第1章 一元二次方程 单元检测训练卷 2026—2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册一元二次方程单元检测卷，22题分单选、填空、解答，分层覆盖基础解法到综合应用，通过梯度设计巩固知识并发展运算、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、解法（开平方法、配方法等）|单选1-4直接考查方程求解，夯实运算能力| |中档|根的判别式、实际应用（增长率、利润问题）|解答17利润问题构建方程模型，体现应用意识| |提升|根与系数关系、新定义问题|解答22新定义"理想方程"，发展创新思维与推理能力|

第1章一元二次方程单元检测同步训练卷苏科版2026—2027学年九年级数学上册 时间:90分钟 满分:120分 姓名:_______班级:________考号:___________ 考卷信息: 本卷试题共22题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 2．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．南漪湖是宣城境内东方白鹳、白鹭等多种候鸟聚集地．2023年冬季观测到白鹭200只，经过生态修复，2025年白鹭总数达到了288只，假设这两年白鹭数量的年平均增长率为，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 7．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 8．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 9．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 10．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，满分12分） 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 13．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 14．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三．解答题（共8小题，总分68分，其中15—18每题7分，19—22题每题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．解方程 (1) ； (2)； (3)； (4)． 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 17．某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 18．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 19．已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 20．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 21．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 22．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A B A B C D A 11．14 12． 13．3 14． 15．【详解】（1）解：， 开方得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴或， 解得； （3）解：， 因式分解得，即， 解得； （4）解：， 开方得， ∴或， 解得，． 16．【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 17．【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 18．【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 19．【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； (2)①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 20．【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 21．【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 22．【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $