1.2 一定是直角三角形吗 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册第一章第2节同步练，分2课时聚焦直角三角形判定与勾股数，通过基础认知-技能应用-综合拓展三层设计，强化从概念理解到实际应用的推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|判定条件、勾股数概念|选择/填空题直接考查概念辨析，如勾股数正整数属性判断| |技能应用|判定步骤、简单计算|解答题验证三角形形状，结合面积公式强化运算能力| |综合拓展|判定与勾股定理综合|四边形面积计算、勾股数构造探究，培养推理与问题解决能力|

北师大版数学八年级上册 第一章　勾股定理 2　一定是直角三角形吗　·　课时作业（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第一章第 2 节「一定是直角三角形吗」编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　直角三角形的判定条件； 第 2 课时　勾股数与判定条件的综合应用。 说明：本节只研究「三边满足 a2 + b2 = c2 就是直角三角形」这一判定条件与勾股数，不涉及锐角三角形、钝角三角形的判定；所有数据均为整数或有限小数，不出现根号。 本节的核心结论 古埃及人用打结的绳子作直角 2　一定是直角三角形吗 第 1 课时　直角三角形的判定条件 一、知识梳理 1. 直角三角形的判定条件：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形， 并且 c 所对的角是直角（c 是最长边）。 2. 它与勾股定理的关系：两者的条件与结论正好互换，是一对互逆的结论。 勾股定理与判定条件互逆 勾股定理是由「形」得「数」：已知是直角三角形，得到三边关系； 判定条件是由「数」定「形」：已知三边关系，判断它是直角三角形。 3. 判断的三个步骤： 判断一个三角形是不是直角三角形的步骤 4. 判断举例： 三个例子的判断过程 5. 勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a、b、c，称为一组勾股数。 常见的勾股数 常见的勾股数 常见的勾股数 常见的勾股数 3、4、5 5、12、13 8、15、17 7、24、25 6、8、10 9、12、15 20、21、29 9、40、41 性质：一组勾股数中的三个数同时扩大相同的正整数倍，所得的三个数仍然是一组勾股数。 【易错警示】 ① 判断时必须用最长边的平方与另外两边的平方和比较，所以要先把三边按大小排好。 ② 勾股数必须是正整数：0.3、0.4、0.5 虽然满足 0.32 + 0.42 = 0.52，能组成直角三角形，但它们不是勾股数。 ③ 得到 a2 + b2 = c2 后，直角是最长边 c 所对的角，不要说成「∠A 是直角」。 ④ 三边不满足这个关系时，只能说它不是直角三角形，本节不要求进一步判断是锐角还是钝角三角形。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 下列各组数中，能作为一个直角三角形三边长的是（　　） A. 2，3，4　　B. 3，4，6　　C. 5，12，13　　D. 4，5，6 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 0.3，0.4，0.5　　B. 6，8，10　　C. 1.5，2，2.5　　D. 5，6，7 3. 一个三角形的三边长分别是 9、40、41，则这个三角形（　　） A. 是直角三角形，且 41 所对的角是直角 B. 是直角三角形，且 9 所对的角是直角 C. 不是直角三角形 D. 无法判断 4. 若一个三角形的三边长分别是 7、24、25，则最长边上的高是（　　） A. 6.72　　B. 7　　C. 12　　D. 24 5. 在 △ABC 中，三边长 a、b、c 满足 a2 = c2 - b2，则这个三角形（　　） A. 是直角三角形，∠A = 90°　　　　　B. 是直角三角形，∠B = 90° C. 是直角三角形，∠C = 90°　　　　　D. 不是直角三角形 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 ____________________，那么这个三角形是 ____________ 三角形。 7. 满足 a2 + b2 = c2 的三个 ________ 数，叫做一组勾股数。 8. 三边长为 5、12、13 的三角形 ________（填「是」或「不是」）直角三角形，理由是 ____________________。 9. 三边长为 6、8、10 的三角形的面积是 ________。 10. 若一个三角形的三边长为 3k、4k、5k（k > 0），则这个三角形是 ________ 三角形。 （三）解答题（共 60 分） 11.（16 分）判断以下列各组线段为边能否组成直角三角形，并说明理由。 (1) 8，15，17；　　　　　　　(2) 12，16，20； (3) 5，7，9；　　　　　　　　(4) 1.5，2，2.5。 12.（14 分）判断下列各组数是不是勾股数，并简要说明理由。 (1) 9，12，15；　　　　　　　(2) 0.6，0.8，1； (3) 7，24，25；　　　　　　　(4) 4，5，6。 13.（14 分）如图，古埃及人用一根打了 13 个结、把绳子分成 12 段等长的绳子， 围成一个边长分别为 3 段、4 段、5 段的三角形。 第 13 题图 (1) 请说明为什么这样围成的三角形是直角三角形； (2) 如果绳子上有 31 个结（把绳子分成 30 段等长），能不能也围成一个直角三角形？ 　　若能，请写出一种分法并验证； (3) 这种作直角的方法用到了本节的什么结论？ 14.（16 分）在 △ABC 中，AB = 13，BC = 5，AC = 12。 (1) 判断 △ABC 的形状，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 求 AB 边上的高。 2　一定是直角三角形吗 第 2 课时　勾股数与判定条件的综合应用 一、知识梳理 1. 判定条件的三种常见用途： ① 判断形状：给出三边长，判断三角形是不是直角三角形； ② 求面积：先判定是直角三角形，再用两条直角边求面积； ③ 实际作直角：如木工、砌墙时用 3、4、5 的方法校正直角。 2. 由代数式判断：题目有时不直接给数，而给出一个等式，只要把它化成 「两边的平方和 = 第三边的平方」的形式即可。 例如 (a + b)(a - b) = c2，即 a2 - b2 = c2，也就是 b2 + c2 = a2，所以 ∠A = 90°。 3. 构造勾股数的两个常用方法（了解即可，不作考试要求）： ① 若 n 是大于 1 的奇数，则 n、、 是一组勾股数； 如 n = 3 时得 3、4、5；n = 5 时得 5、12、13；n = 7 时得 7、24、25。 ② 若 m > n > 0 且都是正整数，则 m2 - n2、2mn、m2 + n2 是一组勾股数； 如 m = 2，n = 1 时得 3、4、5；m = 3，n = 2 时得 5、12、13。 4. 判定与定理配合使用（本节最常见的综合题型）： 先用勾股定理求出对角线，再用判定条件判断形状 5. 常用结论：直角三角形中，斜边上的高 = 两直角边的积 ÷ 斜边。 【易错警示】 ① 由 a2 = c2 - b2 只能得出 b2 + a2 = c2，所以直角是 c 所对的角，不要看到 a 在等号左边就说 ∠A = 90°。 ② 分数、小数即使满足 a2 + b2 = c2，也不是勾股数，但可以组成直角三角形，两者不要混为一谈。 ③ 求四边形面积时，先把它分成两个直角三角形，不要直接套用某个四边形面积公式。 ④ 用 m2 - n2、2mn、m2 + n2 时，必须 m > n，否则 m2 - n2 不是正数。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 在 △ABC 中，三边长 a、b、c 满足 (a + b)(a - b) = c2，则这个三角形（　　） A. 是直角三角形，∠A = 90°　　　　　B. 是直角三角形，∠B = 90° C. 是直角三角形，∠C = 90°　　　　　D. 不是直角三角形 2. 三边长分别为 n2 - 1、2n、n2 + 1（n > 1 的整数）的三角形是（　　） A. 等腰三角形　　B. 直角三角形　　C. 等边三角形　　D. 无法确定 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A. 3，4，5　　B. 6，8，10　　C. 5，12，13　　D. 2，3，4 4. 一个三角形的三边长分别是 20、21、29，则这个三角形的面积是（　　） A. 210　　B. 290　　C. 420　　D. 580 5. 若一个三角形的三边长为 9、12、15，则它最长边上的高是（　　） A. 7.2　　B. 6　　C. 9　　D. 12 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 若 n 是大于 1 的奇数，则 n、、 是一组勾股数。 当 n = 9 时，这组勾股数是 ____________________。 7. 在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则最大的角是 ________，它的度数是 ________。 8. 三边长为 10、24、26 的三角形是 ________ 三角形，它的面积是 ________。 9. 一个三角形的三边长为 8、15、17，则它最长边上的高是 ________。 10. 把 3、4、5 各扩大到原来的 6 倍，得到 ____________________，它们 ________（填「是」或「不是」）勾股数。 （三）解答题（共 60 分） 11.（16 分）判断以下列各组数为三边长的三角形是不是直角三角形，并写出判断过程。 (1) 6，8，10；　　　　　　　　(2) 5，11，13； (3) 20，21，29；　　　　　　　(4) 12，35，37。 12.（14 分）已知 m > n > 0 且都是正整数，设 a = m2 - n2，b = 2mn，c = m2 + n2。 (1) 当 m = 2，n = 1 时，求 a、b、c 的值； (2) 当 m = 3，n = 2 时，求 a、b、c 的值； (3) 说明以 a、b、c 为三边长的三角形一定是直角三角形。 13.（14 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13。 第 13 题图 (1) 连结 AC，求 AC 的长； (2) 判断 △ACD 的形状，并说明理由； (3) 求四边形 ABCD 的面积。 14.（16 分）阅读与探究。 观察下面几组勾股数： 3，4，5；　　5，12，13；　　7，24，25；　　9，40，41；…… (1) 每组中最小的数有什么共同特点？ (2) 设最小的数是 n，用含 n 的式子表示另外两个数； (3) 当 n = 11 时，写出这组勾股数，并验证它们确实是勾股数。 参考答案与解析 第 1 课时　直角三角形的判定条件 一、选择题 1. C　【解析】52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132，符合判定条件。 A：22 + 32 = 13 ≠ 16；B：32 + 42 = 25 ≠ 36；D：42 + 52 = 41 ≠ 36，都不符合。 2. B　【解析】勾股数必须是正整数。 A、C 中都有小数，虽然能组成直角三角形，但不是勾股数； D 中 52 + 62 = 61 ≠ 49；只有 B：62 + 82 = 100 = 102，且都是正整数。 3. A　【解析】最长边是 41，92 + 402 = 81 + 1600 = 1681 = 412， 所以是直角三角形，且直角是最长边 41 所对的角。 4. A　【解析】72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252，是直角三角形。 面积 = 7 × 24 ÷ 2 = 84，最长边上的高 = 7 × 24 ÷ 25 = 6.72。 5. C　【解析】由 a2 = c2 - b2 移项得 a2 + b2 = c2， 所以直角是最长边 c 所对的角，即 ∠C = 90°。 二、填空题 6. a2 + b2 = c2；直角 7. 正整 8. 是；因为 52 + 122 = 169 = 132 9. 24 【解析】62 + 82 = 100 = 102，是直角三角形，面积 = 6 × 8 ÷ 2 = 24。 10. 直角 【解析】(3k)2 + (4k)2 = 25k2 = (5k)2，符合判定条件。 三、解答题 11.（1）能。因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172。 （2）能。因为 122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202。 （3）不能。因为 52 + 72 = 25 + 49 = 74，而 92 = 81，74 ≠ 81。 （4）能。因为 1.52 + 22 = 2.25 + 4 = 6.25 = 2.52。 【方法总结】先找出最长边，再算「另两边平方和」与「最长边平方」是否相等。 12.（1）是。92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152，且三个数都是正整数。 （2）不是。虽然 0.62 + 0.82 = 0.36 + 0.64 = 1 = 12，能组成直角三角形， 但 0.6、0.8 不是整数，所以不是勾股数。 （3）是。72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252，且都是正整数。 （4）不是。42 + 52 = 41，而 62 = 36，41 ≠ 36。 13.（1）三角形的三边长分别是 3 段、4 段、5 段， 因为 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52，由判定条件知它是直角三角形， 且直角是 5 段那条边所对的角。 （2）能。例如把 30 段分成 5 段、12 段、13 段， 因为 5 + 12 + 13 = 30，且 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132， 所以能围成直角三角形。 （也可以分成 6 段、8 段、10 段之外的其他勾股数组，只要三数之和为 30 即可。） （3）用到的是本节的结论：三边满足 a2 + b2 = c2 的三角形是直角三角形， 即由「数」定「形」。 14.（1）最长边是 AB = 13， 因为 BC2 + AC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 = AB2， 所以 △ABC 是直角三角形，且 ∠C = 90°。 （2）S = AC × BC ÷ 2 = 12 × 5 ÷ 2 = 30。 （3）设 AB 边上的高为 h，由 AB × h ÷ 2 = 30 得 13h = 60， 所以 h = 。 第 2 课时　勾股数与判定条件的综合应用 一、选择题 1. A　【解析】(a + b)(a - b) = a2 - b2，所以 a2 - b2 = c2，移项得 b2 + c2 = a2， 最长边是 a，所以 ∠A = 90°。 2. B　【解析】(n2 - 1)2 + (2n)2 = n4 - 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2， 符合判定条件，所以是直角三角形。 3. D　【解析】22 + 32 = 13 ≠ 16 = 42，不满足关系，所以不是勾股数。 4. A　【解析】202 + 212 = 400 + 441 = 841 = 292，是直角三角形， 两条直角边是 20 和 21，面积 = 20 × 21 ÷ 2 = 210。 5. A　【解析】92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152，是直角三角形， 面积 = 9 × 12 ÷ 2 = 54，最长边上的高 = 9 × 12 ÷ 15 = 7.2。 二、填空题 6. 9、40、41 【解析】 = = 40， = = 41。 7. ∠C；90° 8. 直角；120 【解析】102 + 242 = 100 + 576 = 676 = 262，面积 = 10 × 24 ÷ 2 = 120。 9. 【解析】82 + 152 = 289 = 172，是直角三角形，最长边上的高 = 8 × 15 ÷ 17 = 。 10. 18、24、30；是 【解析】182 + 242 = 324 + 576 = 900 = 302，且都是正整数。 三、解答题 11.（1）最长边 10，62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102，是直角三角形。 （2）最长边 13，52 + 112 = 25 + 121 = 146，132 = 169，146 ≠ 169，不是直角三角形。 （3）最长边 29，202 + 212 = 400 + 441 = 841 = 292，是直角三角形。 （4）最长边 37，122 + 352 = 144 + 1225 = 1369 = 372，是直角三角形。 12.（1）a = 22 - 12 = 3，b = 2 × 2 × 1 = 4，c = 22 + 12 = 5， 即 3、4、5。 （2）a = 32 - 22 = 5，b = 2 × 3 × 2 = 12，c = 32 + 22 = 13， 即 5、12、13。 （3）a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2， 由判定条件知，以 a、b、c 为三边长的三角形一定是直角三角形。 13.（1）在 Rt△ABC 中，∠B = 90°， AC2 = AB2 + BC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25，所以 AC = 5。 （2）在 △ACD 中，最长边是 AD = 13， AC2 + CD2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 = AD2， 所以 △ACD 是直角三角形，且 ∠ACD = 90°。 （3）S 四边形 ABCD = S△ABC + S△ACD = 3 × 4 ÷ 2 + 5 × 12 ÷ 2 = 6 + 30 = 36。 【方法总结】不规则四边形求面积，常用「连对角线 → 求长 → 判形状 → 分块求和」四步。 14.（1）每组中最小的数都是大于 1 的奇数（3、5、7、9……）。 （2）设最小的数是 n（n 是大于 1 的奇数），则另外两个数分别是 和 ，并且这两个数正好是相邻的两个整数。 （3）当 n = 11 时， = = 60， = = 61， 这组勾股数是 11、60、61。 验证：112 + 602 = 121 + 3600 = 3721，而 612 = 3721， 两者相等，且三个数都是正整数，所以它们是一组勾股数。 【学后反思】本节的核心是由「数」定「形」：只要三边满足 a2 + b2 = c2，就能断定三角形是直角三角形。做题时牢记三步——先排序找最长边，再算两个平方，最后比较。还要分清两个容易混淆的概念：「能组成直角三角形」只要求满足等式，而「勾股数」还必须是正整数。本节最常见的综合题是「连对角线求不规则四边形的面积」，它把上一节的勾股定理与本节的判定条件结合在了一起。 学科网（北京）股份有限公司 $