元素，可能含有元素，但不能同时包含. 故选项AC正确. 故选：AC 12．（2026高一·上海·专题练习）已知集合，，，则集合的子集个数为__________. 【答案】8 【分析】求出集合的元素个数即可得答案. 【详解】因，， 则， 故集合的子集个数为个. 故答案为：8. 13．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，若，则的值为______． 【答案】8 【分析】结合集合之间的包含关系的定义，由，得，从而得出答案． 【详解】由，得，故， 此时满足． 故答案为：8 14．（25-26高一·全国·寒假作业）已知，，若集合，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据集合相等，结合集合的确定性、互异性，分析求解，即可得答案. 【详解】根据题意，，，所以， 故，则， 故，则，解得． 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以． 故答案为：1 15．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 16．（2026高一·全国·专题练习）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 第一部分：知识清单 知识点1：图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 第二部分：典型例题汇总 典例一 判断两个集合的包含关系 典例二 求集合的子集(真子集) 典例三 判断集合的子集(真子集)的个数 典例四 根据两个集合相等求参数 典例五 空集的性质及应用 典例六 根据集合的包含关系求参数 第三部分：典型例题 典例一 判断两个集合的包含关系 1．（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知集合，集合，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不正确 6．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 典例二 求集合的子集(真子集) 7．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一·全国·寒假作业）已知集合满足，求集合及其个数． 9．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，写出集合的所有子集． 10．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·四川成都·期中）已知集合，则的真子集个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2026·湖南·模拟预测）若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 典例三 判断集合的子集(真子集)的个数 13．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 14．（2026高三上·山西临汾·专题练习）已知集合，则集合且的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 15．（2026高一·全国·专题练习）已知集合满足，则符合条件的集合个数有______个 16．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 典例四 根据两个集合相等求参数 17．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 20．（2026高三·全国·专题练习）设，，其中，若，则________． 典例五 空集的性质及应用 21．（25-26高一·全国·寒假作业）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 22．（25-26高一上·河南南阳·期中）（多选）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 24．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 典例六 根据集合的包含关系求参数 25．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 26．（25-26高一上·西藏昌都·期中）设集合或，，且， 则实数的取值范围______.  （用集合表示） 27．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 28．（25-26高一上·河南·期中）（多选）已知集合满足，且，则的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．-1 D．1 29．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知集合，，且，则实数a可能的取值是（   ） A． B．0 C． D．2 30．（25-26高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 31．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 32．（25-26高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 第四部分：课后检测 1．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 2．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 8．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知集合，集合，若，则由实数a组成的集合为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）（多选）若集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 11．（25-26高一上·浙江·阶段检测）（多选）已知集合，集合，则集合N可以是（   ） A． B． C． D． 12．（2026高一·上海·专题练习）已知集合，，，则集合的子集个数为__________. 13．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，若，则的值为______． 14．（25-26高一·全国·寒假作业）已知，，若集合，则的值为________． 15．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 16．（2026高一·全国·专题练习）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $