25.2.2 公式法 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第3课时）——公式法

【学习目标】

① 了解一元二次方程求根公式的推导过程（用配方法），理解 －4ac（判别式）对判定根的意义；

② 掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤（化为一般式→确定 a,b,c→计算 Δ→代公式求根），能根据 Δ 判断根的情况；

③ 体会从特殊到一般、化归与分类讨论的数学思想。

【学习重难点】

重点：用求根公式解一元二次方程；用 Δ 判定根的情况。

难点：准确确定 a,b,c 的符号；Δ<0 时正确得出“无实数根”；理解求根公式中 −b 与分母 2a。

【知识链接】（旧知回顾，直接填空）

1. 用配方法推导一般式 a＋bx＋c＝0 （a≠0） 的求根过程：

　两边同除以 a，得 ＋x＋＝0；移项得 ＋x＝________；

　配方（两边加 (b/2a)²）得 （x＋＝________；开平方得 x＋＝________；

　∴x＝________（其中 －4ac≥0）。

2. 一元二次方程 a＋bx＋c＝0 （a≠0） 中，________ 叫做根的判别式，常用符号 Δ 表示。

【自主探究】

◆ 探究1　求根公式与根的判别式

（1）求根公式：当 －4ac≥0 时，方程 a＋bx＋c＝0 （a≠0） 的根为 x＝________。

（2）根的判别式 Δ＝________：

　　当 Δ________0 时，方程有两个不相等的实数根；

　　当 Δ________0 时，方程有两个相等的实数根；

　　当 Δ________0 时，方程无实数根。

◆ 探究2　Δ＞0（有两个不等实根）——知识点1

例1　解方程 3＋1＝4x。

解：化为一般式 3－4x＋1＝0；∴a＝________，b＝________，c＝________；

Δ＝b²－4ac＝16－4×3×1＝________＞0；x＝＝________；∴x₁＝________，x₂＝________。

变式1　解方程 2＋x＋1＝4x。

解：化为一般式 ________；∴a＝________，b＝________，c＝________；Δ＝9－4×2×1＝________＞0；x＝________；∴x₁＝________，x₂＝________。

◆ 探究3　Δ＜0（无实数根）——知识点2

例2　解方程 3＋2x＋1＝0。

解：a＝________，b＝________，c＝________；Δ＝2²－4×3×1＝________＜0；∴方程________。

变式2　解方程 2＋x＋3＝0。

解：Δ＝1²－4×2×3＝________＜0；∴方程________。

◆ 探究4　Δ＝0（有两个相等实根）——知识点3

例3　解方程 2－2x＋1＝0。

解：a＝________，b＝________，c＝________；Δ＝(－2)²－4×2×1＝________＝0；∴x₁＝x₂＝________。

变式3　解方程 ＋x＋＝0。

解：a＝________，b＝________，c＝________；Δ＝1²－4×1×＝________＝0；∴x₁＝x₂＝________。

【合作交流】（请完整写出解题过程，完成后对照文末参考答案）

例1　用公式法解方程 5－4x－1＝0：

解：________________

________________

例2　用公式法解方程 2－7x＋5＝0：

解：________________

________________

【当堂检测】

1.（选择题）x＝ 是下列哪个一元二次方程的根（　）

A. 2x²＋3x＋1＝0　B. 2x²－3x＋1＝0　C. 2x²＋3x－1＝0　D. 2x²－3x－1＝0

2. 用公式法解下列方程：

（1）5－3x＝x＋1；　（2）＋17＝8x。

解：（1）________　（2）________

3. 用公式法解下列方程：

（1）3＋4x＝2；　（2）2＋5＝7x。

解：（1）________　（2）________

4.（综合题）点 A 在数轴的负半轴上，点 B 在正半轴上，且点 A 对应的数是 2x＋1，点 B 对应的数是 x²＋x，已知 AB＝5，求 x 的值。