25.2.2公式法（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.2公式法（导学案） 一、学习目标 1.会用公式法解一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 2.经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律。 学习重点： 会用公式法解一元二次方程。 学习难点： 探究一元二次方程的求根公式。 二、学习过程 （一）复习引入 1. 配方法的基本步骤： （1）将方程二次项系数化成 1 ； （2）移项（二次项和一次项在等号左边，常数在等号右边）； （3）配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方）； （4）化为 (x+n)2=p (n，p 是常数，p≥0) 的形式； （5）用直接开平方法求得方程的解. 2.一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2=p的形式. (1)当p>0时，方程有两个不相等的实数根x1=−n+，x2=−n−； (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−n； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)²≥0，所以方程无实数根. （二）合作探究 问题 利用配方法解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0) （1）将方程二次项系数化成 1 ： x2+ x+ =0 （2）移项： x2+ x= （3）配方： x2+ x+( )2= +( )2 （4）化为 (x+n)2=p (n，p 是常数，p≥0) 的形式； (x+ )2= ① （5）用直接开平方法求得方程的解. 因为a≠0，所以4a2>0.式子b24ac的值有以下三种情况： (1)当b24ac>0时，>0，由①得 x+ =± . 方程有两个不相等的实数根 x1=，x2= . (2)当b24ac=0时，=0，由①可知， 方程有两个相等的实数根 x1=x2= . (3)当b24ac<0时，<0，由①可知(x+ )2<0， 而x取任何实数都不能使(x+ )2<0成立，因此方程无实数根. 一元二次方程根的判别式： 式子b24ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b24ac. 归纳总结 由上可知，对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)， 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程无实数根. 一元二次方程的求根公式： 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 x= 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 公式法： 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. （三）典例分析x2−x−56=0 例3 用公式法解下列方程： (1) x2−4x−7=0； (2) 2x2−2x+1=0； (3) 5x2−3x=x+1； (4) x2+17=8x. 注意：确定a，b，c的值时，要注意它们的符号. 解：(1)因为a=1，b=−4，c=−7，所以 Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×(−7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 x= = =2±， 即 x1=2+，x2=2−. (2)因为a=2，b=−2，c=1，所以 Δ=b2−4ac=(−2)2−4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x2==−=. (3)方程化为5x2−4x−1=0，此时a=5，b=−4，c=−1，所以 Δ=b2−4ac=(−4)2−4×5×(−1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 即 x= = = ， x1=1，x2=− . (4)方程化为x2−8x+17=0，此时a=1，b=−8，c=17，所以 Δ=b2−4ac=(−8)2−4×1×17=−4<0. 方程无实数根. 引言问题 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 分析 设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据题意，列方程得： x2+5x−25=0. 请你选择合适的方法解这个方程. 解：用公式法解这个方程，得 x= =. 即 x1=，x2=. 如果结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈-8.09. 关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09 m. 中考演练（2026江苏扬州）关于x的一元二次方程x2+kx−1=0根的情况是（  A   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 （四）巩固练习 1. 下列方程中，没有实数根的是（  D   ） A．x2−2x=0 B．x2−2=0 C．x2+2x=0 D．x2+2=0 2. 已知关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2−k=0，求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 证明：∵Δ=[−(2k−1)]2−4(k2−k) =4k2−4k+1−4k2+4k =1>0， ∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 3. 用公式法解下列方程： （1）x2+x−6=0； （2）x2−x−=0； （3）3x2−6x+4=0； （4）2x2−3x=0； （5）x2+4x+8=4x+11； （6）x(2x−4)=5−8x. 快速核对答案 （五）当堂检测 1. 判断下列一元二次方程中根的情况： ① x2+2x−4=0 ___有两个不相等的实数根_____     ② x2−4x+4=0 ___有两个相等的实数根_______ ③ x2−2x−5=0 ___有两个不相等的实数根_____     ④ x2+3x+4=0 没有实数根 2. 若关于x的一元二次方程3x2−k=0没有实数根，则k的取值范围是（   B  ） A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0 3. 用合适的方法解方程： (1) x2+4x=5； (2) x2+x=1； 解：(1) x2+4x=5， x2+4x+4=5+4， (x+2)2=9， x+2=±3， x1=1，x2=−5； (2) 化为一般形式得x2+x−1=0， 其中a=1，b=1，c=−1. ∵Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=5>0， ∴x=， ∴x1=，x2=． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.2：第4，5题. B组题：第9，10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.2公式法（导学案） 一、学习目标 1.会用公式法解一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 2.经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律。 学习重点： 会用公式法解一元二次方程。 学习难点： 探究一元二次方程的求根公式。 二、学习过程 （一）复习引入 1. 配方法的基本步骤： （1）将方程二次项系数化成 ； （2）移项（ 在等号左边， 在等号右边）； （3）配方（等式两边同时加上 ）； （4）化为 的形式； （5）用 求得方程的解. 2.一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2=p的形式. (1)当p>0时，方程有 的实数根 ； (2)当p=0时，方程有 的实数根 ； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有 ，所以方程无实数根. （二）合作探究 问题 利用配方法解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0) （1）将方程二次项系数化成 1 ： （2）移项： （3）配方： （4）化为 (x+n)2=p (n，p 是常数，p≥0) 的形式； ① （5）用直接开平方法求得方程的解. 因为a≠0，所以4a2>0.式子b24ac的值有以下三种情况： (1)当b24ac>0时，>0，由①得 . 方程有两个不相等的实数根 . (2)当b24ac=0时，=0，由①可知， 方程有两个相等的实数根 . (3)当b24ac<0时，<0，由①可知(x+ )2<0， 而x取任何实数都不能使(x+ )2<0成立，因此方程 . 一元二次方程根的判别式： 式子 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ= . 归纳总结 由上可知，对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)， 当Δ>0时，方程有 的实数根； 当Δ=0时，方程有 的实数根； 当Δ<0时，方程 实数根. 一元二次方程的求根公式： 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 公式法： 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把 代入 ，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. （三）典例分析x2−x−56=0 例3 用公式法解下列方程： (1) x2−4x−7=0； (2) 2x2−2x+1=0； (3) 5x2−3x=x+1； (4) x2+17=8x. 注意：确定a，b，c的值时，要注意它们的符号. 引言问题 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 分析 设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据题意，列方程得： x2+5x−25=0. 请你选择合适的方法解这个方程. 中考演练（2026江苏扬州）关于x的一元二次方程x2+kx−1=0根的情况是（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 （四）巩固练习 1. 下列方程中，没有实数根的是（     ） A．x2−2x=0 B．x2−2=0 C．x2+2x=0 D．x2+2=0 2. 已知关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2−k=0，求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 3. 用公式法解下列方程： （1）x2+x−6=0； （2）x2−x−=0； （3）3x2−6x+4=0； （4）2x2−3x=0； （5）x2+4x+8=4x+11； （6）x(2x−4)=5−8x. （五）当堂检测 1. 判断下列一元二次方程中根的情况： ① x2+2x−4=0 ___ _____     ② x2−4x+4=0 ③ x2−2x−5=0      ④ x2+3x+4=0 2. 若关于x的一元二次方程3x2−k=0没有实数根，则k的取值范围是（      ） A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0 3. 用合适的方法解方程： (1) x2+4x=5； (2) x2+x=1； （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.2：第4，5题. B组题：第9，10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $