25.2.2 公式法 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程公式法，引导学生掌握求根公式推导、判别式意义及解题步骤。通过“知识链接”回顾配方法推导过程，搭建旧知支架，衔接新知，帮助学生构建从特殊到一般的知识脉络。 资料以分层探究（Δ>0、Δ=0、Δ<0）为主线，结合例题与变式，合作交流及当堂检测涵盖基础、综合与新定义题，培养学生运算能力与推理意识。学习小结与拓展延伸强化知识体系，符合“会用数学思维思考现实世界”的核心素养，提升问题解决能力。

第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第3课时）——公式法 【学习目标】 ① 了解一元二次方程求根公式的推导过程（用配方法），理解 －4ac（判别式）对判定根的意义； ② 掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤（化为一般式→确定 a,b,c→计算 Δ→代公式求根），能根据 Δ 判断根的情况； ③ 体会从特殊到一般、化归与分类讨论的数学思想。 【学习重难点】 重点：用求根公式解一元二次方程；用 Δ 判定根的情况。 难点：准确确定 a,b,c 的符号；Δ<0 时正确得出“无实数根”；理解求根公式中 −b 与分母 2a。 【知识链接】（旧知回顾，直接填空） 1. 用配方法推导一般式 a＋bx＋c＝0 （a≠0） 的求根过程： 　两边同除以 a，得 ＋x＋＝0；移项得 ＋x＝________； 　配方（两边加 (b/2a)²）得 （x＋＝________；开平方得 x＋＝________； 　∴x＝________（其中 －4ac≥0）。 2. 一元二次方程 a＋bx＋c＝0 （a≠0） 中，________ 叫做根的判别式，常用符号 Δ 表示。 【自主探究】 ◆ 探究1　求根公式与根的判别式 （1）求根公式：当 －4ac≥0 时，方程 a＋bx＋c＝0 （a≠0） 的根为 x＝________。 （2）根的判别式 Δ＝________： 　　当 Δ________0 时，方程有两个不相等的实数根； 　　当 Δ________0 时，方程有两个相等的实数根； 　　当 Δ________0 时，方程无实数根。 ◆ 探究2　Δ＞0（有两个不等实根）——知识点1 例1　解方程 3＋1＝4x。 解：化为一般式 3－4x＋1＝0；∴a＝________，b＝________，c＝________； Δ＝b²－4ac＝16－4×3×1＝________＞0；x＝＝________；∴x₁＝________，x₂＝________。 变式1　解方程 2＋x＋1＝4x。 解：化为一般式 ________；∴a＝________，b＝________，c＝________；Δ＝9－4×2×1＝________＞0；x＝________；∴x₁＝________，x₂＝________。 ◆ 探究3　Δ＜0（无实数根）——知识点2 例2　解方程 3＋2x＋1＝0。 解：a＝________，b＝________，c＝________；Δ＝2²－4×3×1＝________＜0；∴方程________。 变式2　解方程 2＋x＋3＝0。 解：Δ＝1²－4×2×3＝________＜0；∴方程________。 ◆ 探究4　Δ＝0（有两个相等实根）——知识点3 例3　解方程 2－2x＋1＝0。 解：a＝________，b＝________，c＝________；Δ＝(－2)²－4×2×1＝________＝0；∴x₁＝x₂＝________。 变式3　解方程 ＋x＋＝0。 解：a＝________，b＝________，c＝________；Δ＝1²－4×1×＝________＝0；∴x₁＝x₂＝________。 【合作交流】（请完整写出解题过程，完成后对照文末参考答案） 例1　用公式法解方程 5－4x－1＝0： 解：________________ ________________ 例2　用公式法解方程 2－7x＋5＝0： 解：________________ ________________ 【当堂检测】 1.（选择题）x＝ 是下列哪个一元二次方程的根（　） A. 2x²＋3x＋1＝0　B. 2x²－3x＋1＝0　C. 2x²＋3x－1＝0　D. 2x²－3x－1＝0 2. 用公式法解下列方程： （1）5－3x＝x＋1；　（2）＋17＝8x。 解：（1）________　（2）________ 3. 用公式法解下列方程： （1）3＋4x＝2；　（2）2＋5＝7x。 解：（1）________　（2）________ 4.（综合题）点 A 在数轴的负半轴上，点 B 在正半轴上，且点 A 对应的数是 2x＋1，点 B 对应的数是 x²＋x，已知 AB＝5，求 x 的值。 　 　 5.（新定义题）规定 Max{a，b} 表示 a，b 中的较大值，如 Max{2，4}＝4。按照这个规定，方程 Max{x，－x}＝x²－2 的解为________________。 【学习小结】（补全填空） 1. 一元二次方程 a＋bx＋c＝0 （a≠0） 的求根公式为 x＝________，其中 －4ac≥0。 2. 根的判别式 Δ＝________： 　当 Δ＞0 时，________________；当 Δ＝0 时，________________；当 Δ＜0 时，________________。 3. 用公式法解方程的步骤：①把方程化为________；②确定 a，b，c 的值；③计算 Δ＝b²－4ac；④当 Δ≥0 时________，当 Δ<0 时________。 【拓展延伸】 不解方程，直接用根的判别式判断下列方程的根的情况： （1）－4x＋4＝0：Δ＝________，________； （2）2－3x＋5＝0：Δ＝________，________； （3）3－2x－1＝0：Δ＝________，________。 【参考答案与解析】 【知识链接】 1. 移项：＋x＝－；配方式：（x＋＝；开平方：x＋＝；∴x＝。 2. －4ac。 【自主探究】 探究1：（1）x＝；（2）Δ＝－4ac；＞，＝，＜。 探究2·例1：a＝3，b＝－4，c＝1；Δ＝4；x＝＝；x₁＝1，x₂＝。 变式1：化为 2－3x＋1＝0；a＝2，b＝－3，c＝1；Δ＝1；x＝；x₁＝1，x₂＝。 探究3·例2：a＝3，b＝2，c＝1；Δ＝－8；∴方程无实数根。 变式2：Δ＝1－24＝－23＜0；∴方程无实数根。 探究4·例3：a＝2，b＝－2，c＝1；Δ＝(－2)²－8＝8－8＝0；x₁＝x₂＝。 变式3：a＝1，b＝1，c＝；Δ＝1－1＝0；x₁＝x₂＝－。 【合作交流】 例1　5－4x－1＝0，a＝5，b＝－4，c＝－1；Δ＝16－4×5×(－1)＝36＞0；x＝＝，∴x₁＝1，x₂＝－。 例2　2－7x＋5＝0，a＝2，b＝－7，c＝5；Δ＝49－40＝9＞0；x＝，∴x₁＝，x₂＝1。 【当堂检测】 1. C（由求根公式逆向看：－b＝3 得 b＝－3，－4ac＝9－4×2×(－1)＝17，故对应方程 2x²＋3x－1＝0，选 C。） 2.（1）化为 5－4x－1＝0，a＝5，b＝－4，c＝－1，Δ＝36＞0；x＝，x₁＝1，x₂＝－； （2）化为 －8x＋17＝0，a＝1，b＝－8，c＝17，Δ＝64－68＝－4＜0，∴方程无实数根。 3.（1）化为 3＋4x－2＝0，a＝3，b＝4，c＝－2，Δ＝16＋24＝40＞0；x＝＝，x₁＝，x₂＝； （2）化为 2－7x＋5＝0，a＝2，b＝－7，c＝5，Δ＝9＞0；x＝，x₁＝，x₂＝1。 4. 由题意 AB＝|x²＋x－(2x＋1)|＝|x²－x－1|＝5。 　若 x²－x－1＝5，则 x²－x－6＝0，(x－3)(x＋2)＝0，x＝3 或 x＝－2； 　若 x²－x－1＝－5，则 x²－x＋4＝0，Δ＝1－16＝－15＜0，无实数解。 　又 ∵A 在负半轴，∴2x＋1＜0，得 x＜－，故舍去 x＝3。∴x＝－2。 5. Max{x，－x}＝|x|，方程化为 |x|＝x²－2。令 t＝|x|≥0，则 t²－t－2＝0，(t－2)(t＋1)＝0，t＝2（t≥0）。 　∴|x|＝2，x＝±2。经检验 x₁＝2，x₂＝－2 均满足。 【学习小结】 1. x＝。 2. Δ＝－4ac；方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根。 3. 一般式（或 a＋bx＋c＝0 形式）；代入原方程求解（或代公式求根）；方程无实数根。 【拓展延伸】 （1）Δ＝16－16＝0，有两个相等的实数根； （2）Δ＝9－40＝－31＜0，无实数根； （3）Δ＝4＋12＝16＞0，有两个不相等的实数根。 学科网（北京）股份有限公司 $