第二十八章 旋转 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦“旋转”单元核心知识，融合二十四节气等传统文化素材与空间观念新素养，适配初中数学单元复习，全面考查中心对称、旋转性质及坐标系应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/18|中心对称图形（题1）、坐标系旋转（题2）|传统文化情境，基础概念辨析| |填空|6/18|中心对称点坐标（题7）、旋转与面积（题8）|对称性质应用，空间想象| |解答题|11/84|旋转证明（题18）、动态旋转（题22）|综合几何直观，创新探究（题23类比迁移）|

第二十八章 旋转 (时间:120分钟　分值:120分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内) 1.(传统文化·二十四节气)二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”,其中是中心对称图形的是 (　　) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中,点P(-3,a2+2)关于原点的对称点落在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图,△ABC绕点C旋转,点B转动到点E的位置,则下列说法正确的是 (　　) A.点B与点D是对应点 B.△ABC≌△DEC C.点A与点E是对应点 D.∠BCD等于旋转角 4.如图,在正方形网格中,△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1,则旋转中心是 (　　) A.点M B.点N C.点P D.点Q 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为 (　　) A. B.2 C.3 D.2 6.(新素养·空间观念)如图,这是由三个相同的小正方形组成的图形,将最右边小正方形绕其顶点旋转90°,则旋转后的三个小正方形组成的无重叠的图形中,是轴对称图形的有 (　　) A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7.在平面直角坐标系中,点M(2,-4)关于原点对称的点的坐标是　　　　.  8.如图,线段EF经过▱ABCD的对称中心O,且分别交AB,CD于点E,F.若▱ABCD的面积为12 cm2,则图中阴影部分的面积为　　　　cm2.  9.点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转　　　　°后能与原来的图案互相重合.  10.如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴的正半轴上,点B在第一象限内,∠AOB=∠B=30°,OA=2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点B'的坐标是　　　　.  11.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,连接BE,若∠CBE=75°,∠C=40°,则∠BED的度数是　　　　.  12.一副三角尺按图1所示的方式拼接在一起,其中边OA,OC与直线EF重合,∠AOB=45°,∠COD=60°,保持三角尺COD不动,将三角尺AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α(如图2),在转动过程中两块三角尺都在直线EF的上方,当OB平分由OA,OC,OD其中任意两边组成的角时,α的值为　　　　.  三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13.(1)已知点P,5-2a与点Qa-8,关于原点O中心对称,求a的值. (2)如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置.那么旋转中心是点　　　　,旋转角是　　　　°.连接EF,△AEF是　　　　三角形.  14.如图,把△ABC绕点A旋转至△ADE的位置,延长BC交AD于点F,交DE于点G,若∠CAD=10°,∠D=25°,∠EAB=120°,求∠DFB的度数. 15.如图,△ABO与△CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE,求证:DF=BE. 16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=α,将△ABC向右平移得到△DCE,点A的对应点为点D.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留画图痕迹) (1)如图1,请画出将线段AC绕点A逆时针旋转2α后的对应线段. (2)如图2,α=45°,M为BC的中点,画出将线段AM绕点C顺时针旋转90°后的对应线段. 17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,2),B(3,5),C(1,2). (1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1. (2)把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度,得到图中的△AB2C2,点C2在AB上. ①请问旋转角为多少度? ②直接写出点B2的坐标. 四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.如图,O为等边三角形ABC内一点,连接OA,OB,OC,将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM,连接CM,OM. (1)求证:AO=CM. (2)若OA=8,OC=6,OB=10,判断△OMC的形状并说明理由. 19.如图,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称,连接BG,DE. (1)四边形BDEG是菱形吗?请说明理由. (2)若矩形ABCD的面积为6,求四边形BDEG的面积. 20.如图,在平面直角坐标系中,矩形纸片ABCD的顶点B的坐标为(9,3),若把纸片按要求折叠,使B,D两点重合,折痕为EF. (1)图形中是否存在成中心对称的两个图形?请说明理由.(图中实线、虚线一样看待) (2)求折痕EF的长及所在直线的解析式. 五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21.(新素养·几何直观)如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证: (1)EA是∠QED的平分线. (2)EF2=BE2+DF2. 22.图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10. (1)在旋转过程中. ①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长; ②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长. (2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长. 六、解答题(本大题共12分) 23.【问题提出】如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5.求∠APB的度数. 【数学思考】当图形中有一组邻边相等时,通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题. 【尝试解决】(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP'B,连接PP',则△APP'为等边三角形. ∵P'P=PA=3,PB=4,P'B=PC=5, ∴P'P2+PB2=P'B2, ∴△BPP'为　　　　三角形,  ∴∠APB的度数为　　　　.  【类比探究】(2)如图2,在等边三角形ABC外部有一点P,若∠BPA=30°,求证:PA2+PB2=PC2. 【联想拓展】(3)如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.点P在直线BC上方且∠APB=45°,PC=BC=2,求线段PA的长. 【参考答案】 1.D　2.D　3.B　4.B　5.A 6.C　提示:如图,共有2种情况. 7.(-2,4)　8.3　9.72　10.(-,3)　11.15° 12.30°或90°或105°　提示:当OB平分∠AOD时, ∵∠AOE=α,∠COD=60°, ∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COD=120°-α, ∴∠AOB=∠AOD=60°-α=45°, ∴α=30°; 当OB平分∠AOC时, ∵∠AOC=180°-α, ∴∠AOB=90°-α=45°, ∴α=90°; 当OB平分∠DOC时, ∵∠DOC=60°,∴∠BOC=30°, ∴α=180°-45°-30°=105°. 综上所述,旋转角度α的值为30°或90°或105°. 13.(1)解:据题意,得+a-8=0, 解得a=5. 3分 (2)解:A;90;等腰直角. 3分 14.解:由旋转可知△ABC≌△ADE. ∵∠D=25°, ∴∠B=∠D=25°,∠EAD=∠CAB. ∵∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=120°,∠CAD=10°, ∴∠CAB=(120°-10°)÷2=55°, ∴∠FAB=∠CAB+∠CAD=55°+10°=65°. ∵∠DFB是△ABF的外角, ∴∠DFB=∠B+∠FAB, ∴∠DFB=25°+65°=90°. 6分 15.证明:∵△ABO与△CDO关于点O中心对称, ∴BO=DO,AO=CO. 1分 ∵AF=CE, ∴AO-AF=CO-CE, ∴FO=EO. 3分 在△FOD和△EOB中, ∴△FOD≌EOB(SAS), ∴DF=BE. 6分 16.解:(1)如图1,线段AF为所求. 2分 (2)如图2,线段DH为所求. 6分 17.解:(1)△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示. 2分 (2)①由图可知,旋转角为90°. 4分 ②点B2的坐标为(6,2). 6分 18.解:(1)证明:∵线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM, ∴BM=OB,∠ABC=∠OBM=60°, ∴∠ABO=∠CBM. 在△AOB和△CMB中, ∵BO=BM,∠ABO=∠CBM,BA=BC, ∴△AOB≌△CMB(SAS), ∴AO=CM. 4分 (2)△OMC是直角三角形.理由如下: ∵∠OBM=60°,OB=BM, ∴△OBM是等边三角形, ∴OM=OB=BM. 在△OMC中,OM2=OB2=100,OC2+CM2=OC2+AO2=62+82=100, ∴OM2=OC2+CM2, ∴△OMC是直角三角形. 8分 19.解:(1)四边形BDEG是菱形. 1分 理由:∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称, ∴AB=AE,AD=AG, ∴四边形BDEG是平行四边形. 3分 又∵∠BAD=90°, ∴BE⊥DG, ∴四边形BDEG是菱形. 5分 (2)∵矩形ABCD的面积为6, ∴AD·AB=6, ∴S菱形BDEG=BE·DG=×2AB×2AD=12. 8分 20.解:(1)如图,连接BD交EF于点M.∵点B,D关于EF对称,∴BM=DM,EM⊥BD,易证EM=FM, ∴点E,F关于点M成中心对称,点B,D关于点M成中心对称.又∵M为BD的中点,∴点A,C关于点M成中心对称,∴四边形AEFD与四边形CFEB关于点M成中心对称. 4分 (2)设BE=OE=x,则AE=9-x. 在直角三角形AED中,(9-x)2+32=x2,解得x=5, ∴E点的坐标为(4,3),F点的坐标为(5,0),∴EF==, ∴直线EF的解析式为y=-3x+15. 8分 21.证明:(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ, ∴AQ=AF,∠QAF=90°. ∵∠EAF=45°, ∴∠QAE=∠QAF-∠EAF=45°, ∴∠QAE=∠FAE. 在△AQE和△AFE中, ∴△AQE≌△AFE(SAS), ∴∠AEQ=∠AEF, ∴EA是∠QED的平分线. 4分 (2)由(1)得△AQE≌△AFE, ∴QE=EF, 由旋转的性质,得∠ABQ=∠ADF. ∵∠ADF+∠ABD=90°, 则∠QBE=∠ABQ+∠ABD=90°. 在Rt△QBE中, QB2+BE2=QE2. 又∵QB=DF,QE=EF, ∴EF2=BE2+DF2. 9分 22.解:(1)①AM=AD+DM=40,或AM=AD-DM=20. 2分 ②显然∠MAD不能为直角. 当∠AMD为直角时,AM2=AD2-DM2=302-102=800, ∴AM=20或-20(舍弃). 当∠ADM=90°时,AM2=AD2+DM2=302+102=1 000, ∴AM=10或-10(舍弃). 综上所述,满足条件的AM的值为20或10. 5分 (2)如图,连接CD1. 由题意可知∠D1AD2=90°,AD1=AD2=30, ∴∠AD2D1=45°,D1D2=30. ∵∠AD2C=135°, ∴∠CD2D1=90°, ∴CD1==30. ∵∠BAC=∠D1AD2=90°, ∴∠BAC-∠CAD2=∠D2AD1-∠CAD2, ∴∠BAD2=∠CAD1. ∵AB=AC,AD2=AD1, ∴△BAD2≌△CAD1(SAS), ∴BD2=CD1=30. 9分 图1 23.解:(1)直角;150°. 2分 (2)证明:如图1,把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△CBP',连接PP'. 3分 则P'B=PB,P'C=PA,∠PBP'=60°,∠BP'C=∠APB=30°, ∴△BPP'是等边三角形, 4分 ∴∠PP'B=60°,∴PP'=PB, 5分 ∴∠PP'C=60°+30°=90°. 6分 在Rt△PP'C中,PP'2+P'C2=PC2, ∴PA2+PB2=PC2. 7分 图2 (3)如图2,把△ABP绕点A顺时针旋转90°得到△ACP'.P'落在PB上. 8分 则P'A=PA,P'C=PB,∠PAP'=90°,∠AP'C=∠APB=45°, ∴∠PP'A=45°, ∴∠PP'C=45°+45°=90°. 10分 又∵PC=BC, ∴PP'=P'B=PB=P'C. 在Rt△PP'C中,PP'2+P'C2=PC2, 11分 ∴PP'2+(2PP')2=(2)2, 解得PP'=2,即PA=. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $