第二十八章 旋转 章末训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学“旋转”单元复习卷，全面覆盖旋转性质、中心对称、坐标变换等核心知识，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，适配单元复习需求，培养几何直观与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/32|旋转性质（题1）、坐标变换（题2）、中心对称图形（题3）|基础巩固，结合几何直观| |填空题|6/24|旋转与最值（题9）、中心对称点坐标（题10）|能力提升，体现空间观念| |解答题|6/44|旋转与全等证明（题15）、动态综合（题20）|创新应用，关联中考旋转综合题型，培养推理能力|

第二十八章 旋转 一、单选题（共32分） 1．（本题4分）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 2．（本题4分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到，已知在AC上一点平移后的对应点为，点绕点O逆时针旋转180°，得到对应点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 9．（本题4分）如图，等边三角形中，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，点为线段上一个动点，若，则的最小值为______． 10．（本题4分）若点关于原点对称的点是，则的值为_____． 11．（本题4分）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为______． 12．（本题4分）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，轴，反比例函数的图象经过点A、C，若点A、C关于原点对称，则矩形的面积为____________． 13．（本题4分）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，则的度数为__________． 14．（本题4分）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 三、解答题（共44分） 15．（本题6分）如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 16．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)以点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为2，并直接写出的顶点坐标． 17．（本题8分）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)请作出关于点成中心对称的，并写出的坐标 ； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并求出线段在平移过程中扫过的面积； 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 20．（本题8分）如图①，在中，，．点在边上，且．点在边上，连接． (1)__________． (2)当是等腰三角形时，直接写出的长． (3)将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交线段或线段的延长线于点． （ⅰ）如图②，当点在线段上时，求证：． （ⅱ）连接，当面积是面积的3倍时，直接写出的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 2．B 【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 3．D 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形是中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意． 4．A 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 5．D 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，， ∴， 但不一定正确， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕顶点A逆时针旋转，得到，得出，结合，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕顶点A逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 8．C 【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1）， ∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1）， ∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2， ∴P2点的坐标为：（1.6，1）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键． 9． 【分析】根据旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质及角的和差关系得出，利用证明得出，进而得出，即可得出及点在直线上运动，根据平行线间的距离线段，利用的正弦值求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴点在直线上运动，的最小值为、两条平行线的距离，即的长， ∵， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、平行线的判定与性质及解直角三角形等知识，确定点在直线上运动是解题关键． 10． 【分析】根据关于原点对称点的横纵坐标都互为相反数，求出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴． 11．/ 【分析】过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 12．20 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，设，则，根据矩形的性质可证明轴，则可得到，据此求出的长，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵点A、C关于原点对称， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/76度 【分析】此题考查了旋转的性质．注意找到旋转角是解此题的关键． 根据旋转的性质可求得，继而求得答案． 【详解】∵将绕点逆时针方向旋转得到 ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 14． 【分析】首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题． 【详解】解：由题意及旋转变换的性质得， 又 ∵， ． 15． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，先结合将绕点A顺时针旋转，得到， ，，又因为，故，然后根据，，证明，即可作答． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 16．(1) 如图，即为所求. (2) 如图，即为所求. ，，. 【分析】本题考查的是画中心对称图形，画位似图形. （1）分别确定点关于点成中心对称的对应点，再顺次连接即可. （2）分别确定点的位似对应点，再顺次连接，再根据其位置写出点的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 17．(1) 证明：∵由绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，可证，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，，为等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 18．(1)解：如图，即为所求； ； (2)如图，即为所求； ； 线段在平移过程中扫过的面积为 【分析】（1）根据中心对称的性质，分别作出、、的对应点、、，再依次连接，即可得到，根据图形可得到的坐标； （2）根据题意可得到点的平移规律，再根据平移规律得到各个点的对应点，再依次连接可得到，线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积，利用割补法求出线段在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）略 （2）解：线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积． 19．(1)， (2) 【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出的值得到点的坐标，将点的坐标代入一次函数解析式中，求出的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点F，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即可得点E的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）解：由（1）知， 令得；令得， ∴，， ∴，， 如图，过点D作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 20．(1) (2)1或2或 (3)（ⅰ）证明：在中，，， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ； （ⅱ）或 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得到的长； （2）根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可； （3）①根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质，得到，由旋转的性质可知，，，进而推出，即可利用“”证明全等； ②分两种情况讨论：当点在线段上时，过点作于点，过点作于点；当点在线段的延长线上时，过点作于点，过点作于点，利用全等三角形的性质和等高三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ∴； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， ①当时，是等腰三角形，此时， ， ， ； ②当时，是等腰三角形，此时， ， ； ③当时，是等腰三角形， 综上可知，的长为1或2或． （3）（ⅰ）略 （ⅱ）解：当点在线段上时，如图，过点作于点，过点作于点， 由①可知，， ，， ， 面积是面积的3倍， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点， 同理可证，， ，， 面积是面积的3倍， ， ， ， ， ； 综上可知，的长为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $