25.2.2 公式法 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程公式法，引导学生掌握根的判别式推导、求根公式及应用。通过自主预习的预学思考，帮助学生补全知识点，搭建从配方法到公式法的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以素养目标为导向，结合自学检测夯实基础，合作探究中题型精讲与变式训练（含逆向思维题）提升能力，培养学生运算能力、符号意识和推理意识，助力学生形成严谨的代数运算习惯与问题解决能力。

25.2.2 公式法 素养目标 1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程. 2.会用根的判别式判断方程根的情况,能熟练地运用公式法求解一元二次方程. 3.发展严谨、高效的代数运算能力,强化对数学符号的理解与运用意识. 重点 用公式法求解一元二次方程. 【自主预习】 预学思考 知识点一 一元二次方程根的判别式 　　阅读课本本课时“归纳”及之前的内容,补全下列新知要点: 　　一般地,式子 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,即Δ= .当Δ>0时,方程有 的实数根;当Δ=0时,方程有 的实数根;当Δ<0时,方程 实数根.  知识点二 用公式法解一元二次方程 　　阅读课本本课时“归纳”之后的内容,补全下列新知要点: 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:当b2-4ac 0时,它的根x=　　　　　　.  2.用公式法解一元二次方程的一般步骤: (1)把方程化为 ,确定a,b,c的  值(各项系数若有分数,通常化为整数); (2)求出 的值,根据其值的情况确定一元二次方程是否有实数根;  (3)若 ≥0,则可以将一般式中的a,b,c的值代入求根公式x= .  自学检测 1.用公式法解一元二次方程2x2-x-1=0时,a,b,c的值依次为 ( ) A.2,1,1　　　　 B.2,-1,-1 C.2,1,-1　　　　 D.-2,1,1 2.一元二次方程x2-5x+10=0的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【合作探究】 题型精讲 题型1 根的判别式 例1　关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,当k取何值时. (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根? 变式训练　 1.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .  2.已知关于x的方程x2-2mx+2m-2=0. (1)若此方程的一个根为-3,则m的值为　　　　.  (2)求证:对于任何实数m,此方程总有两个不相等的实数根. 题型2 用公式法解一元二次方程 例2　(运算能力)用公式法解下列方程. (1)x2+5x-6=0;(2)4x2-3x-1=x-2; (3)x2+1-6x=0. 【方法归纳交流】用公式法解一元二次方程,先把方程化为 形式,确定a,b,c的值,如果 ≥0,那么方程的实数根可以写为　　　　　　;如果 <0,那么方程无实数根.  变式训练　 1.(逆向思维)在用公式法解一元二次方程时,代入a,b,c得到x=,则求解的一元二次方程是 ( ) A.3x2+2x-1=0　　　　 B.2x2+4x-1=0 C.x2-2x+3=0　　　　 D.3x2-2x-1=0 2.解方程:(1)3x(x-3)=2(x+1)(x-1);(2)x2-x+2=0. 课堂检测 1.一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况是 ( ) A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能确定 2.用公式法解一元二次方程3x2+3=-2x时,若a=3,则b的值为 ( ) A.-2　　　　　　　B.2　　　　　　　C.3　　　　　　　D.-3 3.定义两种新运算:a⊕b=2a+b,a☆b=a2b.则方程(x+1)☆2=(3⊕x)-2的解是 ( ) A.x1=0.5,x2=-2 B.x1=0.5,x2=-1 C.x1=-0.5,x2=2 D.x1=-0.5,x2=1 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 b2-4ac　b2-4ac　两个不相等　两个相等　无 知识点二 1.≥　 2.(1)一般形式 (2)b2-4ac (3)b2-4ac　 自学检测 1.B　2.D 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:Δ=b2-4ac=(4k+1)2-4×2×(2k2-1)=8k+9. (1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,∴8k+9>0,解得k>-. (2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,∴8k+9=0,解得k=-. (3)∵方程没有实数根,∴Δ<0, ∴8k+9<0,解得k<-. 变式训练 1.k<2且k≠1 2.解:(1)-. 提示:把x=-3代入x2-2mx+2m-2=0,得9+6m+2m-2=0, 解得m=-. 故答案为-. (2)证明:∵Δ=(-2m)2-4(2m-2)=4(m-1)2+4, ∴对于任何实数m,总有Δ>0, ∴方程总有两个不相等的实数根. 题型2 例2 解:(1)∵a=1,b=5,c=-6, ∴Δ=b2-4ac=52-4×1×(-6)=49>0, ∴x=,∴x1=1,x2=-6. (2)原方程可化为4x2-4x+1=0. ∵a=4,b=-4,c=1, ∴Δ=b2-4ac=0,∴x=, ∴x1=x2=. (3)∵a=1,b=-6,c=1, ∴Δ=b2-4ac=32,∴x=, ∴x1=3+2,x2=3-2. 方法归纳交流 一般　b2-4ac　x=　b2-4ac 变式训练 1.D 2.解:(1)化为一般式为x2-9x+2=0, 解得x1=,x2=. (2)Δ=b2-4ac=(-1)2-4××2=-23<0, ∴此方程无实数根. 课堂检测 1.B　2.B　3.A 学科网（北京）股份有限公司 $