5.1认识二元一次方程组 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二元一次方程、方程组及解的概念，通过班级劳动整理图书和观影购票的实际情境导入，先引导学生分析量与等量关系，再列出含两个未知数的方程，搭建从一元一次方程到二元一次方程的学习支架。 特色在于以生活情境激发数学眼光，从整理图书、购票问题中抽象数量关系，培养抽象能力，通过归纳方程共性生成概念发展推理意识，辨析题与例题结合强化符号意识，助力学生用数学语言表达现实问题提升建模能力，也为教师提供清晰的概念教学路径。

5.1 认识二元一次方程组 一、教学目标 1.通过对实际问题的分析，能列出二元一次方程及二元一次方程组。感受学习二元一次方程的必要性和优越性，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。 2.经历估计方程和方程组解的过程，理解二元一次方程和二元一次方程组的解的意义，并会判断一组数是不是某个二元一次方程或二元一次方程组的解。 3.培养学生在解决实际问题时，能从数学的角度发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，体会数学与现实生活的联系。 二、教学重点与难点 教学重点：了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念；会辨别二元一次方程（组），会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。 教学难点：从实际问题中建立二元一次方程（组），体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。 三、教学过程 （一）复习引入 班级劳动实践课上，男生小组和女生小组负责整理图书角的课外读物。已知男生小组整理的图书本数比女生小组多 3 本；如果女生小组再多整理 2 本，男生小组少整理 2 本，此时男生小组整理的图书数量恰好是女生小组整理数量的 2 倍。 (1) 这个情境涉及哪些量？ 解：(1) 涉及男生小组整理的图书本数、女生小组整理的图书本数。 (2) 这些量之间有怎样的等量关系？ 解：①男生小组整理图书本数 − 女生小组整理图书本数 = 3； ②男生小组整理图书本数 − 2 = 2 ×（女生小组整理图书本数 + 2）。 (3) 设男生小组整理了 本图书，女生小组整理了 本图书，由此你能得到怎样的方程？ 解：(3) 和 （二）情境导入 班级组织观看科普主题电影，部分同学和家长一同前往影院。此次前往影院总人数一共 12 人，全部购票合计花费 86 元。已知成人电影票每张 8 元，学生电影票每张 5 元。 (1) 这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (1) 涉及的量：成人的人数、学生的人数；成人票单价 8 元，学生票单价 5 元，总人数 12 人，总购票费用 86 元。 等量关系： 成人人数 学生人数 ； 成人购票总费用 学生购票总费用 。 (2) 设同行的成人有 人、学生有 人，由此你能得到怎样的方程？ 解： (2) 得到方程： 和 【尝试・思考】 在上面两个情境中，我们分别得到方程： 观察这些方程，它们有什么共同特征？ （三）新知探究 归纳共性，生成概念 二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫作二元一次方程。 辨析概念 (1) 下列方程中，是二元一次方程的有 。(填序号) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； ⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ 。 答案：②④⑧⑨ 判断要点： ①含有 2 个未知数； ②未知数的项的次数都是 1; ③是整式方程； ④整理后两个未知数系数不为 0。 (2) 已知 是关于 x , y 的二元一次方程，求 a 的值。 解： 是关于 x,y 的二元一次方程， 且 。 思考交流，理解方程组 【思考・交流】 与同伴进行交流。 在上面的方程 和 中，x 所表示的对象相同吗？y 呢？ 观察归纳 二元一次方程组: 像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。 ①方程组各方程中同一字母必须代表同一个量； ②二元一次方程组中的方程可以只含有一个未知数，但两个方程合起来有两个未知数； ③表示时需要加上大括号。 辨析概念 在方程组: (1) (2) (3) (4) (5) 中，是二元一次方程组的有 。(填序号) 答案：①②③ 对比理解，方程 (组) 的解 【尝试・思考】 (1) ， 满足方程 吗？ (2) 、 满足方程 吗？ (3) ， 满足方程 吗？你还能找到其他 x，y 的值满足 吗？ (4) 通过上面问题总结：什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解有什么特点？ 二元一次方程的解定义： 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。 ①二元一次方程的每个解都是一对数值； ②一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。 （换言之，一个二元一次方程确定不了两个未知数。） 类比迁移 (1) , 满足方程 吗？ , 呢？ (2) 你能找到一组 x , y 的值，同时满足方程 和 吗？ (3) 通过上面问题总结：什么是二元一次方程组的解？二元一次方程组的解有什么特点？ 二元一次方程组的解定义： 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。 例如， 就是二元一次方程组 的解。 （四）巩固新知 典型例题 1) 下列五组值中，是二元一次方程x－2y＝1的解是_________。 A. B. C. D. E. 答案：BCD 解析： A：代入：，不是解； B：代入：，是解； C：代入：，是解； D：代入：，是解； E：代入：，不是解。 2) 二元一次方程组的解是_________。 A. B. C. D. 答案：C 解析：把 代入第一个方程，，。 能力提升 1. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为_________。 解: (1)+(2) 得 ， 。 , 。 。 答案：6 2.(1) 找到几组满足方程 的 x，y 的值。 (2) 找到几组满足方程 的 x，y 的值。 (3) 找出一组 x，y 的值，使它们同时满足方程 和 。 (4) 根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组 的解吗？ 参考解答： (1) 示例：，； (2) 示例：，； (3)； (4) 方程组解： （五）课堂小结 引导学生思考回答： 1. 本节课我们学习了哪些知识？ 2. 我们是如何认识二元一次方程和二元一次方程组的？ 3. 类比一元一次方程，后续我们会继续研究二元一次方程组的哪些知识？ 四、板书设计 5.1 认识二元一次方程组 1. 二元一次方程 定义：两个未知数，含未知数项次数为 1，整式方程 特点：无数组解 2. 二元一次方程组 定义：共含 2 个未知数的一组一次方程，加大括号 3. 解 二元一次方程的解：一对数值 方程组的解：公共解 例题板演： 已知是二元一次方程，求 a。 五、知识总结 核心知识点 1. 二元一次方程：含有两个未知数，含有未知数的项次数都是 1 的整式方程；有无数个解。 2. 二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程。 3. 二元一次方程组的解：方程组中各个方程的公共解。 4. 检验：将一组数代入方程左右两边，判断是否相等。 数学思想方法：模型思想、类比思想。 易错易混警示 不是二元一次方程，分母含有未知数不是整式方程。 求二元一次方程参数，既要未知数次数等于 1，还要未知数的系数不为 0。 二元一次方程有无数解，方程组解是同时满足全部方程的公共解。 六、课后作业 1. 基础性作业：教科书习题 5.1 第 1,2,3,4,5 题。 2. 拓展性作业: 按一定规律排列方程组及其解如下： (1) 依据方程组和它的解的变化规律，将第 4 个方程组和它的解直接填入横线处。 (2) 猜想第 n 个方程组和它的解并进行验证。 (3) 若方程组 的解是 求 m 的值，并判断该方程组是否符合 (1) 中的规律。 拓展作业参考答案： (1) 第 4 个方程组：，解 (2) 第 n 个方程组：，解：，代入可验证成立。 (3) 把代入，；按照规律第二个方程应该为，这里方程为，不符合该规律。 7 学科网（北京）股份有限公司 $