2.3 二次根式 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年北师大版八年级数学上册“2.3二次根式”新课预习同步练，以分层递进设计覆盖概念理解、运算应用及综合探究，通过生活情境与规律探索培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|二次根式识别、有意义条件、化简等单一概念|单选题1-6题聚焦定义辨析，如第1题判断二次根式，夯实抽象能力| |能力深化|性质应用、同类二次根式、大小比较等运算技能|填空题11-14题结合规律探索，如第14题算术平方根序列，发展推理意识| |综合创新|实际应用、新定义运算、规律证明等跨情境问题|解答题18-20题关联生活（海啸速度计算）与逻辑证明，如第19题规律猜想，提升应用意识与创新思维|

2.3 二次根式 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 6．下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 8．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 9．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 10．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 12．若，为实数，且，则的值______． 13．已知，则_________． 14．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 15．对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 三、解答题 16．计算： (1) (2) (3) (4) 17．嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 18．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（单位：），d表示海水的深度（单位：），g表示重力加速度，且．若在海水的深度为处发生海啸，求海啸行进的速度．（结果化为最简二次根式） 19．观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … (1)按照此规律，第个等式是：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 20．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B C B A D B 1．【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】二次根式要求形如的式子中被开方数，题目要求“一定是”，即无论字母取何值都满足被开方数非负，据此逐个判断即可. 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 2．【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求出的取值范围，再结合选项判断正确结果． 【详解】解：依题意，． 解得． 四个选项中只有，满足条件． 3．【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法法则求解． 【详解】解：． 4．【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 5．【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【详解】解： ， 故选：B． 6．【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，被开方数含能开得尽方的因数，∴ A不是最简二次根式； ，被开方数含能开得尽方的因数，∴ B不是最简二次根式； 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，∴ C是最简二次根式； 的被开方数含分母，∴ D不是最简二次根式． 7．【答案】B 【知识点】同类二次根式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式的定义，即最简二次根式的被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】， 是最简二次根式，且与是同类二次根式， 二者被开方数相等， ， 移项得， 解得． 8．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，该表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 9．【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 10．【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 11．【答案】5 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了根式的化简．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 根据是有理数，得是平方数，得是平方数，即得正整数的最小值． 【详解】解：∵是有理数， ∴是平方数， ∵， ∴是平方数， ∴正整数的最小值是5， 故答案为：5． 12．【答案】12 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式的乘除混合运算 【分析】根据平方的非负性及算术平方根的非负性求出a及b的值，代入计算即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：12 13．【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 14．【答案】33 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 15．【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算 【分析】先依据新运算公式计算出括号内※的结果，再将该结果作为新的值，与一同代入新运算公式，最后得到最终化简结果． 【详解】解：． 16．【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再进行合并即可； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （3）先计算加法，再计算除法即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式进行乘法计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．【答案】(1) (2) 解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 【知识点】二次根式的加减运算、同类二次根式 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）略 18．【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】直接根据所给公式计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 答：海啸行进的速度为． 19．【答案】(1) (2) ， 证明： 【知识点】利用二次根式的性质化简、与实数运算相关的规律题 【分析】（1）根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可； （2）根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可． 【详解】（1）根据规律可知，第个等式是： ， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键． 20．【答案】(1)3，2 (2) 【知识点】求一个数的平方根、实数运算的实际应用 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $