25.1 一元二次方程的概念 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的概念，引导学生掌握方程的三要素、一般形式及根的概念。通过自主预习补全概念要点搭建学习支架，衔接一元一次方程知识，帮助学生逐步抽象方程特征。 资料以合作探究分题型训练为特色，结合方法归纳交流强化概念理解，培养数学抽象与逻辑推理素养。实际问题抽象方程环节发展模型意识，助力学生掌握概念本质与应用能力，提升学习效率。

25.1 一元二次方程的概念 素养目标 1.知道一元二次方程及一元二次方程的根的概念. 2.能将一元二次方程化为一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项. 3.通过抽象一元二次方程特征,培养数学抽象与逻辑推理素养. 重点 一元二次方程的概念及其一般形式. 【自主预习】 预学思考 知识点一 一元二次方程的概念 　　阅读课本本课时开始至“思考”下面的第一自然段,补全下列新知要点: 一元二次方程概念的三要素: 1.等号两边都是 式.  2.只含有 个未知数(元).  3.未知数的最高次数为 ,二次项系数不能为 .  知识点二 一元二次方程的一般形式及一元二次方程的根 　　阅读课本本课时“思考”下面的第二自然段至“例”的内容,补全下列新知要点: 1.一元二次方程的一般形式: 【讨论】一元二次方程的一般形式中, a为什么 不能是0?b和c能不能为0? 2.使方程左右两边 的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的 .  自学检测 1.下列方程是一元二次方程的是 ( ) A.9x-7x2=8　　　　 B.5x+8=0 C.4x3+7x=0　　　　 D.x2+=0 2.一元二次方程2x2-1=3x的一次项系数为 ( ) A.-2　　　　B.-3　　　　C.2　　　　D.-1 3.若x=1是一元二次方程x2+ax-10=0的一个根,则a的值为 ( ) A.9　　　　B.10　　　　C.-9　　　　D.11 【合作探究】 题型1 一元二次方程的概念 例1　若方程(m+3)+3mx=0是关于x的一元二次方程,则 ( ) A.m=3　　　　 B.m=-3 C.m=±3　　　　 D.m≠-3 【方法归纳交流】判断方程是不是一元二次方程的“三关键”: 关键点一:先整理,全部项移到等号左边,能合并的都合并,等号右边为0. 关键点二:看是否具备三要素. 关键点三:二次项系数不为0(易错点). 变式训练　下列方程是一元二次方程的是 ( ) A.x2+x=0　　　　 B.x2+4x=x2-1 C.xy-1=0　　　　 D.+x=2 题型2 一元二次方程的一般形式 例2　把下列一元二次方程化为一般形式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项. (1)x2-1=2x;(2)x(x-2)=2;(3)+3x2=1;(4)(3x-2)(x+1)=x. 【方法归纳交流】要写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时,必须先将方程化成 ,而且不能漏写前面的 .  题型3 一元二次方程的根 例3　若关于x的一元二次方程(a+1)x2+3x+a2-1=0有一个根是0,则a的值为 ( ) A.0　　　　 B.1或-1 C.-1　　　　 D.1 变式训练　已知a是方程x2+3x-4=0的根,则a2+3a= .  题型4 由实际问题抽象出一元二次方程 例4　根据下列问题,列出关于x的一元二次方程,并将其化成一般形式. (1)一个大正方形的边长比一个小正方形边长的2倍多1,若这两个正方形的面积和为53,求小正方形的边长x. (2)在一次同学聚会上,参加的每个人都与其他人握手一次,共握手190次,求参加这次同学聚会的人数x. (3)毕业前夕,九年级(1)班同学互赠礼物,如果每个同学都要向其他同学赠送一件礼物,他们之间一共赠送了1 190件礼物,求九年级(1)班的学生人数x. 课堂检测 1.下列式子①x2=1,②4x2-4xy+y2=0,③3x-5x2=0,④x2-4中,一元二次方程的个数是 ( ) A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0 2.把一元二次方程(x+1)(x-1)=3x化成一般形式,正确的是 ( ) A.x2-3x-1=0　　　　 B.x2-3x+1=0 C.x2+3x-1=0　　　　 D.x2+3x+1=0 3.已知x=-2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则a-b= .  4.某种植物的主干长出若干个支干,每个支干又长出同样个数的小分支,主干、支干、小分支的总数是241,设每个支干长出小分支的个数是x,则可列方程: .  参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.整　2.一 　3.2　0 知识点二 1.二次项系数　一次项系数　常数项　元 【讨论】 解:若a=0,则方程变为bx+c=0,就不是一元二次方程了;b和c可以为0. 2.相等　根 自学检测 1.A　2.B　3.A 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1　A 变式训练 A 题型2 例2 解:(1)x2-2x-1=0,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为-1. (2)x2-2x-2=0,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为-2. (3)6x2+7x-4=0,二次项系数为6,一次项系数为7,常数项为-4. (4)3x2-2=0,二次项系数为3,一次项系数为0,常数项为-2. 方法归纳交流　 一般形式　符号 题型3 例3　D 变式训练 4 题型4 例4 解:(1)根据题意列方程,得x2+(2x+1)2=53,化为一般形式:5x2+4x-52=0. (2)根据题意列方程,得x(x-1)=190,化为一般形式:x2-x-380=0. (3)根据题意列方程,得x(x-1)=1 190,化为一般形式:x2-x-1 190=0. 课堂检测 1.B　2.A　3.2　4.1+x+x2=241 学科网（北京）股份有限公司 $