25.2.1 第1课时 直接开平方法 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦直接开平方法，引导学生掌握解x²=p（p≥0）或(mx+n)²=p（p≥0）型一元二次方程的方法。通过自主预习补全新知要点和自学检测，衔接平方根知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料以合作探究为核心，设置题型精讲与变式训练，如通过小华解题过程纠错培养推理意识，结合课堂检测巩固运算能力。注重转化与整体思想渗透，提升学生创新意识，适合教师引导学生自主学习与合作探究。

25.2.1 第1课时 直接开平方法 素养目标 1.会用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程. 2.经历用直接开平方法解一元二次方程的过程,体会转化和整体的数学思想. 3.发展运算能力,提升创新意识. 重点 用直接开平方法解一元二次方程. 【自主预习】 预学思考 知识点 用直接开平方法解一元二次方程 　　阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点: 1.关于x的方程x2=p,当p>0时,方程有 个 的实数根,x1= ,x2= ;当p=0时,方程有 个 的实数根,　　　　;当p<0时,方程 实数根.  2.解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,先根据 的意义,把一元二次方程“ ”转化为两个 元 次方程,再求解.  自学检测 1.方程x2=1的根为 ( ) A.x=1　　　　 B.x=-1　　　　 C.x=±1　　　　 D.x=0 2.已知三角形的两边长分别为3和4,第三边的长是一元二次方程(x-1)2=25的一个根,则这个三角形的周长为 .  【合作探究】 题型精讲 题型1 用直接开平方法解一元二次方程 例1　用直接开平方法解下列一元二次方程. (1)9x2=25;(2)2x2-98=0; (3)3(x-2)2=0;(4)81(x-2)2=16. 【方法归纳交流】原方程左边是完全平方式,右边是完全平方数,因此可将右边看作一个非负数,运用 的方法将原方程 为两个 ,即可求解.  变式训练　 1.解方程:(1)4x2+4x+1=0;(2)2(x2+6x+9)=32;(3)(2x-3)2=(x+2)2. 2.(新考法·过程性学习)小华解方程(x+6)2-9=0的过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9,……第一步 两边开平方,得x+6=3,……第二步 所以x=-3.……第三步 小华的解答从第　　　　步开始出错,请写出正确的解答过程.  题型2 能用直接开平方法解一元二次方程的条件 例2　若关于x的方程2(x-3)2=3a-1有实数根,求a的取值范围. 【方法归纳交流】对于形如(mx+n)2=p的方程,当p>0时,方程有　　　　　　　    　;  当p=0时,方程有　　　　　　　　;当p<0时,方程　　　　　　　　.  变式训练　 1.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无实数根的方程为 ( ) A.x2+3=0 B.-2x2=0 C.x2-4=0 D.(x-2)2=0 2.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 课堂检测 1.方程x2-4=0的解为 ( ) A.x1=x2=-2 B.x1=-2,x2=2 C.x1=x2=2 D.x=2 2.如果关于x的方程(x+1)2=2-m无实数根,那么m满足的条件是 .  3.关于x的一元二次方程x2=a的两个根分别是2m-1与m-5,则m= .  4.已知(x2+y2+1)2=81,则x2+y2= .  参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点 1.两　不相等　-　　两　相等　x1=x2=0 没有 2.平方根　降次　一　一 自学检测 1.C　2.13 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:(1)原方程可化为(3x)2=52, 解得x1=,x2=-. (2)原方程可化为x2=49,解得x1=7,x2=-7. (3)原方程可化为(x-2)2=0,解得x1=x2=2. (4)原方程可化为[9(x-2)]2=42, 解得x1=,x2=. 方法归纳交流 直接开平方　降次　一元一次方程 变式训练　 1.解:(1)方程可化为(2x+1)2=0,解得x1=x2=-. (2)方程可化为(x+3)2=16,得x+3=4或x+3=-4,方程的两根为x1=1,x2=-7. (3)2x-3=x+2或2x-3=-x-2, 解得x1=5,x2=. 2.解:二. 正确的解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9, 两边开平方,得x+6=±3, 所以x1=-3,x2=-9. 题型2 例2 解:由题意知3a-1≥0,解得a≥. 方法归纳交流 两个不相等的实数根　两个相等的实数根　没有实数根 变式训练　 1.A　2.C 课堂检测 1.B　2.m>2　3.2　4.8 学科网（北京）股份有限公司 $