河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2026-2027学年高二上学期假期学习检测数学试题

**基本信息** 开学假期学习检测数学卷，以蜜桔质量评估、器件概率分析等真实情境为载体，融合统计、概率、立体几何等模块，检测知识掌握与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分位数、复数、向量、立体几何|基础概念辨析，如分位数计算、空间线面关系判断| |多选题|3/18|独立事件、三角形重心性质|多选项设计考查逻辑推理，如事件独立性判断| |填空题|3/15|异面直线成角、函数与向量综合|创新情境，如“伴随向量”概念应用| |解答题|5/77|立体几何体积与距离、统计直方图、解三角形、概率、球面几何|真实问题解决，如蜜桔质量评估用统计知识，球面几何结合二面角与体积计算，体现数学眼光与思维|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 假期学习检测 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A B C B B A ACD ABD ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．或 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）三棱锥以为底面，高为，直接代入体积公式计算； （2）由得，计算和面积；利用等体积法，以 体积为媒介，求出点到平面的距离. 【详解】（1）， 易知的长即为三棱锥的高， 所以 ． （2）记点到平面的距离为， 由 ，， 由勾股定理，， 又平面，为直角三角形，则， 由（1）知. 16．(1) (2) (3)95克 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【详解】（1）频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. （2）各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. （3）由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 17．（1）；（2）. 【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对化简变形可求得，再利用正弦定理和二倍角公式对化简变形可得，由的面积为，可得，然后利用余弦定理可求出，从而可求得结果， （2）由可得，而，，再结合正弦定理可得，化简可求得结果 【详解】解：（1）中，由正弦定理可得， 所以可转化为， 又因为，所以， 所以， 整理得， 在中，则， 又因为， 所以； 由正弦定理得， 则 ， 又，所以， 又，得， 由余弦定理得，所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 又， ， 所以， 由正弦定理，所以，， 代入化简得，所以. 18．(1)①，； ②； (2)新器件正常工作的概率小于原器件正常工作的概率.理由如下： 设每个模块中指示灯b亮的概率为q，则，由0 < p < 1，得， 原器件：由2个独立模块构成，正常工作需至少一个模块指示灯 ( b ) 亮， 原器件正常工作的概率为， 新器件：由4个独立模块构成，正常工作需至少2个模块指示灯 ( b ) 亮， 新器件正常工作的概率为， 因此， 而，则，，即， 所以新器件正常工作的概率小于原器件正常工作的概率. 【分析】（1）①根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式列式计算；②将所求概率的事件分拆成相互独立事件的积，再利用公式求出概率. （2）根据给定条件，求出新旧器件正常工作的概率，再作差比较大小即得. 【详解】（1）记事件表示元件正常工作，， ① ， . ②恰好一个指示灯亮的唯一可能情况是 ( a ) 不亮而 ( b ) 亮，即正常、 异常、 正常， 记事件C表示“一个模块中恰好有一个指示灯亮”， 因此：. （2）略 19．(1) (2)①证明：由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②的最小值为，截面面积为 【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解， （2）①由余弦定理求解边长，结合勾股定理即可化简求解；②根据球的性质可得线线垂直，进而可证明平面，即可建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用向量的夹角公式，得，结合换元以及基本不等式即可求解的最大值得解，利用点面距离的向量法公式求解球心O到平面距离，即可利用勾股定理求解截面圆半径得解. 【详解】（1）若平面两两垂直，有， 所以球面三角形面积为． （2）①略 ②由是球的直径，则， 且，平面， 所以平面，且平面，则， 且，平面，可得平面， 由直线与平面所成的角分别为，所以， 由于，则， 由， 以C为坐标原点，以所在直线为x，y轴， 过点C作的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 可得， 则 设平面法向量，则， 取，则，可得， 设平面法向量，则， 取，则，可得， 要使取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等，则取最大值，为最小值， 此时点，可得， 设平面中的法向量，则， 取，则，可得， , 可得球心O到平面距离为， 设平面截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为． $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 假期学习检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8的60%分位数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设为虚数单位．若复数满足，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 3．若为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有个零点，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 10．设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（   ） A．以的长度为边能构成三角形 B．以的三条中线的长度为边能构成三角形 C．以的长度为边能构成三角形 D．若点G到的三边，，的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 11．已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________    13．定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为.若向量的“伴随函数”满足，求 . 14．如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在长方体中，，，为线段上的动点， (1)求三棱锥的体积； (2)若，求点到平面的距离． 16．（15分）台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这批蜜桔的平均质量； (3)若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 17．（15分）在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为. （1）若的面积为，求的值； （2）设的外接圆圆心为，且满足，求的值. 18．（17分）某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接. 已知元件正常工作的概率为，元件，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.线路是否正常工作仅由元件决定.指示灯是否正常对电路不影响. (1)记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”，若时， ①求； ②求一个模块中恰好有一个指示灯亮的概率； (2)该器件由上述2个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件（共4个模块），新器件至少有2个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 19．（17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知． (1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $