第二十八章 旋转培优提升专题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦旋转与中心对称，通过基础应用、变式拓展、综合创新三层设计，以选择、解答及探究题型递进，强化几何直观与推理能力，适配单元复习中知识巩固与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|旋转性质、中心对称判定|选择填空为主（如矩形旋转求周长最小值），强化概念直接应用| |变式拓展层|旋转与等腰/等边三角形综合|教材母题变式（如等边三角形旋转证线段关系），培养模型观念| |综合创新层|跨情境旋转综合应用|全国模拟探究题（如等补四边形面积探究），发展推理与创新意识|

第二十八章 旋转 培优提升专题1：图形的旋转 1.(2026 太原月考)如图,在矩形ABCD 中,AB =10,BC=6,点 M 是AB边的中点,点 N 是AD边上任意一点，将线段MN绕点M 顺时针旋转90°，点N 旋转到点 N',则△MBN'周长的最小值为( ) A.15 2.(2026 滁州模拟)如图,△ABC 和△ADE 是等腰三角形，∠BAC=∠DAE =60°,AB =4,AE =2,△ADE绕点A 旋转,连接CD,点 F 是 CD的中点,连接BF,则BF 的最小值为( ) A.2 B.2-1 C.3-2 D.3 3.如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN=45°.把△ADN绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE. (1)求证: (2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长. 4.在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(-2，0)，点B在y轴的正半轴上，且OB=2OA，将线段AB绕着点A 顺时针旋转90°,点 B 落在点 C 处. (1)在图中描出点A，B，C，并写出点B，点C的坐标； (2)在x轴上有一点 D,使得△ACD 的面积为3,求点D 的坐标. 5.(2026 武威一模)在△ABC 中,AB =AC=5,BC=6,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°),点 B 的对应点为点 D,点C的对应点为点 E.如图，设边AD 与BC 交于点 M，边DE分别交 BC,AC于点 F,N. (1)求证:AM=AN; (2)当△MDF 为等腰三角形时，请直接写出DF 的长. 培优提升专题2：中心对称 1.(2026 西安一模)如图,在等边△ABC 中,D 为BC的中点,连接AD,AD=3,△ADB 与△FEB 关于点 B成中心对称，则BF的长为( ) A.4 B.2 C.3 D. 2.在同一平面直角坐标系中，点A，B分别是函数y=x-1与y=-3x+5的图象上的点,且点A,B关于原点对称，则点A 的横坐标为 . 3.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4. (1)以点 D 为对称中心，作△ABD的中心对称图形； (2)求点A到BC 的距离. 4.如图,在△ABC中,D 是 BC 边上一点,DE∥AC 交AB于E,DF∥AB交AC于 F. (1)求证：四边形AEDF 是中心对称图形； (2)若AD 平分∠BAC,求证:点 E,F 关于直线AD对称. 5.如图，在2×4的方格纸ABCD中，扫码批改+错题本每个小方格的边长为1.已知格点 P，请按要求画格点三角形(顶点均在格点上). (1)在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD 的中心旋转180°后的图形； (2)在图2中画一个Rt△PQR,使∠P=45°,点 Q在BC上，点R 在 AD 上，再画出该三角形向右平移1个单位长度后的图形. 6.如图,已知△ABM 与△ACM 关于线段AF 成轴对称,△ABE与△DCE关于点 E 成中心对称,点E,D,M都在线段AF上，BM的延长线交CF 于点 P. (1)求证:AC=CD; (2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由. 培优提升专题3：教材难题生长题 2025年广东中考省卷中，解答题第18，21，23题是由教材的课后难题演变过来的，因此，扫码批改+错题本 我们在平时的练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在培优作业本每章设置专题，精选人教版教材中的难题，并进行解析拓展，帮助学生更好地掌握和提升思维. 教材难题 【例1】(人教9上P97 拓广探索)(几何直观、空间观念、模型观念)如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形，BE与DC有什么关系?你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗?试提出一个类似的问题.(提示：将等边三角形换成其他图形) 解题思路:利用△ABD,△AEC都是等边三角形,求证△ADC≌△ABE,即可得证BE=DC. 难题生长 1.(2026 陇南期末)如图,△ABC 和△CDE 都是等边三角形.点D 是BC延长线上一点,AD 与BE 相交于点 P.AC,BE 相交于点 M,AD,CE 相交于点 N. (1)在图1中,求证:AD=BE; (2)当△CDE绕点C沿逆时针方向旋转到图2时,∠APB= . 教材难题 【例2】【人教9上 P105综合运用】(几何直观、空间观念、应用意识、创新意识)如图，已知△ABC，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以AC，AB为邻边的平行四边形? 解题思路：由旋转的性质即可作答. 难题生长 2.综合探究：某研究小组发现了一种特殊的四边形，在四边形ABCD中，AB =AD，∠B+∠D=180°，我们把这种四边形称为等补四边形.如何求等补四边形的面积呢? 探究一：(1)如图1，已知等补四边形ABCD，若∠A=90°，将等补四边形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形(如图2).若BC=8,CD=4,则等补四边形ABCD 的面积为 ; 探究二:(2)如图3,已知等补四边形ABCD,若∠A=120°,将等补四边形ABCD 绕点A 顺时针旋转120°,再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形(如图4).若BC=5，CD=3，则等补四边形ABCD的面积为 ; 探究三：(3)如图5，已知等补四边形ABCD，连接AC，将△ACD绕点A 顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC',点 C 的对应点为点 C'. ①由旋转得∠D=∠ ,因为∠ABC+∠D=180°,所以∠ABC+∠ABC'=180°,即点C',B,C在同一直线上，所以我们旋转得到的图形是一个三角形，即△ACC'； ②在△ACC'中,作AH⊥BC 于点H,若AC=13,AH=5,请求出等补四边形ABCD 的面积. 培优提升专题4：全国视野培优特训 1.(2026武汉模拟)综合运用. (1)如图1,O 是等边△ABC 内一点,连接OA,OB,OC,且OA=3,OB=4,OC=5,将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，连接OD. ①旋转角的度数； ②线段OD 的长; ③求∠BDC 的度数; (2)如图2,O是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内一点,连接OA,OB,OC,将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,连接OD.当OA,OB,OC 满足什么条件时,∠ODC=90°? 请给出证明. 2.(2026 石家庄期末)如图,已知 △ABC中,AB =AC =8,∠B =30°.将△ABC 绕点 A逆时针旋转α得到△ADE(其中,0<α<120°,且点D,E分别是点B,C 的对应点),设线段AD与BC 相交于点 M,线段DE分别交 BC,AC于点 O,N. (1)如图1,当AD⊥BC 时,旋转角α= °,AM= ; (2)如图2，在△ABC 旋转过程中，小真同学发现线段 BM 始终等于线段EN，请你证明这一结论； (3)如图2，在旋转过程中，当△DOM 是等腰三角形时，直接写出旋转角α的大小； (4)如图3,延长BD,EC交于点 P. ①当∠BOE =90°时,直接写出BD 的长; ②直接写出 BP+EP 的最大值. 3.(2026云南期末)如图1，把一副三角板拼在一起，边OA,OC 放在直线 EF 上,其中∠AOB = 45°,∠COD=60°. (1)求图1中∠BOD 的度数; (2)如图2,三角板 COD 固定不动,将三角板AOB绕点O 顺时针旋转一定角度，在转动过程中，三角板AOB一直在直线 EF 上方,设∠AOE=α. ①若OB平分∠EOD,求α; ②若∠AOE=4∠BOD,求α. 4.(2026十堰期末)通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整. 原题:如图1,点E,F分别在正方形ABCD 的边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF,试猜想 EF,BE,DF之间的数量关系. 【思路梳理】 (1)把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD 重合,由∠ADG=∠B =90°,得∠FDG=180°,即点F,D,G共线,易证△AFG≌ ,故EF,BE,DF之间的数量关系为 ; 【类比引申】 (2)如图2,点 E,F 分别在正方形ABCD 的边 CB,DC 的延长线上,∠EAF =45°.连接EF,试猜想 EF,BE，DF 之间的数量关系，并给出证明； 【联想拓展】 (3)如图3,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB =AC,点D,E均在边BC 上,且∠DAE=45°.若BD=1,CE=2,则DE 的长为 . 第二十八章 旋转 培优提升专题1：图形的旋转 1. B 2. B 3.(1)证明:由旋转的性质,得△ADN≌△ABE, ∴∠DAN=∠BAE,AE=AN,∠D=∠ABE=90°, ∴∠ABC+∠ABE=180°,∴点 E,点 B,点 C三点共线, ∵∠DAB=90°,∠MAN=45°, ∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°, (2)解:设CD=BC=x,则CM=x-3,CN=x-2, 解得x=6或-1(舍去), ∴正方形ABCD的边长为6. 4.解:(1)如图,B(0,4),C(2,-2). (2)设D(m,0),由题意得 解得m=1或-5,.. D(1,0)或(-5,0). 5.(1)证明:在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,由题意可得AB=AC=AD=AE, ∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED, 在△ABM和△AEN中, ∴ △ABM≌△AEN(ASA),∴AM=AN. (2)解: 或1. 【解析】如图1,过点A作AH⊥BC于点H, 当DF=FM时,则点C,M,F重合,构不成三角形,故该种情况不存在； 当DM=DF时,如图2, 则∠DMF=∠DFM=∠AMB, ∵∠B=∠D,∴∠BAM=∠MFD=∠BMA, ∴AB=BM=5, 由(1)知,BH=3,则lHM=5-3=2, 当DM=FM时,如图3, ∴∠MFD=∠D=∠NFC=∠ACB=∠AED=α, ∴∠CAE=∠E=α,.. AN=EN,FN=CN, 则EF=FN+EN=AN+CN=AC=5, 则DF=DE-EF=6-5=1, 综上， 或1. 培优提升专题2：中心对称 1. B 2. - 1 3.解:(1)延长AD到点E,使AD=DE,连接CE,△ECD 即为所求，图略. (2)作AH⊥BD于H,∵AD为中线,∴BD=CD,又AD=ED=4,∠ADB=∠EDC, ∴△ADB≌△EDC(SAS),∴CE=AB=6,∠CED=∠BAD,在△AEC中,∵CE=6,AE=8,AC=10, ∴△AEC为直角三角形,∠CED=90°,∴ ∠BAD=90°,在Rt△BAD中, 即点A 到BC的距离为 4.证明:(1)∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴四边形AEDF 是中心对称图形. (2)连接EF,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,又∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE, ∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE, 又∵四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF 是菱形,∴AD 垂直平分EF, ∴点E,F关于直线AD 对称. 5.解：(1)图形如图1所示(答案不唯一). (2)图形如图2所示(答案不唯一). 6.(1)证明:∵△ABM与△ACM关于线段AF成轴对称, ∴△ABM≌△ACM,∴AB=AC, 又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称, ∴△ABE≌△DCE,∴AB=CD,∴AC=CD. (2)解:∠F=∠MCD.理由如下: 由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA, ∵∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF, ∴设∠MPC=α,则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α, 设∠BMA=β,则∠PMF=∠CMA=β, ∴∠F=∠MPC-∠PMF=α-β,∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β, ∴∠F=∠MCD. 培优提升专题3：教材难题生长题 【例1】解:BE=DC.理由如下: ∵△ABD,△AEC都是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°, ∴ ∠DAC=∠BAC+60°,∠BAE=∠BAC+60°, 在△ADC和△ABE中, ∴△ADC≌△ABE,∴BE=DC. 提出一个类似的问题略. 1.(1)证明:∵△ABC和△CDE为等边三角形, 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE. (2)60° 【解析】由(1)得△ACD≌△BCE(SAS),∴∠DAC=∠EBC, 【例2】解:如图,将△ABC 绕BC中点旋转180°得△A'CB,此时四边形ABA'C即为所求的平行四边形. 2.解:(1)36 (3)①ABC' ②∵AC=13,AH=5,AH⊥CH, ∴等补四边形ABCD 的面积=△ACC'的面积 =60. 培优提升专题4：全国视野培优特训 1.解:(1)①∵△ABC为等边三角形, ∴BA=BC,∠ABC=60°, ∵△BAO 绕点 B顺时针旋转后得到△BCD, ∴∠OBD=∠ABC=60°,∴旋转角的度数为60°. ②∵△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD, ∴ BO=BD,又由①知∠OBD=60°, ∴△OBD 为等边三角形,∴OD=OB=4. ③∵由②可得△BOD为等边三角形,∴∠BDO=60°, ∵△BAO 旋转后得到△BCD,∴CD=AO=3, 在△OCD中,CD=3,OD=4,OC=5, ∴△OCD 为直角三角形,∠ODC=90°, ∴ ∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°. (2)当满足 时,∠ODC=90°.证明如下: ∵△BAO 绕点B顺时针旋转后得到△BCD, ∴∠OBD=∠ABC=90°,BD=BO,CD=AO, ∵△OBD为等腰直角三角形， ∵当 时,△OCD为直角三角形,∠ODC=90°, ∴当OA,OB,OC满足 时,∠ODC=90°. 2.(1)60 4 (2)证明:∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠MAN=∠DAE-∠MAN,即∠BAM=∠EAN,在△ABC绕点A逆时针旋转过程中,∠E=∠C=∠B, 在△ABM和△AEN中, (3)解：当△DOM 是等腰三角形时，旋转角α的大小是30°或75°. 【解析】当DM=OM,如图1, 此时∠MOD=∠D=30°, ∵∠B=∠D,∠AMB =∠DMO, ∴∠BAD=∠MOD=30°,∴α=30°; 当DM=DO时,如图2, 此时 ∴α=∠DOM=75°; 当OM=OD时,如图3, 此时∠OMD=∠D=30°, ∴α=∠DOM=120°, 此时AD和AC重合，这种情形不存在. 综上所述,α=30°或75°. (4)解: ②32. 【解析】①∵∠ABC=∠ADE=30°,∠AMB=∠DMO, ∴∠BAD=∠MOD=∠BOE=90°, ∵AB=AD=8, ∴在Rt△ABD中, ②如图4,连接BE, ∵∠BAD=α,AB=AD, 同理可得 ∵∠DAE=120°, ∴∠BAE=360°-∠BAD-∠DAE=240°-α, ∵AB=AE, ∴∠PBE=∠ABE+∠ABD=60°, ∠PEB=∠AEB+∠AEC=60°, ∴△PBE 为等边三角形, ∵BP=EP=BE, 当三边均为最大时，则BP+EP有最大值，当B,A,E三点共线时,BE=AB+AE=16,此时BE有最大值, 即BP+EP的最大值为32. 3.解:(1)由题意可得∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=180°-45°-60°=75°. (2)①∵∠COD=60°,∴∠EOD=180°-60°=120°, 当OB平分∠EOD时, ∵∠AOB=45°,∴∠AOE=60°-45°=15°, ∴α=15°. ②当射线OB 在∠EOD 内部时, ∵∠AOB=45°,∠COD=60°,∠AOE=α, ∴∠BOD=180°-45°-60°-α=75°-α, 解得α=60°; 如图,当射线OB 在∠COD 内部时,设∠BOD =x,则∠AOE=4x, ∵180°-(∠AOB+∠COD-x)=4x, ∴180°-45°-60°+x=4x,∴x=25°, ∴α=4×25°=100°. ∴满足条件的α的度数为60°或100°. 4.解:(1)△AFE BE+DF=EF (2)DF=EF+BE.理由如下: 如图1， ∵ AB=AD, ∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG,可使AB 与AD重合， ∵∠ADC=∠ABE=90°,∴点C,D,G在一条直线上, ∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD. 又∵∠BAG+∠GAD=90°,∴∠EAG=∠BAD=90°. ∵∠EAF=45°,∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°, ∴∠EAF=∠GAF. 在△AEF和△AGF中, ∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG, ∵DF=FG+DG,∴DF=EF+BE. (3)\sqrt{5} 【解析】如图2,把△ACE 旋转到 ABF 的位置,连接DF,则∠FAB=∠CAE. ∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,∴∠BAD+∠CAE=45°,又∵∠FAB=∠CAE,∴∠FAD=∠DAE=45°, 在△ADF和△ADE中, ∴△ADF≌△ADE(SAS),∴DF=DE, ∵∠C=∠ABF=45°, ∴∠DBF=90°,∴ △BDF 是直角三角形, 1 学科网（北京）股份有限公司 $