第五章 二元一次方程组“教学评”一体化教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计围绕二元一次方程组展开，涵盖概念、解法（代入消元、加减消元）、应用（鸡兔同笼等）及与函数联系，通过老牛驮包裹等生活情境导入，衔接一元一次方程旧知，构建知识支架。 以“教学评”一体化为特色，情境导入培养数学眼光，解法类比发展数学思维，应用问题提升数学语言表达，如鸡兔同笼对比不同解法。助力教师高效教学，提升学生抽象、推理与模型意识。

“教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.1 认识二元一次方程组 课 型 新授课√ 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 本课时是第五章第一课时，主要学习二元一次方程和的二元一次方程组概念，二元一次方程和的二元一次方程组的简单运用。本课时内容是在初一已学习过的一元一次方程的基础上来提升，它是学习本章最基础的知识点，也为学习三元一次方程奠定基础。 学习者 分析 学生已经在前面已经认识过方程，能解简单的方程，对本节课内容的学习会比较轻松。但八年级学生在生理上和心理上都属于过渡期，部分学生的表现欲望不够强，且存在一定的学习压力，探索和运用知识的能力有待加强。 学习目标 1、通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念,并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解. 2、发展学生的归纳、观察和概括的能力,同时培养学生运用数学知识解决实际问题的能力. 3、激发学生的求知欲望,培养他们勇于探索的精神. 教学准备 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：新课导入 1、这节课开始我们将进一步来学习有关方程的问题.我们都知道牛和马是人类最忠诚的帮手,在那个非机械化的年代,是它们为我们驮运货物,帮助农民耕地……活干多了,牢骚也来了.请同学们看下面的故事,同时请两个同学来为它们配音.(多媒体出示) （1） (显示对话,老牛与小马,学生配音) （2） 老牛喘着气吃力地说:“累死我了.”小马说:“你还累,这么大的个,才比我多驮了2个.”老牛气喘吁吁地说:“哼,我从你背上拿来1个,我的包裹数就是你的2倍!”小马不相信地说:“真的?” （3） 2‘我们已经学习了一元一次方程,你能举一个一元一次方程的例子吗? （1） 出示动漫的幻灯片； （2） 提出问题。 （1） 观看动漫； （2） 认真思考教师提出的问题。 （1）以动漫的形式引出方程问题,调动学生的积极性； （2）让学生再次经历建模的同时,以相对轻松的状态进入后面的学习； （3）通过自主探究来认识体会二元一次方程建模思想的过程,也是学生完成从一元到多元的认识转化过程. 活动二：认识二元一次方程 ①怎样列一元一次方程解决这个问题呢? ②如果设两个未知数,怎样解决这个问题呢? ③怎样列出教材第104页引例中的方程? 小结:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程. （1） 出示问题的幻灯片； （2） 提出问题； （3） 引导学生回答问题； （4）并对学生的回答做出评价。 （1） 自己先阅读教师提出的问题； （2） 独立思考教师提出的问题； （3） 与同伴交流。 （1）为了让学生尽快理解新知识； （2）教学通过类比的方法,引导学生与一元一次方程相比较,逐步理解二元一次方程的概念； （3）同时培养学生归纳概括能力。 活动三：认识二元一次方程组 问题1 在前面的实际问题中,这两个方程中x的含义相同吗?分别是什么含义?y呢? 问题2 若x,y同时满足这两个方程,用什么方式把这两个方程联立起来,即写成什么形式呢? 问题3 如果两个方程中相同字母所代表的含义相同,把它们联立起来,就组成了二元一次方程组,你能归纳出二元一次方程组的概念吗? 问题4 根据二元一次方程组的概念回答问题: ①二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗? ②一次方程指的是“含未知数的项的次数是1”还是“各个未知数的次数是1”? ③二元一次方程组中一定只能含有两个一次方程吗? （1）课件出示相关问题； （2）带领学生一起理清题意； （3）组织学生分组讨论。 （1）在教师带领下认真理解题意，独立思考； （2）小组合作讨论，回答教师提出的问题。 （1）根据学生的回答评价学生对二元一次方程组的理解和判断； （2）巡视查看小组合作讨论情况，适时对各小组进行指导和评价； （3）将方程返回实际问题中理解研究,体现数学与生活实际的联系； 活动四：二元一次方程和二元一次方程组的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.如x=6,y=2是方程x+y=8的一个解,记作同样也是方程x+y=8的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解. 例如:就是二元一次方程组的解. 小结：二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.(给两分钟时间巩固理解概念) （1）课件出示慨念，并慨念； （2）带领学生一起加深慨念的理解。 （1）在教师引导下理解慨念，口述慨念； （2）把慨念记下来。 （1）二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验,这对数只有满足方程组中的每一个方程,这对数才能是这个方程组的解. （2）一般情况下,二元一次方程的解有无数个,而二元一次方程组的解是唯一的.但当对二元一次方程的解加以限制时也可能变为有限个了,如x+y=2的正整数解只有 活动五：练习与作业 随堂练习 习题5.1 附：分层练习作业单 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成练习。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 1　认识二元一次方程组 1.认识二元一次方程 2.认识二元一次方程组 3.二元一次方程和二元一次方程组的解 教学反思 “教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.2.1 求解二元一次方程组（代入消元法） 课 型 新授课√ 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 本课时是第五章第二节第1课时，主要学习用代入消元法解二元一次方程组。本课时内容是在初一已学习过的求解一元一次方程的基础上来提升，它是学习本章最基础的知识点，也为学习三元一次方程奠定基础。 学习者 分析 学生已经在前面学习过解简单的方程，对本节课内容的学习会比较轻松。但八年级学生在生理上和心理上都属于过渡期，部分学生的表现欲望不够强，且存在一定的学习压力，探索和运用知识的能力有待加强。 学习目标 1、会用代入消元法解二元一次方程组. 2、培养学生独立思考问题的能力,同时能对复杂的问题有计划、有步骤地处理. 3、在探索新知的过程中,体会数学的趣味性,进而养成善于思考、勤于钻研的好习惯. 教学准备 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：新课导入 上节课我们讨论了老牛和小马驮的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程组到底谁的包裹多呢?这就需要解这个二元一次方程组.一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢? （1）出示问题幻灯片； （2）组织学生小组讨论； （1） 认真思考教师提出的问题； （2） 小组讨论，合作探究，完成自主学习。 （1） 通过提出这个实际问题,得出解方程组的必要性； （2） 充分调动学生的积极性； （3） 发挥团结合作,激发学生学习兴趣。 活动二：解二元一次方程组 问题1 在老牛和小马的问题中,二元一次方程组是怎样变成一元一次方程的? 问题2 在这个变化的过程中未知数的个数发生了怎样的变化? 问题3 求出一个未知数的值后,第二个未知数的值可如何求出? （1）出示问题的幻灯片； （2）提出问题； （3）引导学生回答问题； （4）并对学生的回答做出评价。 （1）自己先阅读教师提出的问题； （2）独立思考教师提出的问题； （3）与同伴交流； （4）展示自己的解法。 （1） 通过自学老牛和小马的问题,锻炼学生的自学能力； （2） 让学生经历利用代入消元法将方程组转化为方程的过程； （3）运用数学中“化未知为已知”的化归思想,使问题得到解决,培养学生的自主探索意识、合作交流的精神,启发学生并跟学生一起探讨（4）“化未知为已知”的方法,这样进行教学既能及时发现学生的闪光点,又能培养学生良好的合作关系,提高学生的学习兴趣。 活动三：新知识应用 　解方程组 解:将②代入①,得3(y+3)+2y=14, 3y+9+2y=14,5y=5,y=1. 将y=1代入②得x=4. 所以原方程组的解是 【思考】　(1)将y=x-3代入①可以吗? (2)还有其他的代入方法吗? (3)在代入的过程中要注意什么? 　解方程组 解:由②得x=13-4y,③ 将③代入①,得2(13-4y)+3y=16, 26-8y+3y=16,-5y=-10,y=2. 将y=2代入③得x=5. 所以原方程组的解是 【教师总结】　上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.主要步骤是:①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;②将这个代数式代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程;③解这个一元一次方程;④把求得的一次方程的解代入方程组中的任一方程,求得另一个未知数的值,组成方程组的解,这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法. （1）课件出示例题，读题； （2）带领学生一起书写解题过程； （3）引导学生总结解题过程。 （1）在教师带领下认真理解题意，独立思考； （2）跟着教师书写解题过程； （3）自己先总结解题过程，并分享给同伴听。 （（1）从学生的口述中评价逻辑推论的意识和能力； （2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错； （3）在拓展中综合评价学生的知识运用能力。 活动四：练习与作业 随堂练习 习题5.1.1 附：分层练习作业单 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成联系。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 5.2.1 求解二元一次方程组（代入消元法） 例1 例2 教学反思 “教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.2.2求解二元一次方程组（加减消元法） 课 型 新授课√ 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 本课时是第五章第二节第2课时，主要学习用加减消元法解二元一次方程组。本课时内容是在初一已学习过的求解一元一次方程和代入消元法解二元一次方程组的基础上来提升，它是学习本章最基础的知识点，也为学习三元一次方程奠定基础。 学习者 分析 学生已经在前面学习过解一元一次方程和代入消元法解二元一次方程组，对本节课内容的学习会比较轻松。但八年级学生在生理上和心理上都属于过渡期，部分学生的表现欲望不够强，且存在一定的学习压力，探索和运用知识的能力有待加强。 学习目标 1、会用加减消元法解二元一次方程组. 2、培养学生归纳总结问题的能力,同时使学生会使用较严密的数学语言概括出问题的主要方面. 3、在解决实际问题的过程中,大胆尝试不同解法,并在体验成功的快乐的同时,激发学生浓厚的学习兴趣. 教学准备 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：新课导入 同学们,上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组,哪位同学能说一说解方程组的基本思路是什么?代入法解方程组的主要步骤有哪些? 生1:解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”. 生2:代入法解方程组的主要步骤有: (1)变形——用含一个未知数的代数式表示另一个未知数(选系数较简单的); (2)代入——消去一个未知数; (3)求解——分别求出两个未知数的值; (4)写解——写出方程组的解. 师:回答得很好.本节课我们继续学习求解二元一次方程组. （1）出示问题幻灯片； （2）组织学生小组讨论； （1）认真思考教师提出的问题； （3）小组讨论，合作探究，完成自主学习。 （1） 通过对解方程组的基本思路、代入法解方程组的主要步骤的复习回顾； （2） 进一步加深学生对解方程组的主要步骤的理解,为本课时的教学做准备。 活动二：二元一次方程组的解法(加减消元法) 1、解二元一次方程组　除了用“代入消元”法解方程组之外,你还有什么想法? 2、他应用了一种新的解题方法,并且分析得很好!你们能理解这种方法吗? 3、这种解法是否更简便呢? 总结：我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法. （1）出示问题的幻灯片； （2）提出问题； （3）引导学生回答问题； （4）并对学生的回答做出评价。 （1）自己先阅读教师提出的问题； （2）独立思考教师提出的问题； （3）与同伴交流； （4）展示自己的解法。 （1）学生练习、对比、讨论,既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识； （2）在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法； （3）评价学生的语言表达能力。 活动三：新知识应用 解方程组 解:由②-①,得8y=-8,y=-1. 把y=-1代入①,得2x-5×(-1)=7,x=1. 所以原方程组的解是 小结：基本思路:“二元”“一元”. 主要步骤:①加减消元,得到一个一元一次方程;②解一元一次方程;③把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程,求出另一个未知数的值,从而得方程组的解. （1）课件出示例题，读题； （2）带领学生一起书写解题过程； （3）引导学生总结解题过程。 （1）在教师带领下认真理解题意，独立思考； （2）跟着教师书写解题过程； （3）自己先总结解题过程，并分享给同伴听。 （（1）从学生的口述中评价逻辑推论的意识和能力； （2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错； （3）在拓展中综合评价学生的知识运用能力。 活动四：练习与作业 随堂练习 习题5.1.2 附：分层练习作业单 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成联系。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 5.2.2求解二元一次方程组（加减消元法） 例3 例4 教学反思 “教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.3应用二元一次方程组——鸡兔同笼 课 型 新授课√ 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 本课时是第五章第三节，主要学习应用二元一次方程组——鸡兔同笼。本课时内容是在初一已学习过的一元一次方程应用的基础上来提升，它是学习本章最基础的知识点，也为学习其它方程的应用奠定基础。 学习者 分析 学生已经在前面学习过一元一次方程应用，对本节课内容的学习会比较轻松。但八年级学生在生理上和心理上都属于过渡期，部分学生的表现欲望不够强，且存在一定的学习压力，探索和运用知识的能力有待加强。 学习目标 1、能分析简单问题中的数量关系,建立二元一次方程组解决实际问题. 2、在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程(组)解决现实问题的意识和应用能力. 3、在用方程组解决实际问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣. 教学准备 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：新课导入 今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? （1）出示情景幻灯片； (2应导学生思考情景中的问题。 (1认真思考教师提出的问题； (2跟着教师节奏进入课堂。 （1） 激发学生解决问题的好奇心；（2）提出问题后,让学生先思考,后讨论,然后找学生说出他的解题思路,写出解题过程,让学生讨论对不对,有没有不同的思路和观点； （3）在学生充分讨论的基础上进行讲解. 活动二：“鸡兔同笼”的问题探究 “雉兔同笼”题为:“今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何?” (1)“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”呢? (2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗? (3)你能解决这个有趣的问题吗?与同伴进行交流. 1.用一元一次方程求解. 解:设有鸡x只,则有兔(35-x)只, 得2x+4(35-x)=94,2x+140-4x=94,-2x=-46,x=23,35-x=12. 所以有鸡23只,兔12只. 小结:一元一次方程解法的优点是思维便捷.一元一次方程解法的不足是计算较复杂. 2.用二元一次方程组求解. 解:设有鸡x只,兔y只,则 由①×2,得2x+2y=70,③ 由②-③,得2y=24,y=12, 把y=12代入①,得x=23. 所以有鸡23只,兔12只. 小结:用二元一次方程组解答的优点是思维快速简单.用二元一次方程组解答的不足是计算复杂些. (1)出示问题的幻灯片； (2)提出问题； (3)引导学生回答问题； （4）并对学生的回答做出评价。 (1)自己先阅读教师提出的问题； (2)独立思考教师提出的问题； (3)与同伴交流； （4）展示自己的解法。 （1）体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程,通过比较列一元一次方程求解、列二元一次方程组求解的优缺点； （2）感受方程模型思想的必要性和优越性； （3）从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中,领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性. 活动三：新知识应用 例：以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何? 问题1 “将绳三折测之,绳多五尺”,什么意思?“若将绳四折测之,绳多一尺”,又是什么意思? 问题2 找出等量关系并完成题目. 解:设绳长x尺,井深y尺, 根据题意,得 由①-②,得-=4,=4,x=48. 将x=48代入①,得y=11. 答:绳长48尺,井深11尺. 问题3 你能否总结出列二元一次方程组解应用题的一般步骤? （1）课件出示例题，读题； （2）带领学生一起书写解题过程； （3）引导学生总结解题过程。 （1）在教师带领下认真理解题意，独立思考； （2）跟着教师书写解题过程； （3）自己先总结解题过程，并分享给同伴听。 （1）从学生的口述中评价逻辑推论的意识和能力； （2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错； （3）在拓展中综合评价学生的知识运用能力。 活动四：练习与作业 随堂练习 习题5.3 附：分层练习作业单 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成联系。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 5.3　应用二元一次方程组——鸡兔同笼 例题讲解 教学反思 “教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.4应用二元一次方程组——增收节支 课 型 新授课√ 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 本课时是第五章第四节，主要学习应用二元一次方程组——增收节支。本课时内容是在初一已学习过的一元一次方程应用和应用二元一次方程组——鸡兔同笼的基础上来提升，它是学习本章最基础的知识点，也为学习其它方程的应用奠定基础。 学习者 分析 学生已经在前面学习过一元一次方程应用和应用二元一次方程组——鸡兔同笼，对本节课内容的学习会比较轻松。但八年级学生在生理上和心理上都属于过渡期，部分学生的表现欲望不够强，且存在一定的学习压力，探索和运用知识的能力有待加强。 学习目标 1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系,列出相应的二元一次方程组解决简单的实际问题. 2.加强学生列方程组的技能训练,形成解决实际问题的一般性策略. 3.通过列方程组解决实际问题,培养应用数学的意识,提高学习数学的趣味性、现实性、科学性. 4.培养学生的创新能力以及克服学习中困难的精神. 教学准备 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：新课导入 在当地农业技术部门指导下,小明家增加种植菠萝的投资,使今年的菠萝喜获丰收,下面是小明和爸爸、妈妈的一段对话. 请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入.(收入-投资=净赚) （1）出示情景幻灯片； （2）引导导学生思考情景中的问题。 （1）认真思考教师提出的问题； （2）跟着教师节奏进入课堂。 （1） 给学生充足的时间进行练习和探究； （2） 通过学生参加的社会实践活动入手； （3） 采取变式的形式让学生对于本节课的内容产生一定的兴趣。 活动二：“增收节支”的问题探究 出示教材第117页引例,让学生小组讨论完成表格,并解答. 生:讨论得出下列内容: 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 x y 200 今年 (1+20%)x (1-10%)y 780 　　根据题意,得解得 师:若条件不变,求今年的总收入,总支出各是多少万元. 若设今年的总收入为x万元,总支出为y万元,则 请同学们解出这个题. 生:讨论得出 师:解题的过程烦琐吗?这个题有没有更好的解决办法? 学生讨论探索,得出可设间接未知数,设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,计算更方便些. （4） 出示问题的幻灯片； （5） 提出问题； （6） 引导学生回答问题； （7）并对学生的回答做出评价。 （4） 自己先阅读教师提出的问题； （5） 独立思考教师提出的问题； （6） 与同伴交流； （7）展示自己的解法。 （1）通过学生熟悉的生活中的经济问题去激发学生学习本节课的兴趣； （2）让学生明确“利润=收入-支出”这个关系式,为后面的学习做好铺垫,打下基础； （3）通过完成表格使学生初步感受用适当的图表,可以帮助理清题目中的数量关系,从而提高分析问题和解决问题的能力； （4）在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能. 活动三：新知识应用 例：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要? 　 （1）课件出示例题，读题； （2）带领学生一起书写解题过程； （3）引导学生总结解题过程。 （4）教师巡视、指导学生,待学生完成后,教师用投影展示答案. （1）在教师带领下认真理解题意，独立思考； （2）跟着教师书写解题过程； （3）自己先总结解题过程，并分享给同伴听。 （1）从学生的口述中评价逻辑推论的意识和能力； （2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错； （3）在拓展中综合评价学生的知识运用能力。 活动四：练习与作业 随堂练习 习题5.4 附：分层练习作业单 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成联系。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 5.4应用二元一次方程组——增收节支 例题讲解 教学反思 “教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数 课 型 新授课√ 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 本课时是第五章第五节，主要学习应用二元一次方程组——里程碑上的数。本课时内容是在初一已学习过的一元一次方程应用和应用二元一次方程组——鸡兔同笼、增收节支的基础上来提升，它是学习本章最基础的知识点，也为学习其它方程的应用奠定基础。 学习者 分析 学生已经在前面学习过一元一次方程应用和应用二元一次方程组——鸡兔同笼、增收节支，对本节课内容的学习会比较轻松。但八年级学生在生理上和心理上都属于过渡期，部分学生的表现欲望不够强，且存在一定的学习压力，探索和运用知识的能力有待加强。 学习目标 1.用二元一次方程组解决有关场景中的数学问题和行程问题,归纳用方程组解决实际问题的一般步骤. 2、让学生体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,鼓励学生合作交流,培养学生的团队精神. 3、让学生在数学学习的过程中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立解决问题的自信心. 教学准备 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：新课导入 师:前两节和大家一起学习了用二元一次方程组解决“鸡兔同笼”“增收节支”等生活中的数学问题,这节课我们继续学习第5节应用二元一次方程组——里程碑上的数.(板书课题) 1.一个两位数,个位数字是a,十位数字是b,则这个两位数用代数式表示为　　　　;若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数,用代数式表示为　　　　.  〔答案〕　10b+a　10a+b 2.一个两位数,个位上的数为x,十位上的数为y,如果在它们之间添上一个0,就得到一个三位数,这个三位数用代数式可以表示为　　　　.  师:(引导)如23这个两位数,它的十位数字是2,个位数字是3.它可表示为2×10+3.现在的问题是23变成了203,可以看出个位数字没有变,仍然是3,而十位数字2却变成百位数字了,因此它可表示为2×100+3.于是,这个三位数可表示为100y+x. (1)出示情景幻灯片； (2)引导导学生思考情景中的问题。 (1)认真思考教师提出的问题； (2)跟着教师节奏进入课堂。 (1)给学生充足的时间进行练习和探究； (2)通过学生参加的社会实践活动入手； (3)通过回答以上两个问题,让学生学会已知一个数各位上的数字； (4)如何用代数式表示这个数的方法,为后面的学习打下基础。 活动二：“里程碑上的数”的问题探究 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1 h看到的里程情况.你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗? 发现学生面露难色,无从下手.课件出示下面的问题提示: 如果设小明在12:00看到的数的十位数字是x,个位数字是y,那么: (1)12:00时小明看到的数可以表示为　,  根据两个数字之和为7,可列出方程　.  (2)13:00时小明看到的数可以表示为　,  12:00~13:00间摩托车行驶的路程是　.  (3)14:00时小明看到的数可表示为　,  13:00~14:00间摩托车行驶的路程是　.  (4)12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系?你能列出相应的方程吗? (1)出示问题的幻灯片； 提出问题； (2)引导学生回答问题； （3）并对学生的回答做出评价。 (1)自己先阅读教师提出的问题； (2)独立思考教师提出的问题； (3)与同伴交流； （4）展示自己的解法。 （1）生动的情境引入,意在激发学生的学习兴趣； （2）利用图表帮助分析使条理清楚,降低思维难度,并使列方程解决问题的过程更加清晰； （3）学法小结,着重强调分析方法,养成归纳小结的良好习惯。 活动三：新知识应用 例：两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数. 〔解析〕　一个多位数,它的含义是:每个数位上的数值与它所在的“位”相乘,再把它们的积相加.而个位上的“位”为1,十位上的“位”为10,百位上的“位”为100……所以个位数为a,十位数为b,百位数为c,千位数为d的四位数应表示为1000d+100c+10b+a. 解:设较大的两位数为x,较小的两位数为y, 根据题意,得 化简,得即 解这个方程组,得 所以这两个两位数分别是45和23. 　 （1）课件出示例题，读题； （2）带领学生一起书写解题过程； （3）引导学生总结解题过程。 （4）教师巡视、指导学生,待学生完成后,教师用投影展示答案. （1）在教师带领下认真理解题意，独立思考； （2）跟着教师书写解题过程； （3）自己先总结解题过程，并分享给同伴听。 （1）从学生的口述中评价逻辑推论的意识和能力； （2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错； （3）在拓展中综合评价学生的知识运用能力。 活动四：练习与作业 随堂练习 习题5.5 附：分层练习作业单 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成联系。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数 例题讲解 教学反思 “教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.6 二元一次方程与一次函数 课 型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 本节课的主要内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力． 学习者 分析 学生的知识技能基础：学生能够正确解方程（组），初步掌握了一次函数及其图像的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。 学生的活动经验基础：学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换．在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验． 学习目标 1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系； 2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系； 3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法． 教学准备 多媒体课件 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：设置问题情境，启发引导 1．方程x+y=5的解有多少个？；；是这个方程的解吗？ 2．点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝的图像上吗？ 3．在一次函数y=的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？ 4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=的图像相同吗？ 总结：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线． （1）用课件出示4个问题，引导学生完成相应的问答并通过对比完成题目； （2）提问：二元一次方程与一次函数有什么关系。 （1）根据提出的问题进行思考，并画画图分析对比得出结论； （2）独立回答结论：以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线． （1）查看和展示学生的画图、分析、对比，评价学生的完成情况； （2）听学生的回答情况，评价学生的表达能力。 活动二：探索方程组的解与图像之间的关系 合作探究： 探究方程与函数的相互转化 内容：1．解方程组 2．上述方程移项变形转化为两个一次函数y=和,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像（教材123页图5-1）． 3． 方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？ 二元一次方程的解和相应的两条直线的关系． （1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标． （2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解． （1）指导学生解方程组 （2）将方程变形转化为两个一次函数y=和，要求学生在练习本上画图。 （3）展示课件，对比总结二元一次方程的解和相应的两条直线的关系 （1）学生独立完成解方程组 （2）学生操作画图，对比。 （3）通过图像对比得出二元一次方程组的解与相应的两条直线交点坐标的关系。 （1）根据学生的解题过程进行评价完成情况； （2）巡视查看学生画图情况进行评价动手操作的能力； （3）通过数形结合进行对比并评价学生的逻辑推理能力。 活动三：运用平行四边形的性质解决问题 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象（教材124页图5-2）有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？ （1）课件出示问题，并解方程组； （2）提出问题：方程组有没有解，图像有无交点。 （1）在教师引导下理解题意并思考； （2）与教师一起分析对比得出：二元一次方程的解和相应的两条直线的关系（方程组无解直线平行无交点） （1）从学生的解题中评价逻辑问题； （2）在拓展中综合评价学生的知识运用能力。 活动四：练习与作业 P124 随堂练习 习题5.7 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成练习。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 6二元一次方程与一次函数 二元一次方程和一次函数图像的关系： 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线． 教学反思 “教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 课 型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 本课主要是通过对作图像方法与代数方法的比较，探索利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.这一内容是上一课时内容的自然发展，上一课时探索了函数与方程之间的关系，并获得了方程组的图像解法，本节课研究利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，这样更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关系，从而发展学生数形结合的意识。 学习者 分析 学生的知识技能基础：学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在第四章也学习了一些确定一次函数表达式的基本方法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，这些知识为本节课的学习作好了很好的铺垫.由于上节课的惯性，学生易在图像法上停留，因为图像法很直观，容易接受，因此本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程 学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了在平面直角坐标系中通过图象法解二元一次方程组的解的活动，能简单理解数与形的结合解决简单的问题，感受到了数与形结合是一种重要的数学思想。 学习目标 1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点. 2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 3.进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化. 教学准备 多媒体课件、三角尺 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：复习引入 问题： (1)二元一次方程组与一次函数有何联系? (2) 二元一次方程组有哪些解法？ （1）用课件出示问题； （2）让学生思考并提问。 （1）根据提出的问题进行回答； （2）独立回答，举出实例。 （1）评价学生的回答情况； （2）听学生的回答情况，评价学生的表达能，并让学生感受解决问题的方法的多样性。 活动二：设计实际问题情境，导入新课 合作探究： 出示教材“引例”: A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数,1 h后乙距离A地80 km;2 h后甲距离A地30 km.经过多长时间两人将相遇? (1)思考:你有几种解决上述问题的方法?它们各有什么不足之处? (2)对照教材,比较你的做法与小明、小颖、小亮的做法有什么不同,与同伴交流. (3)思考讨论:图象法和代数法在解决问题时有什么不同? （1）根据老师提出的问题逐题解决 （2）小组合作讨论，对比小明、小颖、小亮的做法找出他们解决问题的方法。 （3）对比图像法和代数法解决问题的不同得出结论：图像方法可以更直观、形象，但缺乏准确，用代数方法虽然准确，但不够形象和直观． （1）根据学生解决问题能力评价 （2）巡视查看小组合作讨论情况，适时对各小组进行指导和评价。 活动三：用待定系数法确定一次函数的表达式 例题： 某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交了行李费10元. (1)写出y与x之间的函数表达式; (2)旅客最多可免费携带多少千克的行李? 解：（1）设，根据题意，可得方程组 解该方程组，得 所以 （2）当x=30时，y=0． 所以旅客最多可免费携带30千克的行李． （1） 引导学生分析设出关系式并解答. （2） 展示学生研究的结果并进行讲评,出示答案。 （1）学生先分组讨论并写出过程；（展示各组的书写过程） （2）与教师一起书写过程并总结：待定系数法:先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法。 （1）从学生的回答中评价逻辑推论的意识和能力； （2）通过展示评价学生的书写规范程度，并进行纠错； 活动四：练习与作业 P127 随堂练习 习题5.8 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成练习。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法: 先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法。 教学反思 “教学评”一体化教学设计 课时设计 课 题 5.8 三元一次方程组 课 型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其他课□ 授课班级 授课时间 教学内容分析 教科书基于学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用的基础之上，提出了本课的具体学习任务：了解三元一次方程组的概念，会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决。作为选学内容使有较好数学基础，对数学知识感兴趣的同学能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法并解决实际问题，能根据具体问题中的数量关系列出方程，更深的体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 学习者 分析 学生的知识技能基础：学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用，认识了二元一次方程组的模型，并应用它们解决许多现实和有趣的问题，具备了用消元法解方程组的基本技能；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些在实际应用问题中寻找等量关系建立方程并求解的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了利用方程组解决实际问题的简便性性和作用，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 学习目标 1.理解三元一次方程和三元一次方程组的概念. 2.会解简单的三元一次方程组. 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想. 教学准备 多媒体课件 活动设计 教学内容 教师活动 学生活动 评价任务 活动一：创设情景，导入新课 问题 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数. 如果设这三数分别为x，y，z，用它们可以表示哪些等量关系：；； 总结： 在这个方程组中，和都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程 像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组 关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系, 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. （1）用课件出示图片，引导学生分析； （2）提问，如果设这三数分别为x，y，z，用它们可以表示哪些等量关系？ （3）这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ （1）根据提出的问题进行思考； （2）写出等量关系，独立回答。 （3）学生总结①未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个；②未知数次数都是一次.进而得出三元一次方程（组）概念 （1）评价学生的完成情况； （2）听学生的回答情况，评价学生的表达能力。 引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加减消元），尝试对 进行消元 分析、引导学生复习二元一次方程组的解法并提示。 根据老师的提示类比二元一次方程组的解法独立完成 让学生展示解法，评价解法。 活动二：理解巩固 合作探究： 1、解方程组 2、 解三元一次方程组的思路是什么？ 消元,三元→二元→一元 （1） 引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本思想——消元,以及消元的基本方法(代入消元、加减消元)，和学生一起探求出解决的整体思路 （2） 提问：解三元一次方程组的思路是什么？ （1） 学生根据学过解方程组的知识和老师的提示完成。 （2） 类比得出解三元一次方程组的思路 （1） 根据学生的完成情况进行给与评价 （2） 根据学生的回答给与肯定评价。 活动四：练习与作业 P131 随堂练习 习题5.9 指导学生完成练习，面批练习。 按要求完成练习。 从完成情况和书写情况等方面进行评价。 主板书设计 5.8 三元一次方程组 1、含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程 2、共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组 概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系, 3、 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 4、 解三元一次方程组的思路：消元,三元→二元→一元 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $