1.1 探索勾股定理课时作业2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理同步练，分2课时系统覆盖定理探索、验证与应用，分层设计贴合认知进阶，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|定理概念、公式变形、探索方法|含易错警示，强调直角三角形前提与斜边判断| |基础训练（选择填空）|公式直接应用、概念辨析|聚焦3-4-5等整数边直角三角形，巩固a²+b²=c²核心| |解答题|面积法验证、综合计算|结合方格纸数面积（第1课时）、赵爽弦图推理（第2课时），渗透方程思想解决斜边上的高问题|

北师大版数学八年级上册 第一章　勾股定理 1　探索勾股定理　·　课时作业（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第一章第 1 节「探索勾股定理」编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　勾股定理的探索与认识； 第 2 课时　勾股定理的验证与简单应用。 说明：本章安排在「实数」之前，因此本作业中所有题目的边长都设计为整数或有限小数，不出现根号；涉及「斜边上的高」时，结果用分数表示。直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）将在第 2 节学习，本节不涉及。 本节的核心结论 直角三角形三边的名称与勾股定理 1　探索勾股定理 第 1 课时　勾股定理的探索与认识 一、知识梳理 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果用 a、b 表示直角三角形的两条直角边，用 c 表示斜边，那么 a2 + b2 = c2。 2. 名称的由来：我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦， 所以这个结论又叫做勾股定理，即 勾2 + 股2 = 弦2。 3. 公式的三种变形： c2 = a2 + b2；　　a2 = c2 - b2；　　b2 = c2 - a2。 已知任意两条边，就可以求出第三条边。 4. 探索的方法——在方格纸上数面积： 分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，用数格子或割、补的方法算出它们的面积。 在方格纸上探索直角三角形三边的关系 结论：以两条直角边为边的正方形面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积。 5. 使用勾股定理的前提： ① 图形必须是直角三角形； ② 用之前先分清哪条边是斜边——斜边是直角所对的边，也是三条边中最长的边。 【易错警示】 ① 不是直角三角形不能用勾股定理。 ② 弄错斜边是最常见的错误：在 △ABC 中，若 ∠B = 90°，则斜边是 AC，应写成 AB2 + BC2 = AC2，而不是 AB2 + AC2 = BC2。 ③ 三条边的单位要统一后才能代入计算。 ④ 边长一定是正数，由 c2 = 25 得 c = 5（负值不合题意，舍去）。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则 AB 的长是（　　） A. 10　　B. 12　　C. 14　　D. 100 2. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 5，AC = 13，则 BC 的长是（　　） A. 8　　B. 12　　C. 14　　D. 18 3. 下列说法正确的是（　　） A. 任意三角形的三边都满足 a2 + b2 = c2 B. 直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C. 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 D. 在 Rt△ABC 中，一定有 AB2 + BC2 = AC2 4. 一个直角三角形的两条直角边长分别是 9 和 12，则这个三角形的周长是（　　） A. 36　　B. 30　　C. 21　　D. 54 5. 分别以一个直角三角形的三条边为边向外作正方形，若两个较小正方形的面积分别是 25 和 144， 则最大正方形的面积是（　　） A. 119　　B. 169　　C. 13　　D. 12 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 勾股定理：直角三角形两直角边的 ____________ 等于 ____________，用式子表示为 ____________________。 7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 3，b = 4，则 c = ________。 8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 25，a = 7，则 b = ________。 9. 一个直角三角形的两条直角边长分别是 5 cm 和 12 cm，则斜边上的高是 ________ cm。 10. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a : b = 3 : 4，c = 20，则 a = ________，b = ________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（16 分）求下列直角三角形中未知边的长。 (1) 两条直角边分别是 6 和 8，求斜边； (2) 斜边是 17，一条直角边是 8，求另一条直角边； (3) 斜边是 41，一条直角边是 9，求另一条直角边； (4) 两条直角边之比是 5 : 12，斜边是 26，求这两条直角边。 12.（14 分）如图，方格纸中每个小方格的边长都是 1，图 ② 中直角三角形的两条直角边分别是 3 和 2， 分别以它的三条边为边向外作正方形 A、B、C。 第 12 题图 (1) 用数格子（或割补）的方法分别求出正方形 A、B、C 的面积； (2) 写出 A、B、C 三个面积之间的关系； (3) 由此说出直角三角形三条边之间有怎样的关系。 13.（14 分）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 5，BC = 12。 (1) 求 AB 的长； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 求 AB 边上的高 CD。 14.（16 分）如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC 于点 D，AB = 15，AD = 12，AC = 13。 第 14 题图 (1) 求 BD 的长； (2) 求 DC 的长； (3) 求 BC 的长和 △ABC 的面积。 1　探索勾股定理 第 2 课时　勾股定理的验证与简单应用 一、知识梳理 1. 验证一：赵爽弦图（我国三国时期数学家赵爽的方法） 赵爽弦图：用两种方法算同一个大正方形的面积 大正方形的边长是 c，中间小正方形的边长是 b - a，所以 c2 = 4 × ab ÷ 2 + (b - a)2 = 2ab + a2 - 2ab + b2 = a2 + b2。 2. 验证二：伽菲尔德梯形证法 用梯形面积验证勾股定理 3. 面积法的基本思想：用两种不同的方法去计算同一个图形的面积，再令两个结果相等，就能得到一个等式。 这是本章最重要的数学思想，也叫「割补法」或「等积法」。 4. 求边长的两种基本类型： 已知两边求第三边的两种类型 5. 常见的整数边直角三角形（三边都是整数，计算时很常用）： 最短边 另一直角边 斜边 最短边 另一直角边 斜边 3 4 5 8 15 17 6 8 10 7 24 25 5 12 13 20 21 29 把上面任意一组数同时扩大相同的倍数，得到的三个数仍然是一个直角三角形的三边长， 例如 3、4、5 各扩大 3 倍得 9、12、15。（这样的三个整数在下一节中叫做勾股数。） 【易错警示】 ① 面积法验证时，两种算法必须算的是同一个图形的面积。 ② (a + b)2 与 a2 + b2 不相等，中间还差 2ab，化简时不要漏掉。 ③ 求斜边上的高时，用面积相等：两直角边的积 ÷ 2 = 斜边 × 斜边上的高 ÷ 2，所以 高 = 两直角边的积 ÷ 斜边。 ④ 已知两条边而没有说明哪条是斜边时，要注意题目给出的直角在哪个顶点，不能随意假设。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 在赵爽弦图中，大正方形的边长是（　　） A. a　　B. b　　C. c　　D. a + b 2. 在赵爽弦图中，若直角三角形的两条直角边分别是 a、b（b > a），则中间小正方形的边长是（　　） A. b - a　　B. a + b　　C. c　　D. c - a 3. 用四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，由面积关系可以得到（　　） A. c2 = 4ab + (b - a)2　　　　　　　　B. c2 = 2ab + (b - a)2 C. c2 = 4ab + (a + b)2　　　　　　　　D. c2 = 2ab + (a + b)2 4. 伽菲尔德用梯形的面积验证勾股定理，他所用的梯形的面积等于（　　） A. (a + b)2 ÷ 2　　B. (a + b)2　　C. ab + c2　　D. ab ÷ 2 + c2 5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 8，c = 17，则这个三角形的面积是（　　） A. 60　　B. 68　　C. 120　　D. 136 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 在赵爽弦图中，大正方形的面积可以直接表示为 ________，也可以表示为 ____________________。 7. 用两种不同的方法计算同一个图形的面积来说明结论，这种方法叫做 ________ 法。 8. 一个直角三角形的两条直角边长分别是 8 和 15，则斜边长是 ________，斜边上的高是 ________。 9. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 10，a : b = 3 : 4，则 a = ________，b = ________。 10. 把 3、4、5 各扩大到原来的 6 倍，得到 ____________________，它们 ________（填「能」或「不能」）作为一个直角三角形的三边长。 （三）解答题（共 60 分） 11.（16 分）如图是赵爽弦图，它由 4 个全等的直角三角形（两条直角边分别是 a、b，斜边是 c）和中间一个小正方形拼成。 第 11 题图 (1) 大正方形的边长是多少？它的面积怎样直接表示？ (2) 中间小正方形的边长是多少？ (3) 用「4 个三角形 + 1 个小正方形」的方法表示大正方形的面积； (4) 由(1)、(3) 写出等式并化简，你得到了什么结论？ 12.（14 分）如图是伽菲尔德的「梯形证法」，点 E 在 AB 上，AE = a，EB = b，AD = b，BC = a，DE = EC = c，且 ∠DEC = 90°。 第 12 题图 (1) 用梯形面积公式表示梯形 ABCD 的面积； (2) 用三个三角形面积的和表示梯形 ABCD 的面积； (3) 由(1)、(2) 相等，化简得到勾股定理。 13.（14 分）解下列各题。 (1) 一个直角三角形的两条直角边之比是 3 : 4，周长是 36 cm，求它的斜边长； (2) 一个直角三角形的斜边长是 25 cm，一条直角边长是 15 cm，求它的面积； (3) 一个直角三角形的两条直角边分别是 9 cm 和 12 cm，求斜边上的高。 14.（16 分）如图，在 △ABC 中，AB = 13，BC = 14，AC = 15，AD ⊥ BC 于点 D。 第 14 题图 (1) 设 BD = x，用含 x 的式子分别表示 AD2 （在两个直角三角形中各写一次）； (2) 列出方程并求出 BD 的长； (3) 求 AD 的长和 △ABC 的面积。 参考答案与解析 第 1 课时　勾股定理的探索与认识 一、选择题 1. A　【解析】∠C = 90°，所以 AB 是斜边。 AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100，所以 AB = 10。 选 D 的同学把 AB2 当成了 AB，要注意最后一步开方。 2. B　【解析】∠B = 90°，所以斜边是 AC，不是 BC。 BC2 = AC2 - AB2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144，所以 BC = 12。 3. C　【解析】A 中「任意三角形」错，必须是直角三角形； B 中「任意两边」错，必须是两条直角边的平方和等于斜边的平方； D 中没有指明直角是哪个角，若 ∠A = 90°，则应是 AB2 + AC2 = BC2。 4. A　【解析】斜边2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225，斜边 = 15。 周长 = 9 + 12 + 15 = 36。 5. B　【解析】两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形的面积， 所以最大正方形的面积 = 25 + 144 = 169。（选 C 的同学求成了斜边的长。） 二、填空题 6. 平方和；斜边的平方；a2 + b2 = c2 7. 5 【解析】c2 = 32 + 42 = 25，c = 5。 8. 24 【解析】b2 = c2 - a2 = 252 - 72 = 625 - 49 = 576，b = 24。 9. 【解析】斜边2 = 52 + 122 = 169，斜边 = 13。 设斜边上的高为 h，由面积相等得 5 × 12 ÷ 2 = 13 × h ÷ 2， 所以 h = 5 × 12 ÷ 13 = （cm）。 10. 12；16 【解析】设 a = 3k，b = 4k（k > 0），则 (3k)2 + (4k)2 = 202，即 25k2 = 400， k2 = 16，k = 4。所以 a = 12，b = 16。 （也可以直接想到 3 : 4 : 5 的整数组，20 = 5 × 4。） 三、解答题 11.（1）斜边2 = 62 + 82 = 100，斜边 = 10。 （2）另一条直角边2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225，另一条直角边 = 15。 （3）另一条直角边2 = 412 - 92 = 1681 - 81 = 1600，另一条直角边 = 40。 （4）设两条直角边分别为 5k、12k（k > 0）， 则 (5k)2 + (12k)2 = 262，即 169k2 = 676，k2 = 4，k = 2。 所以两条直角边分别是 10 和 24。 12.（1）正方形 A 在长为 3 的直角边上，A = 32 = 9； 正方形 B 在长为 2 的直角边上，B = 22 = 4； 正方形 C 在斜边上，用「补」的方法：把 C 放在一个 5 × 5 的大正方形中， 四个角上各有一个直角边为 3、2 的直角三角形， 所以 C = 52 - 4 × (3 × 2 ÷ 2) = 25 - 12 = 13。 （2）A + B = C（因为 9 + 4 = 13）。 （3）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即 a2 + b2 = c2。 13.（1）AB2 = AC2 + BC2 = 52 + 122 = 169，AB = 13。 （2）S = AC × BC ÷ 2 = 5 × 12 ÷ 2 = 30。 （3）由 AB × CD ÷ 2 = 30，得 13 × CD = 60， 所以 CD = 。 【方法总结】直角三角形斜边上的高 = 两直角边的积 ÷ 斜边。 14.（1）在 Rt△ABD 中，∠ADB = 90°， BD2 = AB2 - AD2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81，所以 BD = 9。 （2）在 Rt△ADC 中，∠ADC = 90°， DC2 = AC2 - AD2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25，所以 DC = 5。 （3）BC = BD + DC = 9 + 5 = 14； S = BC × AD ÷ 2 = 14 × 12 ÷ 2 = 84。 【方法总结】高线 AD 是两个直角三角形的公共边，它把一般三角形转化成两个直角三角形。 第 2 课时　勾股定理的验证与简单应用 一、选择题 1. C　【解析】弦图中每个直角三角形的斜边恰好是大正方形的一条边，所以大正方形的边长是 c。 2. A　【解析】中间小正方形的边长等于两条直角边的差，即 b - a。 3. B　【解析】4 个三角形的面积和是 4 × ab ÷ 2 = 2ab，小正方形的面积是 (b - a)2， 所以 c2 = 2ab + (b - a)2。A、C 中把「4 × ab ÷ 2」错算成了 4ab。 4. A　【解析】该梯形的两底分别是 a、b，高是 a + b， 面积 = (a + b) × (a + b) ÷ 2 = (a + b)2 ÷ 2。 选项 D 是三块三角形面积和的一部分，漏掉了一个 ab ÷ 2。 5. A　【解析】b2 = c2 - a2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225，b = 15。 面积 = 8 × 15 ÷ 2 = 60。 二、填空题 6. c2；2ab + (b - a)2 7. 面积 8. 17； 【解析】斜边2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289，斜边 = 17； 斜边上的高 = 8 × 15 ÷ 17 = 。 9. 6；8 【解析】设 a = 3k，b = 4k，则 25k2 = 100，k = 2，所以 a = 6，b = 8。 10. 18、24、30；能 【解析】182 + 242 = 324 + 576 = 900 = 302，所以能作为直角三角形的三边长。 三、解答题 11.（1）大正方形的边长是每个直角三角形的斜边 c，所以面积直接表示为 c2。 （2）中间小正方形的边长是 b - a（设 b > a）。 （3）面积 = 4 个三角形 + 小正方形 = 4 × ab ÷ 2 + (b - a)2 = 2ab + (b - a)2。 （4）由(1)、(3) 得 c2 = 2ab + (b - a)2， 化简右边：2ab + b2 - 2ab + a2 = a2 + b2， 所以 a2 + b2 = c2，这正是勾股定理。 12.（1）梯形 ABCD 的两底是 AD = b 与 BC = a，高是 AB = a + b， 所以 S = (a + b) × (a + b) ÷ 2 = (a + b)2 ÷ 2。 （2）梯形由 Rt△ADE、Rt△BCE 和 Rt△DEC 三块组成， S = ab ÷ 2 + ab ÷ 2 + c2 ÷ 2 = ab + c2 ÷ 2。 （3）由(1) = (2) 得 (a + b)2 ÷ 2 = ab + c2 ÷ 2， 两边同时乘 2：(a + b)2 = 2ab + c2， 即 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2， 所以 a2 + b2 = c2。 13.（1）设两条直角边分别为 3k、4k，则斜边为 5k（因为 (3k)2 + (4k)2 = (5k)2）。 由 3k + 4k + 5k = 36 得 12k = 36，k = 3，所以斜边 = 5 × 3 = 15（cm）。 （2）另一条直角边2 = 252 - 152 = 625 - 225 = 400，另一条直角边 = 20（cm）。 面积 = 15 × 20 ÷ 2 = 150（cm2）。 （3）斜边2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225，斜边 = 15（cm）。 斜边上的高 = 9 × 12 ÷ 15 = 7.2（cm）。 14.（1）设 BD = x，则 DC = 14 - x。 在 Rt△ABD 中：AD2 = AB2 - BD2 = 132 - x2 = 169 - x2； 在 Rt△ADC 中：AD2 = AC2 - DC2 = 152 - (14 - x)2。 （2）因为 AD 是公共边，所以 169 - x2 = 225 - (14 - x)2， 169 - x2 = 225 - (196 - 28x + x2)， 169 - x2 = 29 + 28x - x2， 28x = 140，x = 5，即 BD = 5。 （3）AD2 = 169 - 52 = 144，所以 AD = 12； S = BC × AD ÷ 2 = 14 × 12 ÷ 2 = 84。 【方法总结】遇到「已知三边求高」的题，设出高的一个「脚」为 x， 用同一条高在两个直角三角形中的两种表示列方程，是通用做法。 【学后反思】本节要抓住两条线：一条是结论——直角三角形中 a2 + b2 = c2，用之前先认准哪条边是斜边；另一条是方法——面积法（割补法），即用两种方式计算同一个图形的面积。常见的整数组 3、4、5 与 5、12、13 及它们的整数倍要记熟，可以让计算又快又准。另外，「作高线把一般三角形分成两个直角三角形」是本章最常用的辅助线，一定要熟练。 学科网（北京）股份有限公司 $