2.1认识实数同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，构建从实数概念到实际应用的完整知识网络，适配新授课学情，培养数学抽象与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|无理数识别、实数与数轴对应|选择题1-5题考查概念辨析，填空题11-13题强化基本运算，夯实基础认知| |中档|估算、比较大小、简单应用|解答题（一）16-18题结合尺规作图与分类，体现数形结合思想，培养推理能力| |提升|综合探究、跨情境应用|解答题（三）22-23题通过剪拼问题与调日法，融合历史数学与创新思维，发展应用意识|

· 2.1 认识实数同步练习 · 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在，0，，2这四个数中，无理数是（　　） A． B． C．0 D．2 2．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 3．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．估算 的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 5．如图，表示实数的点落在（   ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 6．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（    ） A． B． C． D． 9．若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 10．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．比较大小： ______．（填“” “”或“” ） 12．的相反数是_________． 13．数轴上到表示的点距离为的点表示的数是_____． 14．如图，数轴上的点所表示的实数为，则的值为_________． 15．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为_________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，请用尺规作图法，在下面的数轴上画出表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 17．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，，，，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数集合：{                        …} （2）正数集合：{                        …} （3）无理数集合：{                        …} 18．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 20．如图1，这是由5个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图1中，拼成的大正方形的边的长为______． (2)现将大正方形水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合．若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E直接写出点E表示的数是______． 21．勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．如图1，有一张由五个边长为1的小正方形组成的纸板，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)图1拼成的正方形的面积为________，边长为________． (2)将图1中剪下的如图2所示放置在数轴上，使点与表示的点重合，点与原点重合，以数轴上表示的点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是_______． (3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，求新正方形的边长（要求写出简单的推理过程）． 23．数学兴趣小组活动中，“无理数探秘”小组围绕“到底有多大”展开了深度探究，请根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 小欣和组员们利用数形结合的方式探索的近似值，请将过程补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1所示的示意图．由面积公式，可得____________．因为值很小，所以更小，省略，得方程____________，解得____________（保留到0.001），所以____________． (2)怎样画出？ 小聪同学的思路是：如图2所示，将2个边长为1的正方形进行分割，然后拼接成一个新的正方形，设新正方形的边长为，根据割补前后图形的面积相等，可得，解得．则拼接成的新的正方形的边长即为． 请按照小聪的思路，在图3的网格图中用实线画出拼接成的新的正方形（网格图中每个小正方形的边长均为1）． (3)根据剪拼前后图形的总面积不变，小研按照图4和图5所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，都可以得到边长为无理数的新的正方形． ①请模仿小聪的方法计算无理数的值； ②若，，求代数式的值． ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B C C D B C C 11． 12． 13．0或 14． 15． 16．见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示无理数．熟练掌握基本尺规作图——过直线上一点作已知直线的垂线，勾股定理，是解题的关键． 设点A，D在数轴上表示的数为3，1，过点A作射线,在上取点B，使，在数轴上取点C，使，则点C表示的数为． 【详解】解：设点A，D在数轴上表示的数为3，1， 则． ∴． 过点A作射线． 在上取点B，使． 在数轴正半轴上取点C，使． 则点C表示的数为． 理由： ∵， ∴． ∴． 17．（1）整数集合：；（2）正数集合：；（3）无理数集合：． 【分析】根据实数分类解题，实数分为有理数与无理数，无限不循环小数和开方不能开尽的数是无理数，整数和分数统称为有理数，整数包含正整数、0、负整数， （1）根据整数的分类即可得； （2）根据正数的分类即可得； （3）根据无理数的分类即可得． 【详解】解：+5是正整数，是无理数， 0是整数，-3.14是正分数，是正分数，-12是负整数，是负无理数，是正整数，（每两个1之间依次多一个0）是无理数； 故（1）整数集合：； （2）正数集合：； （3）无理数集合：． 【点睛】本题考查实数的分类、有理数的分类等知识，掌握相关数的分类是解题关键． 18．(1)； (2) 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）解：∵， ∴． 19．(1)； (2)城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【分析】（）列出式子，然后化简即可； （）当，，时，分别代入求解，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比为：； （2）解：当，，时， ∴，， ∵，， ∴城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 20．(1) (2)或 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及数轴与实数，两点间的距离 （1）根据面积不变，易得的面积为5，结合的面积公式，易得的长为； （2）注意分类讨论，旋转方向分为顺时针和逆时针，再结合两点间的距离，即可作答． 【详解】（1）解：∵面积不变，且由5个边长均为1的小正方形组成的图形 ∴拼成的大正方形的面积为5， ∵ 则边的长为（负值已舍去）； 故答案为： ； （2）解：依题意，边的长=边的长， 当旋转方向为顺时针时，则， ∴点表示的数， 当旋转方向为逆时针时，则， ∴点表示的数， 综上：点表示的数或 故答案为：或． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系． （1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数． （2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得 点表示的数是． 故答案为． （2）设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的面积与边长、数轴与实数的对应关系以及图形面积的计算，解题的关键是掌握正方形面积公式、实数与数轴的对应关系． （1）根据组成正方形的小正方形个数求面积，再求边长； （2）先求的长度，再结合数轴上点的位置求点表示的数； （3）先计算阴影部分面积，再求新正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形由五个边长为1的小正方形组成， 面积为， 根据正方形面积公式（为边长），可得边长． 故答案为：； （2）解：由（1）知，点与表示的点重合，以该点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是，即． 故答案为：； （3）解：阴影部分的面积. ∴新正方形的边长是． 23．(1)；；0.014；1.414 (2)见解析 (3)①；②0.5 【分析】（1）根据题意补充过程即可； （2）根据题意画出图形； （3）①根据变形前后面积不变列方程即可； ②估算的大小，化简绝对值即可解答． 【详解】（1）解：由面积公式，可得， 因为值很小， 所以更小， 省略去，得方程， 解得， 所以； （2）①解：如图，拼接成的新的正方形； （3）解：如图所示，将1个边长为1，1个边长为2的正方形进行分割， 然后拼接成一个新的正方形， 设新正方形的边长为，根据割补前后图形的面积相等， 可得， 解得．则拼接成的新的正方形的边长即为； ②，，， ，， ， ，， ，， ． 答案第2页，共6页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $