第2章 一元二次方程 单元同步测试卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元复习同步练，通过选择、填空、解答三级分层设计，实现概念理解到综合应用的递进巩固，适配日常教学与阶段测评需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-5/填空1-3）|一元二次方程定义、基本解法|单一知识点直接应用，如方程定义辨析、直接开平方法，培养抽象能力| |进阶层（选择6-9/填空4-6）|判别式、根与系数关系、简单应用|公式灵活应用与小综合，如根的存在性判断、几何边长计算，发展推理意识| |提高层（解答1-5）|综合解法、实际问题建模|多知识点融合与情境应用，如利润问题、几何面积计算，强化模型意识与运算能力|

第2章 一元二次方程 一．选择题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x2+2y﹣1＝0 B．3x2﹣2x+1＝0 C． D．ax2＝5 2．（4分）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+1＝c﹣4可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（　　） A．c≥4 B．c＞4 C．c≥0 D．c＞0 3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 4．（4分）利用公式法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0，得两解分别为x1，x2，且x1＞x2，则x1的值为（　　） A． B． C． D． 5．（4分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+3x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 6．（4分）关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a D．a 7．（4分）用配方法解方程x2﹣4x＝6时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝10 8．（4分）若x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1•x2的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5 9．（4分）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）若x，y是自然数，且满足x2+y2﹣4x+2y＝﹣5，则xy＝ 　 　 ． 2．（4分）关于x的方程有实数根，则k的取值范围：　 　 ． 3．（4分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　 　 ． 4．（4分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　 　 ． 5．（4分）已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝　 　 ． 6．（4分）一块面积为875cm2的矩形材料，四个角各剪去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为25cm，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为xcm，则可列方程为 　 　 ． 三．解答题（共5小题，满分60分） 1．（15分）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0； （2）x2+10x+16＝0； （3）（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 2．（10分）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0． （1）求证：这个方程总有实数根； （2）若方程的实数根都是整数，求整数k的值． 3．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？ 4．（12分）如图，老张想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长不超过35m）围成一个矩形大鹅养殖场ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料） （1）当养殖场的面积为640m2时，求边AB的长； （2）能否围成面积为648m2的养殖场，若能围成，求此时边AB的长；若不能，请说明理由． 5．（13分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量（件） 　 　 销售玩具获得利润 （元） 　 　 （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当a＝0时，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 2．【解答】解：由4x2﹣4x+1＝c﹣4得到：x2﹣x1， 所以（x）21． ∵关于x的一元二次方程4x2﹣4x+1＝c﹣4可以用直接开平方法解， ∴1≥0， ∴c≥4． 故选：A． 3．【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0， ∴x2﹣8x＝5， 则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21， ∴a＝﹣4，b＝21， 故选：A． 4．【解答】解：公式法．∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24， ， ∴，， ∵，∴x1＞x2， ， 故选：A． 5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+3x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项为0， ∴k2﹣2k﹣3＝0且k+1≠0， ∴（k﹣3）（k+1）＝0且k+1≠0， ∴k﹣3＝0． 解得k＝3． 故选：B． 6．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣a）＜0， 解得，a＜0， 故选：A． 7．【解答】解：x2﹣4x＝6， x2﹣4x+4＝10， （x﹣2）2＝10， 故选：D． 8．【解答】解：∵x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝6， ∴x1•x26． 故选：A． 9．【解答】解：设这个航空公司有机场n个 10 n＝5或n＝﹣4（舍去） 故选：B． 二．填空题 1．【解答】解：x2+y2﹣4x+2y＝﹣5， x2﹣4x+4+y2+2y+1＝0， （x﹣2）2+（y+1）2＝0， x﹣2＝0，y+1＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， 则xy＝2﹣1． 故答案为：． 2．【解答】解：当k＝2时，原方程为，解得，有实数根； 当k≠2时，原方程为一元二次方程， 则， 解得， 又∵k≤3， ∴， ∴． 综上，k的取值范围为， 故答案为：． 3．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 4．【解答】解：解方程x2﹣2x+12＝0得：x＝3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14， 故答案为：14． 5．【解答】解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8， 整理，得 （t﹣4）（t+2）＝0， 解得t＝4或t＝﹣2（舍去）， 则a2+b2＝4． 故答案为：4． 6．【解答】解：设长方体盒子高为xcm，则宽为3xcm，被剪去的正方形边长为xcm； 根据题意列方程：10x2+125x＝875； 故答案为：10x2+125x＝875． 三．解答题 1．【解答】解：（1）整理得x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝0，x2＝3； （2）整理得（x+2）（x+8）＝0， ∴x+2＝0或x+8＝0， ∴x1＝﹣8，x2＝﹣2； （3）整理得3x2﹣5x﹣6x+10＝1， ∴3x2﹣11x+9＝0， ∴a＝3，b＝﹣11，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0， ∴， ∴，． 2．【解答】解：（1）当k＝0时，原方程即为﹣x+2＝0，解得x＝2，方程有实数根； 当k≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4k（2k+2）＝9k2+6k+1﹣8k2﹣8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有实数根； 综上所述，这个方程总有实数根； （2）由（1）得，当k＝0时，方程的根为x＝2，此时符合题意； 当k≠0时，设方程的两个实数根为x1，x2， ∴， ∵方程的实数根都是整数，即x1，x2都是整数， ∴x1+x2也是在整数， ∴也是整数， ∴k＝±1； 综上所述，k＝0或k＝±1． 3．【解答】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（10+x）件， 依题意，得：（40﹣x）（10+x）＝600， 整理，得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． ∵为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存， ∴x的值应为20． 答：若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元． 4．【解答】解：（1）设边AB的长为xm．则BC边长（70+2﹣2x）m， x（70+2﹣2x）＝640， 解得：x1＝20，x2＝16（不合题意，舍去）， 答：边AB的长为20m； （2）假设能围成，则x（70+2﹣2x）＝648， 解得x1＝x2＝18， 则AD＝36m，因为外墙长不超过35m，不能围成面积为648m2的养殖场． 5．【解答】解：（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，销售量为600﹣10（x﹣40）＝（1000﹣10x）件， ∴销售该品牌玩具获得利润w＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000． 故答案为：1000﹣10x；﹣10x2+1300x﹣30000． （2）依题意得：﹣10x2+1300x﹣30000＝10000， 化简得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80． 答：该玩具销售单价应定为50元或80元． 学科网（北京）股份有限公司 $