1.1 探索勾股定理 一课一练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理同步练，分层覆盖基础计算到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与数学思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理基本计算与概念|直接应用定理求边长（单选1）、正方形面积关系（填空11），巩固运算能力| |中档|实际应用与图形综合|芦苇问题（单选6）、半圆面积关系（填空14），培养几何直观与模型意识| |提升|证明方法与规律探究|弦图面积证明（解答18）、规律图形距离计算（单选7），发展推理能力与创新意识|

1.1 探索勾股定理 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 2．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 3．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 4．如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（   ） A．4，5，6 B．5，7，12 C．5，9，16 D．6，12，15 5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 6．如图所示，有一个水池，在水池正中央有一根芦苇，它离岸边的距离尺，高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．由此可知水池的深度的长为（   ）． A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 7．如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（    ） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 9．如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 10．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 12．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 13．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为________． 14．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是______． 15．如图，已知在中， ，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于_______________________． 三、解答题 16．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离． 17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案． 18．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理． 19．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？ 20．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B D C B C C A 1．【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 2．【答案】A 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 3．【答案】A 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， A项：，不满足要求，不符合题意； B项：，满足要求，符合题意； C项：，不满足要求，不符合题意； D项：，不满足要求，不符合题意， 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 6．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解． 找到题中的直角三角形，设深度的长为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设深度的长为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故选：C 7．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出和，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴， 同理可求，， 点到的距离是h， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 8．【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 9．【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图：   （米）， （米）， （米， 故选：C． 10．【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：①∵△ABC为直角三角形， ∴根据勾股定理：x2＋y2＝AB2＝49，故本选项正确； ②由图可知，x−y=CE==2，故本选项正确； ③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为4××xy＋4＝49，即2xy＋4＝49； 故本选项正确； ④由2xy＋4＝49可得2xy＝45①， 又∵x2＋y2＝49②， ∴①＋②得，x2＋2xy＋y2＝49＋45， 整理得，（x＋y）2＝94， x＋y＝≠9，故本选项错误． ∴正确结论有①②③． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 11．【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键． 根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可． 【详解】解：∵在直角中，， 又∵，，， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，第一种方法，这个图形的面积等于三个直角三角形的面积；第二种方法，可证明，进而推出B、C、D三点共线，则这个图形的面积等于梯形的面积，两种方法分别表示出这个图形的面积即可得到答案． 【详解】解；这个图形的面积等于三个直角三角形的面积，即为； 如图所示，∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴这个图形的面积等于梯形的面积，即为， ∴， ∴， 故答案为：． 13．【答案】1 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由即可求解． 【详解】解：中，， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】先由勾股定理可得： 再利用，然后整体代入求解即可. 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是半圆的面积的计算，勾股定理的应用，掌握利用勾股定理的知识计算图形的面积是解题的关键. 16．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 17．【答案】③④或④⑨⑦ 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：以直角三角形三边向外作正方形，两个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：设正方形①、③、④的边长分别是a、b、c， 则正方形①的面积＝a2，正方形③的面积＝b2，正方形④的面积＝c2， 又∵c2+b2＝a2， ∴③和④的面积之和恰好等于最大正方形①的面积． 同理，④⑨⑦的面积恰好等于最大正方形①的面积． 类似的还有：⑧⑩⑨⑦或⑧⑩③． 【点睛】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键． 18．【答案】 解：因为梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 所以， 所以． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据梯形与三角形的面积公式即可得到结论； 【详解】略 19．【答案】当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过人的头顶点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝90°， 由题意可知，CD＝BE＝1.5m，AB＝4.5m， 在Rt△ACE中，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3，AC＝5， 由勾股定理，得， ∴CE＝4（m）． ∴当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 20．【答案】(1) 证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）略 （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $