1.2一定是直角三角形吗 分层训练 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层清晰且梯度合理，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三阶设计，实现从概念理解到综合应用再到规律探究的知识巩固路径，培养数学推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |第一部分（必做）|勾股定理逆定理应用、勾股数概念|以选择、填空为主，如直角三角形边长判断、勾股数识别，夯实基础概念| |第二部分（必做）|综合判定、实际情境应用|含多知识点结合题，如四边形中直角判定、航行路线垂直判断，提升推理能力| |第三部分（选做·附加）|规律探究、公式推导|通过勾股数规律验证、一般化公式证明，发展创新意识与数学思维|

北师大版八年级数学 · 1.2 一定是直角三角形吗 · 分层训练 1.2 一定是直角三角形吗分层训练 第一部分（必做） 一、选择题（共 10 题） 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．6，8，11　　B．7，24，25　　C．8，10，12　　D．9，10，12 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1.5，2，2.5　　B．4，5，6　　C．8，15，17　　D．10，12，15 3．一个三角形中，若两个较小角的和等于第三个角，则第三个角的度数为（　　） A．45°　　B．60°　　C．90°　　D．120° 4．一个三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为最长边。若a²＋b²＝c²，则这个三角形（　　） A．是锐角三角形　　B．是直角三角形　　C．是钝角三角形　　D．无法确定 5．如图，三角形支架ABC的三边长分别为AB＝20 cm，BC＝21 cm，AC＝29 cm。检验后可判断（　　） A．∠A＝90°　　B．∠B＝90°　　C．∠C＝90°　　D．没有直角 6．如图，分别以△ABC的三边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别为81，144，225，则△ABC（　　） A．是直角三角形　　B．是等腰三角形　　C．是等边三角形　　D．无法判断 7．如图，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中的直角是（　　） A．∠A　　B．∠B　　C．∠C　　D．没有直角 8．如图，用一条有刻度的绳子检验墙角：在墙角两边分别量取6个单位和8个单位，两端点间的距离恰为10个单位。判定墙角为直角的依据是（　　） A．勾股定理　　B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理　　D．两点之间线段最短 9．关于勾股数，下列说法错误的是（　　） A．勾股数是三个正整数　　B．3，4，5是一组勾股数 C．任一直角三角形的三边长都是勾股数　　D．勾股数满足两较小数的平方和等于最大数的平方 10．一个直角三角形的三边长之比为5∶12∶13，若最长边长为26 cm，则最短边长为（　　） A．5 cm　　B．10 cm　　C．12 cm　　D．24 cm 二、填空题（共 5 题） 11．一个三角形的三边长分别为9，40，41，则最长边所对的角为________°。 12．一组勾股数中，两个较小的数分别为12和35，则另一个数为________。 13．一个三角形三边上的正方形面积分别为49，576，625，则这个三角形是________三角形。 14．若k为正整数，则3k，4k，5k________一组勾股数。（填“是”或“不是”） 15．要检验门框相邻两边60 cm和80 cm是否互相垂直，当量得这两边端点间的距离恰为________cm时，可用勾股定理的逆定理判定。 三、解答题（共 3 题） 16．有四组数据：①3，4，5；②6，8，10；③1.5，2，2.5；④8，15，17。 （1）其中哪些数据能作为直角三角形的三边长？ （2）其中哪些是勾股数？请说明“能作为直角三角形三边长”与“是勾股数”的区别。 17．如图，点B，C，D在同一直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AB＝6，BC＝8，CD＝9，DE＝12，且AE²＝325。 （1）分别求AC²，CE²； （2）判断∠ACE是否为直角，并说明理由。 18．如图，木工师傅检验一扇门框。测得AB＝90 cm，BC＝120 cm，AC＝150 cm。 （1）判断∠ABC是否为直角，并说明理由； （2）若AB，BC不变，而AC实测为149 cm，还能判定∠ABC为直角吗？为什么？ 第二部分（必做） 四、选择题（共 5 题） 19．下列条件中，不能判定一个三角形为直角三角形的是（　　） A．三边长之比为5∶12∶13　　B．两个较小角的和等于第三个角 C．三个内角之比为2∶3∶5　　D．三边长之比为4∶5∶6 20．若a，b，c是一组勾股数，则下列各组数中，一定也是勾股数的是（　　） A．a＋1，b＋1，c＋1　　B．2a，2b，2c　　C．a，b，c＋1　　D．a，2b，2c 21．从长为7，15，20，24，25的5根木棒中任取3根，能摆成直角三角形的不同取法共有（　　） A．1种　　B．2种　　C．3种　　D．4种 22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC的中点，AD＝12。下列结论不正确的是（　　） A．BD＝5　　B．∠ADB＝90°　　C．AD⊥BC　　D．∠BAD＝90° 23．小亮判断三边长为9，12，15的三角形是否为直角三角形时，列式“9²＋15²≠12²”，于是认为它不是直角三角形。小亮出错的主要原因是（　　） A．没有先确定最长边　　B．没有计算三角形周长 C．没有先判断能否构成三角形　　D．平方计算不能用于判定直角 五、填空题（共 3 题） 24．一个直角三角形的三边长之比为3∶4∶5，周长为48，则它的最长边长为________。 25．一个三角形的三边长分别为65 cm，72 cm，97 cm，则最长边所对的角为________°。 26．三个正整数a，b，c满足a²＋b²＝c²，则a，b，c称为一组________。 六、解答题（共 3 题） 27．如图，四边形ABCD中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，CD＝15，AD＝25。 （1）分别判断∠ABC和∠ACD是否为直角，并说明理由； （2）求四边形ABCD的面积。 28．如图，两艘船同时从港口P出发。1小时后，甲船到A点，乙船到B点，测得PA＝12海里，PB＝16海里，AB＝20海里。 （1）判断两艘船的航线PA与PB是否互相垂直，并说明理由； （2）若甲船沿正东方向航行，且乙船始终位于甲船航线的北侧，判断乙船的航行方向。 29．观察三组勾股数：5，12，13；7，24，25；9，40，41。每组后两个数都是连续正整数。 （1）验证7，24，25是一组勾股数； （2）若下一组的第一个数为11，后两个数仍是连续正整数，求后两个数并验证。 第三部分（选做·附加） 30．数学活动中发现：如果两个连续正整数m，m＋1的和恰好等于一个正整数n的平方，那么n，m，m＋1可以组成一个直角三角形。 （1）用12＋13＝25＝5²验证这个发现； （2）已知m＋(m＋1)＝n²，请说明n，m，m＋1为什么能组成直角三角形； （3）当n＝9时，求对应的m，并写出这组勾股数。 31．设n为大于1的正整数，令a＝2n，b＝n²－1，c＝n²＋1。 （1）说明a，b，c是一组勾股数； （2）分别取n＝4和n＝6，各写出一组勾股数。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：B 解析：先确定每组中的最大数，再比较两较小数的平方和与最大数的平方。7²＋24²＝49＋576＝625＝25²，所以7，24，25能作为直角三角形的三边长。其余三组均不满足这一关系。 2．答案：C 解析：勾股数必须是三个正整数，并满足“两较小数的平方和等于最大数的平方”。8²＋15²＝64＋225＝289＝17²，所以8，15，17是一组勾股数。A虽满足直角三角形的数量关系，但含小数，不是勾股数。 3．答案：C（90°） 解析：三角形的三个内角和为180°。已知两个较小角的和等于第三个角，因此“第三个角”与“另外两个角的和”相等，它们合起来为180°，所以第三个角为90°。 4．答案：B（直角三角形） 解析：c是最长边，且a²＋b²＝c²。根据勾股定理的逆定理，这个三角形一定是直角三角形，边c为斜边。 5．答案：B（∠B＝90°） 解析：20²＋21²＝400＋441＝841，而29²＝841，所以AB²＋BC²＝AC²。由勾股定理的逆定理可知∠B＝90°。 6．答案：A 解析：三个正方形的面积分别等于三边长的平方。81＋144＝225，所以两条较短边的平方和等于最长边的平方。由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形。 7．答案：B（∠B） 解析：由网格可得AB²＝1²＋2²＝5，BC²＝2²＋1²＝5，AC²＝3²＋1²＝10。因为AB²＋BC²＝AC²，所以△ABC是直角三角形，AC为斜边，故∠B＝90°。 8．答案：B 解析：6²＋8²＝36＋64＝100＝10²。已知三边长度关系反过来判定夹角为直角，使用的是勾股定理的逆定理。 9．答案：C 解析：勾股数要求是三个正整数。直角三角形的三边长不一定都是整数，例如边长为1.5，2，2.5的三角形也是直角三角形，但这三个数不是勾股数，因此C错误。 10．答案：B（10 cm） 解析：三边长之比为5∶12∶13，最长边13份对应26 cm，所以每份为2 cm，最短边为5×2＝10 cm。 11．答案：90 解析：9²＋40²＝81＋1600＝1681＝41²。三边满足“两较短边的平方和等于最长边的平方”，由勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，所以最长边41所对的角为90°。 12．答案：37 解析：12²＋35²＝144＋1225＝1369，而37²＝1369，所以另一个数为37，12，35，37是一组勾股数。 13．答案：直角 解析：正方形面积就是相应边长的平方，49＋576＝625，因此满足两较短边的平方和等于最长边的平方，原三角形是直角三角形。 14．答案：是 解析：k为正整数，所以3k，4k，5k都是正整数；且(3k)²＋(4k)²＝9k²＋16k²＝25k²＝(5k)²，因此它们是一组勾股数。 15．答案：100 解析：60²＋80²＝3600＋6400＝10000＝100²。当第三边为100 cm时，三边满足勾股定理的逆定理条件，可以判定两条相邻边的夹角为90°。 16．答案：（1）①②③④都能作为直角三角形的三边长；（2）①②④是勾股数。 解析：（1）3²＋4²＝5²；6²＋8²＝10²；1.5²＋2²＝2.5²；8²＋15²＝17²，所以四组数据都满足直角三角形的三边关系。 （2）勾股数除满足上述平方关系外，还要求三个数都是正整数。第③组含小数，因此不是勾股数；①②④均由正整数组成，所以是勾股数。 17．答案：（1）AC²＝100，CE²＝225；（2）∠ACE＝90°。 解析：（1）因为AB⊥BD，且B，C，D在同一直线上，所以∠ABC＝90°。AC²＝AB²＋BC²＝6²＋8²＝100。又因为DE⊥BD，所以∠CDE＝90°，CE²＝CD²＋DE²＝9²＋12²＝225。 （2）AC²＋CE²＝100＋225＝325＝AE²。由勾股定理的逆定理可知△ACE是直角三角形，AE为最长边，因此∠ACE＝90°。 18．答案：（1）∠ABC＝90°，门框该角合格；（2）不能。 解析：（1）90²＋120²＝8100＋14400＝22500＝150²，所以由勾股定理的逆定理可知∠ABC＝90°。 （2）若AC＝149 cm，则90²＋120²＝22500，而149²＝22201，二者不相等。若∠ABC＝90°，由勾股定理应有AB²＋BC²＝AC²，现该等式不成立，因此∠ABC≠90°，门框的这个角不合格。 第二部分（必做） 19．答案：D 解析：A中5²＋12²＝13²，可以判定为直角三角形；B中两个较小角的和等于第三个角，结合三角形内角和可知第三个角为90°；C中三个内角共10份，最大角占5份，即90°。D中4²＋5²＝41，而6²＝36，不满足勾股定理的逆定理条件，所以不能判定为直角三角形。 20．答案：B 解析：不妨设c为这组勾股数中的最大数，则a²＋b²＝c²，且a，b，c都是正整数。因此(2a)²＋(2b)²＝4a²＋4b²＝4c²＝(2c)²；2a，2b，2c仍都是正整数，所以2a，2b，2c一定也是一组勾股数。 21．答案：B（2种） 解析：逐一寻找满足平方关系的组合：7²＋24²＝25²，所以7，24，25可以；15²＋20²＝25²，所以15，20，25也可以。其余组合均不满足。故共有2种不同取法。 22．答案：D 解析：D为BC的中点，所以BD＝CD＝5。AD²＋BD²＝12²＋5²＝169＝13²＝AB²，由勾股定理的逆定理得∠ADB＝90°。同理，AD²＋CD²＝AC²，所以∠ADC＝90°，从而AD⊥BC。∠BAD不是直角，因此D项不正确。 23．答案：A 解析：用勾股定理的逆定理判定时，应先确定最长边，再比较“两条较短边的平方和”与“最长边的平方”。9，12，15中最长边为15，正确的检验应为9²＋12²＝15²。小亮把12误作最长边，因此判断错误。 24．答案：20 解析：三边长之比为3∶4∶5，总比为12。周长48对应12份，每份为4，因此最长边长为5×4＝20。 25．答案：90 解析：65²＋72²＝4225＋5184＝9409，而97²＝9409。由勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，最长边97 cm所对的角为90°。 26．答案：勾股数 解析：能够满足a²＋b²＝c²的三个正整数a，b，c，称为一组勾股数。 27．答案：（1）∠ABC＝90°，∠ACD＝90°；（2）246。 解析：（1）12²＋16²＝144＋256＝400＝20²，所以AB²＋BC²＝AC²，由勾股定理的逆定理得∠ABC＝90°。15²＋20²＝225＋400＝625＝25²，所以CD²＋AC²＝AD²，由勾股定理的逆定理得∠ACD＝90°。 （2）S△ABC＝12×16÷2＝96，S△ACD＝15×20÷2＝150，所以S四边形ABCD＝96＋150＝246。 28．答案：（1）PA⊥PB；（2）乙船向正北方向航行。 解析：（1）PA²＋PB²＝12²＋16²＝144＋256＝400＝20²＝AB²。由勾股定理的逆定理可知∠APB＝90°，所以PA⊥PB。 （2）甲船沿正东方向航行，PB与PA垂直，因此乙船航线为南北方向；又乙船始终位于甲船航线的北侧，所以乙船向正北方向航行。 29．答案：（1）7²＋24²＝25²；（2）后两个数为60，61。 解析：（1）7²＋24²＝49＋576＝625＝25²，所以7，24，25是一组勾股数。 （2）设后两个连续正整数为x，x＋1。因为11，x，x＋1组成勾股数，所以11²＋x²＝(x＋1)²。整理得121＝2x＋1，解得x＝60，因此后两个数为60，61。验证：11²＋60²＝121＋3600＝3721＝61²。 第三部分（选做·附加） 30．答案：（1）5，12，13能组成直角三角形；（2）见解析；（3）m＝40，勾股数为9，40，41。 解析：（1）12＋13＝25＝5²，又5²＋12²＝25＋144＝169＝13²，所以5，12，13能组成直角三角形。 （2）由m＋(m＋1)＝n²，得n²＝2m＋1。于是n²＋m²＝2m＋1＋m²＝m²＋2m＋1＝(m＋1)²。三个数n，m，m＋1均为正数，且(m＋1)²＝n²＋m²＞n²、m²，所以m＋1为最大数。根据勾股定理的逆定理，n，m，m＋1能组成直角三角形。 （3）当n＝9时，m＋(m＋1)＝81，即2m＋1＝81，解得m＝40，所以得到9，40，41。验证：9²＋40²＝81＋1600＝1681＝41²，因此9，40，41是一组勾股数。 31．答案：（1）a，b，c是一组勾股数；（2）n＝4时为8，15，17；n＝6时为12，35，37。 解析：（1）因为n是大于1的正整数，所以a＝2n，b＝n²－1，c＝n²＋1都是正整数。 a²＋b²＝(2n)²＋(n²－1)²＝4n²＋n⁴－2n²＋1＝n⁴＋2n²＋1＝(n²＋1)²＝c²。又因为c²＝a²＋b²＞a²且c²＞b²，所以c为最大数。因此a，b，c是一组勾股数。 （2）当n＝4时，a＝8，b＝15，c＝17；当n＝6时，a＝12，b＝35，c＝37。验证：8²＋15²＝17²，12²＋35²＝37²，所以两组数均为勾股数。 分层训练 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $