河南省信阳市浉河区信阳高级中学（贤岭校区）2025-2026学年高二上学期开学测试数学试题（理科）

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期开学测试 数学试题（理科） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（    ） A．130 B．132 C．134 D．136 3．若，（为虚数单位，是的共轭复数），则（    ） A．2 B． C． D．6 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（    ） A． B． C．相互独立 D．互斥 5．关于函数描述正确的是（    ） A．最小正周期是 B．最大值是 C．一条对称轴是 D．一个对称中心是 6．已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 8．由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总数为 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若向量同向，则 B．若向量反向，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（   ） A． B．与所成角为定值 C．为定值 D．存在点，使得直线与平面所成角为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若直线的倾斜角的取值范围是 . 13．已知函数不是单调函数，则实数a的取值范围是 ． 14．在直三棱柱 中， 且 ， 已知该三棱柱的体积为 2 ，且该三棱柱的外接球表面积为18， 若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势．某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在[40，100]内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示． (1)求样本中打分在内的客户人数并估计样本的中位数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差． 16．（15分）如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. (1)证明：； (2)若，，求平面与平面夹角的大小. 17．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值. 18．（17分）在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数，当 时， 的最大值为 1，且满足此条件的任意实数 及 的值，使得关于 的不等式 恒成立，求的取值范围; (3)设 为实数，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ，试将 表示为关于 的函数，并写出此函数的定义域. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期开学测试 数学答案（理科） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C C D C D D ACD ABD AC 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14． 15．(1)客户人数为60人，中位数为75 (2)平均值为73，方差为53 【分析】（1）根据频率分布直方图的特点及中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由题可知，打分在内的频率为 ， 所以样本中打分在内的客户人数为人． 由图可知，打分在内的频率为0.35，在内的频率为0.30， 设样本的中位数为，则， 则，解得， 故样本的中位数为75． （2）根据频率分布直方图可知，打分在，内的样本数据的频数分别为30，60， 所以打分在内的样本数据的平均值为． 打分在内的样本数据的方差为 ． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用线面垂直的判定与性质，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）连接， ∵，均为正三角形，为的中点，∴，， 平面，，∴平面， 平面，∴， ，，平面，∴平面， 平面，∴. （2）∵平面平面，平面平面， ，，平面，平面， ∴平面，平面， 故以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，∴， ，且平面，平面，平面， 由平面，则，又，， 平面，∴平面，∴， 设平面的法向量为，则 令得是平面的一个法向量， 显然平面的一个法向量为，∴， 故所求角为. 17．（1）；（2） 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式及两角和的余弦公式可化简为,再借助三角形中及，可得出 （2）由（1）知， ，及，把用表示，再借助正弦定理把换成角的表示，最终得到，再利用换元及基本不等式求出的范围，最后得到的最小值. 【详解】（1） 又 又 （2）由（1）知， ， ，， ， 即. 令， 当且仅当即时取“”. 的最小值为. 18．(1) (2)或 (3)为点时，为定值 【分析】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【详解】（1）设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； （3）直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 19．(1) (2) ； (3)，定义域为 . 【分析】（1）把转化为或，分别求得不等式组的解集，即可求解； （2）根据题意求得的范围，把不等式 恒成立，转化为恒恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）由题意得到，转化为分别是方程的根，且，并求得的范围，进而求得 关于的函数，即可求解. 【详解】（1） 等价为 或 ， 即为 或 ， 则不等式的解集为 ； （2）当 时， 的最大值为1，故 . 要使不等式 3 恒成立， 需要 ， 即 对任意 都成立 ， ，则 ∵ =4， ∴ 故的取值范围是 ； （3）函数，的图象如图所示 当时，，； 当0时，，； 当时，，. 所以 ① 若 ，则方程 变为， 即 ，且 ； ② 若 ，则方程 变为， 即 ，且 . 于是 分别是方程 的根，且 ，， 此函数的定义域为 . 【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立. $$