25.1 一元二次方程的概念&25.2 降次解一元二次方程（课前导学）-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

第二十五章一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①一元二次方程的概念和一般形式 1.下列方程是一元二次方程的是 1.一元二次方程的概念 A.x2-3x=x2+2 (1)一般地，如果方程中只含有一个未知数， B.ax2+bx+c=0 且含有未知数的式子都是整式，未知数的 最高次数是工 ,这样的方程叫作 C.3x2-1+2=0 元二次方程. D.2x2=1 (2)例如：方程x2+4x-12=0就是一元二次 2.将一元二次方程x(x+4)=8x+12化为一般 方程。 形式，正确的是 () 2.一元二次方程的一般形式 Ax2+4x+12=0 B.x2+4x-12=0 (1)一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0) 其中ax2是二次项，② 是二次项 C.x2-4x-12=0 D.x2-4x+12=0 系数；bx是3 ,4 是一次 3.将关于x的一元二次方程5x2-1=4x化成一 项系数；c是常数项. 般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项 (2)注意：二次项系数、一次项系数、常数项都 的值分别是 要包含它前面的符号；二次项系数a≠0 A.5,4,1 B.5,4,-1 是一个重要条件，不能漏掉. C.5,-4,1 D.5,-4,-1 知识点2一元二次方程的解（根） 4.下列哪些数是一元二次方程x2+x-12=0的 (1)一元二次方程的解： 根？为什么？ 使一元二次方程左右两边相等的未知数的 -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 值，就是这个一元二次方程的解。 (2)一元二次方程的解也叫作一元二次方程 的根. 5.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+x 6=0的一个根，则k的值为 知识点③根据实际问题列一元二次方程 6.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨 工人师傅给一幅长为120cm,宽为40cm的 了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当 矩形书法作品装裱（长边与地面平行），作品的 跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停 已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回 四周需要留白，已知左、右留白部分的宽度一样， 到原价.若这两天此股票股价的平均增长率为 上、下留白部分的宽度一样，而且左侧留白部分 x,则x满足的方程是 ( 的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱 10 B.(1+x)2= 后整个挂图的面积为7000cm2.设上面留白部 A(1+2-8 9 分的宽度为xcm,则可列方程为⑤ 1 C.1+2x=10 10 D.1+2x= 9 全程导练·九年级数学（上册） 25.2 降次—解一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①形如x2=p(p≥0)的一元二次方程的 1.解下列方程： 解法 (1)x2=9; (2)4x2=8. (1)当p>0时，x1=p,x2=-p (2)当p=0时，x1=x2=0. 知识点2形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)的一 2.解下列方程： 元二次方程的解法 (1)(x+1)2=16; (2)(2x+3)2=25. (1)当p>0时，mx+n=±Vp, 则有x1=回 ,x2=② (2)当p=0时，x1=2=-” m 第2课时 配方法 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①配方 1.填空： a2±2ab+□ =(a±2 )2 (1)x2-2x+1=(x- )2; 关键：添加适当的项，把一个二次三项式配成 (2)x2+6x+ =（x+ 个完全平方式 (3)x2-x+ =(x- 知识点②用配方法解二次项系数为1的一元 2.用配方法解下列方程： 二次方程 (1)x2-2x-4=0: 解方程：x2+6x-16=0. 步骤： (1)移项：把“常数项”移到等号的右边： x2+6x=16; (2)配方：等号两边同时加上一次项系数一半的 平方，使等号左边成为一个完全平方式： (2)x2+6x+4=0. x2+6x+3 =16+④ 即(x+5 )2=6 (3)开方：用直接开平方法解方程： x+⑦☑ =⑧ ∴.方程的解是x1=⑨ ,x2=回 知识点③用配方法解二次项系数不为1的一 3.用配方法解一元二次方程： 元二次方程 (1)3x2+6x-4=0; (2)4x2-6x-3=0. (1)二次项系数不是1的时候，先将系数化为1； (2)配方法的一般步骤可简化为：一移，二化，三 配，四开 2 第二十五章一元二次方程 25.2.2 公式法 第1课时 一元二次方程的根的判别式 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值 (1)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 是 ( 12 通过配方可得x+2a b2-4ac 则方程的 A.33 B.23 C.17 D.√17 4a2 根的情况由b2-4ac的符号决定. (2)式子① 可以判别一元二次方程的 根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax +bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母 “② ”表示，即3 知识点②利用根的判别式判断一元二次方程 2.一元二次方程x2+3x-2=0的根的情况为 的根的情况 根的判别式△的符号与一元二次方程的根的 A.有两个不相等的实数根 情况： B.有两个相等的实数根 ①4>0台一元二次方程有两个不相等的实 C.没有实数根 数根； D.不能判定 ②4=0曰一元二次方程有两个相等的实数根； ③4<0台一元二次方程无实数根. 知识点③一元二次方程的根的判别式的应用 3.若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数根，则 (1)不解方程判断一元二次方程的根的情况； m的取值范围是 (2)根据方程的根的情况求字母系数的取值 A.m≥-1 范围。 B.m≤1 C.m≥-1且m≠0 D.m≤1且m≠0 一3— 全程导练·九年级数学（上册） 第2课时 用公式法解一元二次方程 [答案P41] 知识要点 对点训练， 知识点○用公式法解一元二次方程 1.用公式法解下列一元二次方程： (1)当△≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实 (1)x2-5x+1=0; 数根可写为工 的形式，这个式子叫 作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公 式.解一个具体的一元二次方程时，把各系 数代入求根公式，可以直接得出方程的根， 这种解一元二次方程的方法叫作公式法 △>0方程有两个不相等的实数根x= -b±-4ac 2a (2)x2-32x+4=0. 4=0 方程有两个相等的实数根② △<0 方程无实数根 (2)利用公式法解一元二次方程的一般步骤 ①把方程化为一般形式，确定③ 的值； ②求出△=b2-4ac的值； ③若△≥0，则将a,b,c的值代入④ 求出方程的根；若△<0，则方 程固 25.2.3 因式分解法 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①用因式分解法解一元二次方程 1.填空与选择： 1.因式分解法的概念 (1)解方程：(x+1)(x-2)=0. (1)因式分解法：先分解因式，使一元二次方 解：(x+1)(x-2)=0, 则有 =0,或 =0 程化为两个一次式的乘积等于0的形式， x1= ,X2=」 再使这两个一次式分别等于0，从而实现 (2)方程x(x-1)=0的解是 降次，这种解一元二次方程的方法叫作因 A.x=1 B.x=0 式分解法. C.x1=1,x2=0 D.没有实数根 (2)因式分解法主要依据：如果a·b=0,那么 2.填空与选择： a=0或b=0. (1)解方程：x2-4x=0. 2.用因式分解法解一元二次方程的步骤 解：因式分解，得 =0, (1)把方程右边整理为0； 则有 =0,或 =0. x1= ,x2= (2)把方程左边进行因式分解； (2)方程x2=-5x的适当解法是 (3)解两个一元一次方程。 A.直接开平方法 B.配方法 C.因式分解法 D.公式法 (3)方程x(x-1)=x的解是 第二十五章一元二次方程 知识点②选择适当的方法解一元二次方程 3.用适当的方法解下列方程： 元二次方程的解法的选择技巧： (1)4(x-2)2-49=0; (2)x2-2x=8; (1)若一元二次方程具有(mx+n)2=p(m≠0， p≥0)的形式，宜用直接开平方法求獬； (2)若一元二次方程的二次项系数为1，一次项 系数为偶数，宜用配方法求解； (3)若一元二次方程一边为0，另一边可分解成 (3)3x(x-2)=2(x-2);(4)2x2+8=9x. 两个一次式的乘积，宜用因式分解法求解； (4)若用直接开平方法、配方法、因式分解法都 不简便，则宜选用公式法. 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①一元二次方程的根与系数的关系 1.（1)若x1,x2是关于x的一元二次方程2x2 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个 6x-1=0的两个实数根，则 根为=-b+公-4c,=-6--4c a= ,b= ,C三 2a 2a b 则x1+x2=□ ,1x2=② a x1x2= (2)若x1,x2是方程x2-6x-7-0的两个根， 则 A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6 7 C1x2=6 D.x1x2=7 知识点2一元二次方程的根与系数的关系的 2.已知关于x的方程x2+x-3=0,若该方程的 应用 一个根为1，求k的值及方程的另一个根。 运用根与系数的关系求出方程的一个根与 解：设方程的另一个根为x2,则 方程中的未知系数，或能求出与两个根有关的一 1+x2=-k, 些代数式的值。 1·x2= 「k三 解得{ x2= 答：k的值为 ,方程的另一个根为 -5参考 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 知识要点 ☐22a3③一次项④b 5(120+4x)(40+2x)=7000 对点训练 1.D2.C3.D 4.解：当x=-4时，有x2+x-12=(-4)2+（-4)- 12=0;当x=3时，有x2+x-12=32+3-12=0, 故-4和3是方程x2+x-12=0的根. 5.56.B 25.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 知识要点 四~n+p ②-n-p 2 m 对点训练 1.解：(1)x=±3.（2)x=±√2. 2.解：(1)x1=3,x2=-5.（2)x1=1,x2=-4. 第2课时配方法 知识要点 ①b22b③9④9⑤3⑥25☑3⑧±5 9210-8 对点训练 141(293(3)4 2.解：(1)x=1±√5.(2)x=-3±5. 3解：(1)1=-1+ 3*=-1-2红 3 (2)x,=3+21 424=3-2 4 25.2.2公式法 第1课时 一元二次方程的根的判别式 知识要点 [①b2-4ac2434=b2-4ac 对点训练 1.C2.A3.D 第2课时用公式法解一元二次方程 知识要点 回x=-b±B-4ac b 2a ☑x1=x2=-2a 圆a,b,c④求根公式x=-b±YB-4ac 2a ⑤无实数根 对点训练 1.解：(1).a=1,b=-5,c=1, .b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21>0, ·x=-(-5)±V2红-5±21 2×1 2 参考答案卫 答案 即25 2 (2)a=1,b=-32,c=4, .b2-4ac=(-3√2)2-4×1×4=2>0， x=-(-32)±2-32±2 2×1 2 即x1=22,x2=√2. 25.2.3因式分解法 对点训练 1.(1)x+1x-2-12(2)C 2.(1)x(x-4)xx-404(2)C (3)x1=0,x2=2 3解：(1)整理，得(x-22=9 -2=好名}4=-是 _11 (2)配方，得x2-2x+1=9,即(x-1)2=9, ∴.x-1=±3，x1=4,x2=-2. (3)移项，得3x(x-2)-2(x-2)=0. 因式分解，得(x-2)(3x-2)=0, x-2=0,或3x-2=0,即x1=2,为=3 2 (4)移项，得2x2-9x+8=0,.a=2,b=-9,c=8, ∴.4=(-9)2-4×2×8=17>0， 9即9+9 4 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识要点 ①-6回 a 对点训练 112-6-13台-2(2)A 2.-32-32-3 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 对点训练 1(1)14-2(14-)(2)2(x-5)(3)2 2.解：设通道的宽应设计成xm, 由题意，得(30-2x)(20-x)=468, 解得x=2或x=33(不合题意，舍去) 答：通道的宽应设计成2m. 3.解：(1)由题意可知(30-2x)x=108, 解得x=6或x=9. 由于0<30-2x≤20， 解得5≤x<15,.x=6或x=9. 答：若苗圃园的面积为108m2,x的值为6或9. (2)不能.理由如下： 由题意可知(30-2x)x=120,.x2-15x+60=0,