2.3 二次根式 一课一练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次根式核心概念与运算，分层设计基础巩固、能力提升、综合应用三阶练习，实现从概念识别到实际应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次根式识别、有意义条件、化简等单一知识点|单选1-6直接考查概念，填空11-12强化基本运算，培养抽象能力| |能力提升|同类二次根式、估算、规律探究等关联知识|单选7-9整合化简与估算，填空14规律题发展推理意识，解答17综合化简与合并| |综合应用|几何应用、实际问题解决等跨情境知识|单选10结合正方形面积考查运算，解答18-20关联物理情境，发展模型意识与应用能力|

2.3 二次根式 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．若代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（    ） A．5 B．25 C． D．10 4．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 5．若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 6．下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 8．估计的值应在（   ）之间 A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 9．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 12．计算：______． 13．已知x＝3﹣2y，则＝___． 14．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 15．若一个四位数M的各个数位上的数字互不相同，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且，把M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，交换M的百位数字和十位数字，得到一个新的四位数N，记，，若是整数，则______；在此条件下，若是一个完全平方数，则满足条件的N的最大值与最小值的差为______． 三、解答题 16．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 17．已知二次根式． （1）如果该二次根式，求的值； （2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个二次根式的积． 18．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 19．观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 20．用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D A C A C D D 1．【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴． 3．【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 故选：A 4．【答案】D 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】求出计算结果为，则为整数，即是完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∵的计算结果为整数， ∴为整数，即是完全平方数， 观察四个选项可知，只有当时，，符合题意． 6．【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，被开方数含能开得尽方的因数，∴ A不是最简二次根式； ，被开方数含能开得尽方的因数，∴ B不是最简二次根式； 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，∴ C是最简二次根式； 的被开方数含分母，∴ D不是最简二次根式． 7．【答案】A 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】将各选项化简后，判断被开方数是否与的被开方数相同即可． 【详解】解：A．，能与合并，故该选项符合题意， B．不能与合并，故该选项不符合题意， C．，不能与合并，故该选项不符合题意， D．，不能与合并，故该选项不符合题意． 8．【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解决本题的关键是正确化简二次根式． 先将原式化简为，再通过估计的范围确定整体值的区间即可． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴原式的值在7和8之间． 故选：C． 9．【答案】D 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 10．【答案】D 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 11．【答案】1 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 12．【答案】2 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：2． 13．【答案】 【知识点】二次根式的除法、已知条件式，化简求值 【分析】由x＝3﹣2y得，原式化简为，从而可求得值． 【详解】解：∵x＝3﹣2y ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题是化简求值问题，考查了二次根式的除法运算，二次根式的化简，求代数式的值，涉及整体思想，关键是二次根式的除法运算． 14．【答案】63 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 15．【答案】 9 4752 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除即可，进而可得的值；是完全平方数，则N能被33整除，且是完全平方数，列举出各值，找出符合题意的数，再作差求值． 本题考查了因式分解的应用，读懂题意，找出各数值之间的内在关系，通过估算列举找出符合题意的值是解本题的关键，综合性较强． 【详解】解：要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除，只需能被9整除，则能被9整除，而c与d都是大于0且小于10的整数，所以； N是四位数，则， 即， 是完全平方数，，则N的值有： ，不是四位数，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； 不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，不满足，的要求，不符合要求； ，不是四位数，不符合要求， 的最大值为7425，最小值为2673，， 的最大值与最小值的差为4752 16．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，核心是利用二次根式的运算法则：，(，)，同时注意系数与根式部分分开运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由，有意义，∴， ； （5）解：由，有意义，∴， ； （6）解：原式． 17．【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5． 【知识点】同类二次根式、二次根式的乘法、最简二次根式的判断 【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可； （2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案． 【详解】解：（1）∵ ∴a+2=32 解得a=7 （2）化简，得 ∵为最简二次根式，且与能够合并 ∴ 解得a=8 ∴两个二次根式的积为. 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 18．【答案】(1) 不正确，理由如下： 由题意得，当时，， 当时，， ， 说法不正确； (2)这个鸡蛋在下落过程中所带能量为； 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的知识点是二次根式的应用，解题关键是理解公式，正确运算代入求值． （1）将、分别代入公式求出时间，再进行比较即可得解； （2）利用公式求出，代入能量计算公式即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， 解得， 鸡蛋下落过程中所带能量为， ， 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 19．【答案】(1) (2)10 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查数字规律，求算术平方根，解题的关键是根据规律发现被开方数是几个连续的奇数和，结果为奇数的个数； （1）根据题目规律求解即可； （2）根据题目规律求解即可． 【详解】（1）解：① ② ③ ④， 故答案为：； （2）解：∵到有个奇数， ∴． 20．【答案】甲 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $