第二十九章 圆培优提升专题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学圆单元复习同步练，以“基础巩固—综合应用—拓展创新”分层设计，通过专题化训练实现从概念理解到跨情境迁移的知识巩固，培养抽象能力、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的基本概念、性质及简单计算|选择/填空题（如直径与圆周角关系）对应基础考点，夯实概念理解| |综合应用|圆的性质综合、弧长与扇形面积计算|解答题（如垂径定理与全等结合）融合多知识点，提升推理能力| |拓展创新|教材难题生长、跨学科综合（如托勒密定理应用）|难题生长题与全国视野题（如内接四边形动态问题），培养创新意识与模型观念|

第二十九章 圆 培优提升专题1：圆的有关概念 1.(2025 山西)如图,AB为⊙O 的直径,点 C,D 是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若 则∠D 的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 2.(2024 广州)如图,在⊙O中,弦AB 的长为4，点C在⊙O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.已知⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P 与⊙O 的位置关系是( ) A.点P在⊙O上 B.点 P 在⊙O内 C.点 P 在⊙O外 D.无法确定 3.如图,点A,B,C在⊙O上,D 是优弧 的中点，DE∥BC交AC 的延长线于点 E,若AE =10,∠ACB =60°,求BC的长. 4.(2025 遂宁节选)我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形。我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”.请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等内接四边形的有 (填序号). 5.点A,B,C在⊙O上,弦BD与AC 相交于点 E,连接BO,且∠OBC=∠ABD. (1)如图1,求证:AC⊥BD; (2)如图2,在 BE上取一点F,使EF=DE,直线CF与AB 相交于点 G,若∠ABC=60°,求证:BF=BO. 培优提升专题2：圆的有关性质 1.如图,在⊙O中,弦AB=CD=8cm ,若AB⊥CD 于点P,且 则⊙O的半径为( ) A.4cm B.5cm C.5cm D.6cm 2.(2026重庆一模)如图,AB 为⊙O 的直径,E 是AB上一点,C 是⊙O 上的点,四边形ACDE 为菱形,CD交⊙O 于点F,连接EF,若EF⊥AB,AB=4,则OE= . 3. 如图，已知⊙O的半径为4，一条直线AB 经过圆心O,另一条直线AC与⊙O分别交于点 C 和点 D,∠A=25°, ∠ABD = 10°,则弦 CD 与圆心 O 的距离为 . 4. (2026芜湖期末)如图,AB 是⊙O 的直径,弦AC⊥半径OD于点 E，P 为直径AB 上一动点，若C 为劣弧 的中点,DE=6,求 PE+PC 的最小值. 5.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB =扫码批改+错题本AC,E 是/AC的中点,连接OE,交AC于点 D,射线AE交BC 的延长线于点 F. (1)求证:AC=CF; (2)若OA =5,AB=6,求BC的长; (3)若直线OD与直线BC交于点 G,且BG=CF,求∠ABC的度数. 培优提升专题3：弧长和扇形面积 1.为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如图，AB与CD分别是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多 36 米，则公路宽 AC 的长是 米.(π取3.14,计算结果精确到0.1米) 2.(2024 深圳)如图,在矩形ABCD 中, 为BC的中点,OE =AB =4,则扇形 EOF 的面积为 . 3.如图,AB 是⊙O的直径,点C 是圆上一点,连接AC,BC,过点O 作OE⊥AC于点 D,交⊙O 于点 E. (1)求证:OE∥BC; (2)若 求BC 的长; (3)在(2)的条件下,求弓形AEC 的面积. 4.(2026西安一模)如图，E，F分别为正方形ABCD的边AD,BC的中点,以F 为圆心,EF为半径作扇形 EFN与BC的延长线交于点N，与CD交于点M.若EF=18,则EM的长为( ) A.6π B.2π C.π D.3π 5.如图，在⊙O中，已知 AC是⊙O 的直径，AC⊥BD于点 F,∠A=30°. (1)求图中阴影部分的面积； (2)若用阴影扇形 OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径； (3)试判断⊙O 中其余部分能否给(2)中的圆锥做两个底面. 培优提升专题4：教材难题生长题 教材难题 【例1】(人教9上P146拓广探索)(运算能力、几何直观、模型观念)如图,在△ABC中,∠A=60°,以BC为直径的⊙O分别交△ABC的边AB,AC于D,E 两点.判断△ODE 的形状,并说明理由. 解题思路：作辅助线，连接CD，构造直角三角形，运用三角形的内角和定理与圆周角定理即可求出∠DOE的度数，再根据等边三角形的判定判断△ODE 的形状. 难题生长 1.(2026湖南模拟)如图,在△ABC中,AB为半圆O的直径,AC,BC分别交半圆O于点E,D,且BD=DE. (1)求证:点D 是BC的中点; (2)若点 E 是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由. 教材难题 【例2】(人教9上P146拓广探索)(运算能力、几何直观、模型观念)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为直径,过点C作CD⊥AB,垂足为D,设AD=a,BD=b. (1)分别用a,b表示OC,CD; (2)OC 和CD的长之间有什么关系?由此你能得到怎样的关于a，b的不等式? 解题思路：(1)先根据直径长度求出半径OC，再利用直径所对圆周角为直角，结合勾股定理列式求出垂线段CD；(2)由直角三角形斜边最长，得到OC≥CD，代入得出两者数量关系. 难题生长 2.(2026绍兴模拟)如图,四边形ABCD为⊙O 的内接四边形,且∠C=2∠A. (1)求∠A 的度数; (2)若⊙O 的半径为5. ①如图2,连接BD,求BD 的长; ②如图3,连接CA,若CA平分∠BCD,求BC+CD的最大值. (3)如图4，若AC是⊙O 的直径，直接写出线段AB，BC，CD之间的等量关系 培优提升专题5：全国视野培优特训 1.(2026福建一模)如图,D 是△ABC 外接圆⊙O 上的一点,AC⊥BD 于点 G,连接AD,CD,OD.过点 B 作直线BF∥AD交AC 于点 E,交⊙O 于点 F.若 F 是CD的中点. (1)求证: (2)当CD=3时,求⊙O 的半径; (3)若 连接OG，请直接写出∠GOD 与∠ADC 之间的数量关系. 2.(2026 贵州一模)【定理感知】克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论. 【定理理解】如图,在四边形ABCD中,有AC·BD≤AB·CD +AD·BC,特别地,当∠ABC +∠ADC =180°时,有AC·BD=AB·CD+AD·BC. 【定理运用】请直接运用该定理解决下列问题： (1)如图1,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,AC为直径,∠ACB=30°,∠ACD=45°,且AB=1,则BD的长为 ； (2)如图2，半圆O 的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上的一点，以AB为一边作等边三角形 ABC，求OC 的最大值及此时AB的长； (3)如图3,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,AD=2,CD=4,求 的最大值. 第二十九章 圆 培优提升专题1：圆的有关概念 1. B 2. C 3.解:∵D是BCA的中点, . DA=DB. ∵∠ACB=60°,∠ACB 与∠ADB是同弧所对的圆周角, ∴∠ADB=60°,∴△ADB是等边三角形, ∴∠DAB=∠DBA=60°, ∴∠DCB=∠DAB=60°. ∵DE∥BC,∴∠E=∠ACB=60°, ∴∠DCB=∠E. ∵∠ECD=180°-∠ACB-∠DCB=60°, ∴△ECD是等边三角形,∴ ED=CD. ∵∠EAD 与∠DBC是 所对的圆周角,∴∠EAD=∠DBC.在△EAD 和△CBD中, ∴ △EAD≌△CBD(AAS),∴BC=AE=10. 4.③ 5.证明:(1)如图1,延长BO与⊙O 相交于点 K,连接CK. ∵BK为⊙O的直径,∴ ∠BCK=90°, ∵∠OBC=∠ABD,∠A=∠K, ∴∠AEB=∠180°-∠ABD-∠A =180°-∠OBC-∠K=∠BCK=90°, ∴AC⊥BD. (2)如图2,连接CD. 由(1)与已知可得AC垂直平分DF,∴CD=CF,∴∠DCA=∠ACF 且∠D=∠CFD,延长CG与⊙O 相交于点H,连接BH,OH. ∴∠ABH=∠ABD=∠OBC, 又∵∠BFH=∠CFD, ∴∠BGF=∠CEF=90°=∠BGH, ∴∠BHG=∠HFB,∴BH=BF, ∵∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠ABO+∠ABH=∠OBH=60°,OH=OB, ∴△OBH为等边三角形,∴OB=BH=BF,即BF=BO. 培优提升专题2：圆的有关性质 1. C 2.2-4 3.2 4.解:∵AC⊥OD, :C为 的中点，. .∠BOD=120°,∠AOD=60°,∴∠OAC=30°, ∵OE=DE=6,∴OA=OD=12, 如图,过点C作CF⊥AB于点F,并延长CF交⊙O 于点H,连接OH, ∴点C与点H关于AB对称,∴∠BOC=∠BOH=60°,∴∠BOD+∠BOH=180°,∴点E,O,H三点共线,由轴对称的性质可知：PE+PC的最小值为点O 与点P 重合时,如图,即最小值为OE+OH=EH, ∴OE+OH=6+12=18, 即P为AB 的中点时,PE+PC的最小值为18. 5.(1)证明:∵AB=AC,∴AB=AC,·OA⊥BC,∴∠F+∠OAF=90°, ∵E是 的中点,∴OE⊥AC,∴∠CAF+∠OEA=90°, ∵OA=OE,∴∠OAF=∠OEA, ∴∠F=∠CAF,∴AC=CF. (2)解:设BC与OA交于点H,连接OB,如图1, 设OH=x,则AH=OA-OH=5-x, 解得x=1.4,即OH=1.4, ∴BC=2BH=9.6. (3)解:①点G在线段BC上时,连接AG,如图2, ∵AC=CF,∴∠F=∠CAF, 设∠F=∠CAF=α,则∠ACB=∠F+∠CAF=2α, ∵E是 的中点,∴OD⊥AC,AD=CD, ∴OE为AC 的垂直平分线,∴AG=CG, ∴∠GAC=∠GCA=2α,∴∠AGB=∠GAC+∠GCA=4α, ∵BG=CF,AC=CF,AB=AC,∴AB=BG. ∴∠BAG=∠AGB=4α, ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=2α, ∵∠B+∠BAG+∠AGB=180°,即2α+4α+4α=180°, ∴α=18°,∴∠ABC=2α=36°. ②点G在线段CB的延长线上时，连接AG，如图3， ∵AC=CF,∴∠F=∠CAF, 设∠F=∠CAF=x,则∠ACB=∠F+∠CAF=2x, ∵E是AC的中点,∴OD⊥AC,AD=CD, ∴OE为AC的垂直平分线,∴AG=CG, ∴∠GAC=∠GCA=2x, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x, ∵BG=CF,AC=CF,AB=AC,∴AB=BG, ∴∠BAG=∠AGB, ∵∠BAG+∠BGA=∠ABC=2x,∴∠BAG=∠AGB=x, ∵∠AGC+∠CAG+∠ACG=180°,∴x+2x+2x=180°, ∴x=36°,∴∠ABC=2x=72°. 综上,∠ABC 的度数为36°或72°. 培优提升专题3：弧长和扇形面积 1.28.7 2.4π 3.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. ∵OD⊥AC,即∠ADO=90°, ∴∠ACB=∠ADO=90°,∴OE∥BC. (2)解:在 Rt△ABC中,点O为AB的中点, ∵OD⊥AC,∴点D为AC的中点, 设圆的半径为r,则OD=OE-DE=r-3. 在Rt△ADO中, 即 解得r=6,∴OA=6,OD=3. ∵点O 与点D分别为AB与AC的中点， ∴BC=2OD=2×3=6. (3)解:如图,连接OC, ∵圆的半径为6,BC=6, ∴OC=OB=BC=6,∴△OBC为等边三角形, ∴∠BOC=60°,∴∠AOC=120°, 由勾股定理可得AD=3\sqrt{3},.. AC=6\sqrt{3} 4. D 5.解:(1)∵AC为⊙O的直径,AC⊥BD,∠A=30°,∴∠BOC=60°,∴∠OBF=30°,∠BOD=120°. ∵在Rt△ABF中,AB=4\sqrt{3},∴BF=2\sqrt{3} ∴OB=4, (2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， ∴⊙O中其余部分能给(2)中的圆锥做两个底面. 培优提升专题4：教材难题生长题 【例1】解：△ODE是等边三角形，理由如下： 如图，连接CD， ∵BC为⊙O的直径,∴∠BDC=90°, ∴∠ADC=90°. ∵∠A=60°,∴∠ACD=30°. ∴∠DOE=60°, ∵OD=OE, ∴△DOE 是等边三角形. 1.(1)证明:如图,连接AD, . AB为半圆O的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠ADC=180°-90°=90°, ∴BD=DE,. ∴ ∠BAD=∠CAD, 在△BAD和△CAD中, ∴BD=CD,即点D是BC 的中点. (2)解：△ABC是等边三角形，理由如下： ·△BAD≌△CAD,∴AB=AC, ∵∠ADC=90°,点E 是AC的中点, ∴DE=AE=CE, 由(1)得,DE=BD=CD, ∴AE+CE=BD+CD,即AC=BC, ∴AC=BC=AB, ..△ABC是等边三角形. 【例2】解:(1)∵AB是⊙O的直径,且AD=a,BD=b, ∴AB=AD+BD=a+b, 又∵OC是⊙O的半径, ∵AB是⊙O的直径, ∴ ∠ACB=90°,即△ABC是直角三角形, 又∵CD⊥AB,∴△ACD,△BCD 均为直角三角形. 设CD=h，根据勾股定理得， 在Rt△ACD中, 在Rt△BCD 中, 在Rt△ABC中, 即 (a+b)², 整理并化简得 ∵h>0,∴CD=h=√ab. (2)当点D和O不重合时,在 Rt△OCD 中,OC>CD,即 当点D和O重合时,OC=CD,即 ∴OC和CD的长之间存在的数量关系是OC≥CD，得到的不等式是 2.解:(1)∵四边形ABCD是圆内接四边形, ∴∠A+∠C=180°, 又∵∠C=2∠A,∴3∠A=180°,∴∠A=60°. (2)①如图1,连接OB,OD,过点O作OE⊥BD于点E, 则∠BOD=2∠A=120°,OB=OD=5, ∴在Rt△OBE中, 由垂径定理，得 ②如图2,连接BD,延长DC到点 F,使得CF=BC,连接BF,则BC+CD=CF+CD=DF, ··CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA,∴ 又∵∠BAD=60°,∴△ABD 是等边三角形, 由(2)①得 ∴△BCF 是等边三角形,∴∠F=60°, ∴点F在以BC为弦，所对圆周角为60°的圆上， ∴当DF 为所在圆直径时,DF的长最大,此时∠DBF=90°, 即为最大值， ∴ BC+CD的最大值为10. 【解析】如图3,延长BC,AD,交于点 G, ∵AC为直径,∴∠B=∠ADC=90°, ∴∠G=90°-∠BAD=30°,∴AG=2AB,CG=2CD, 又BG=BC+CG,∴ 培优提升专题5：全国视野培优特训 1.(1)证明:∵F是CD的中点, ∵AD∥BF,∴AB=DF,∴AB=CF. (2)解:如图,过点O作OM⊥CD于点M,连接OC, ∵CD=3, 由(1)可知 ∴∠ACB=∠CBF=∠DBF, ∵AC⊥BD,∴∠BGC=90°, ∴∠DBF+∠CBF+∠ACB=90°, ∴∠DBF=∠CBF=∠ACB=30°, ∴∠DBC=60°,∴∠DOC=2∠DBC=120°, ∵OD=OC,∴∠ODM=30°,. ∵⊙O的半径为\sqrt{3} (3)2∠GOD+∠ADC=240°. 【解析】同(2),作OM⊥DC于点 M,连接OC,由(2)知,∠BGC=∠AGD=90°,∠ACB=30°,∠ODM=30°,.∠ADB=∠ACB=30°, 设GE=x,则 .. CG=\sqrt{3}BG=3x, ∴DG=OD, ∴2∠GOD+∠ODG=180°, ∵∠ADB+∠ODC=60°, ∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC=240°, 即2∠GOD+∠ADC=240°. 2.解: (2)由题意得,OA=2,OB=1, ∵△ABC是等边三角形,∴设AB=AC=BC=x,在四边形AOBC中，由托勒密定理得， AB·OC≤OA·BC+OB·AC, ∴x·OC≤2x+x,∴OC≤3, 当且仅当∠AOB+∠ACB=180°时,等号成立,又∵∠ACB=60°,∴ ∠AOB=120°, 如图1,过点B作BM⊥OA 于点M, ∴在Rt△BMO中,∠BOM=60°,∠OBM=30°, 在 Rt△ABM中, ∴OC的最大值为3，此时AB的长为\sqrt{7} (3)∵∠ADC=90°,AD=2,CD=4, ∵∠ABC=90°,∴∠ADC+∠ABC=180°, ∴A,B,C,D四点共圆, 在四边形ABCD中，由托勒密定理得， AC·BD=AD·BC+AB·CD, 又∵A,B,C,D四点共圆,且AC为直径, ∴BD≤AC=2\sqrt{5} 如图2，当且仅当BD为直径时，等号成立. 即最大值为5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $