第1章反比例函数单元检测卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本单元检测卷通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，全面覆盖反比例函数概念、图像性质及实际应用，梯度合理，注重数学思维与建模能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数定义、解析式、图像象限|选择题1-6题考查概念辨析，填空题11-14题强化符号意识，培养抽象能力| |提升层|图像平移、性质应用、实际情境关联|选择题7-10题结合酒精检测仪等情境，填空题15-18题渗透模型意识，发展推理能力| |综合层|函数与几何综合、跨学科建模|解答题22-24题（如杆秤原理）融合杠杆知识，培养创新意识与应用能力，体现数学语言表达现实世界|

第1章反比例函数单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C． D． 2．下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 4．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 5．类比二次函数图象的平移，把双曲线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为（     ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 9．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 10．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 二、填空题（共16分） 11．从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是______． 12．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 13．已知反比例函数的图象经过点，则______． 14．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 15．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为_________A． 16．已知反比例函数图像经过、，如果，，那么_______0．（填“”或“”） 17．某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 18．每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 三、解答题（共64分） 19．已知． (1)化简； (2)已知反比例函数的图象经过点，求的值． 20．如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)观察图像，请直接写出不等式的解集． 21．李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果将正比例函数的图像向下平移，得到的新函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与y轴交于点C，求的面积； (3)在（2）的条件下，点D是坐标平面内一点，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 23．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 24．杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当每增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明的取值范围． 参考答案 1．C 【分析】先根据面积公式推导出函数关系式，再结合边长和高都是正数确定函数图像所在的象限． 【解答】解：根据题意可知，，即， 可知函数图像为位于第一象限的反比例函数． 2．D 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【解答】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 3．A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【解答】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 4．D 【解答】解：A、由图象得，当时，，故A正确； B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确； C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确； D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确． 5．D 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：双曲线向右平移2个单位可得到，， 再把的图象向上平移1个单位即可得到，，即． 6．A 【分析】根据反比例函数比例系数与图象位置的关系列不等式求解即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得：． 7．B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【解答】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 8．A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【解答】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 9．B 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【解答】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 10．D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【解答】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 11． 【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点落在反比例函数图象上的结果，最后根据概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中点P在反比例函数图象上的有4种结果：， ∴点落在反比例函数图象上的概率是． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【解答】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 13． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入已知反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【解答】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入得： ， 等式两边同乘得： ， 等式两边同除以得：， 移项得：． 14．1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【解答】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 15．6 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式；再令，求出对应的I的值即可． 【解答】解：设反比例函数式， 把代入反比例函数式， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是反比例函数性质，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．先根据，判断出点、都在第二象限，且y随x的增大而增大，再根据反比例函数性质即可得出结论． 【解答】解：反比例函数图像经过、，且，， ∴点、都在第二象限，且y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，再根据，解出即可求解． 【解答】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即， 解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 18． 【分析】设与之间的函数表达式为，利用待定系数法求出与之间的函数表达式为，把代入，求出的值即可． 【解答】解：∵组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为7厘米， ∴， 解得：， ∴与之间的函数表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为厘米． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，反比例函图象点的坐标特征，因式分解等知识点，熟练运用运算法则运算是解题的关键． （1）利用因式分解对分式进行通分，再运算化简即可； （2）把点代入得到关于的式子后，代入运算即可． 【解答】（1）解：； （2）解：∵在反比例函数上， ∴把，代入可得：， 整理得：， ∴． 20．(1)，． (2)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）将点代入双曲线，求出的值，得出双曲线的函数解析式．将代入所得解析式求出m的值，再用待定系数法求出和b的值，从而得出直线的函数解析式． （2）根据A、B点的横坐标结合图像位置关系即可进行解答． 【解答】（1）解：双曲线经过点， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为：． ∵点也在， ∴， ∴，则 又∵点，点在直线上， ∴ 解得：，， ∴直线的解析式为：． （2）解：根据图像，可以看出： 当B点到O点之间，直线在双曲线上方，即， 此时：， 当直线在A点右面时，直线在双曲线上方，即， 此时：． 综上：或． 21．(1)函数解析式为，自变量的取值范围是； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范围； （2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积． 【解答】（1）解：千米米， 根据路程公式：路程速度时间，可得， 整理得函数解析式为， 由题意可知， 当时，， 当时，， ∵反比例函数在时，随增大而减小， ∴的取值范围是； （2）解：设点的坐标为， 由轴，轴，可得四边形是矩形， 矩形面积， ∵点在函数的图象上， ∴， 即四边形的面积为． 22．(1) (2)3 (3)或或． 【分析】（1）先根据正比例函数求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式． （2）先求出点B的坐标，利用一次函数平移的性质设出平移后的解析式，利用待定系数法求出平移后的解析式，进而可求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，令直线与y轴交于点E，求出点E的坐标，最后根据求出即可． （3）设出点D的坐标，然后分三种情况求解即可． 【解答】（1）解：把点代入， 则， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：将代入， 则， ∴， ∴， 设正比例函数的图像向下平移后的一次函数解析式为：， 把代入， 则， 解得：， ∴平移后的一次函数解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 令直线与y轴交于点E， 令，则， ∴， ∴， ∴ （3）解：设点，然后分三种情况求解： 当以为对角线时，则的中点坐标为：，即， 则，， ∴，， ∴， 当以为对角线时，则的中点坐标为：，即， 则，， ∴，， ∴， 当以为对角线时，则的中点坐标为：，即， 则，， ∴，， ∴， 综上：当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，则或过． 23．(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【解答】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 24．(1) (2)每增加相同的数值，的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）把代入杠杆关系式，整理得到关于的一次函数，根据一次函数自变量均匀增减时因变量增量恒定，判定刻度线均匀； （3）求得，由得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【解答】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即． （2）解：由（1）知，， 则，即， 可得， 每当增加一克，增加， 故杆秤上的刻度线是均匀的，当每增加相同的数值，的增加量是否也相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $